imported>APPERbot: Bot: digizeitschriften.de => gdz.sub.uni-goettingen.de, http nach https umgestellt

2026-04-19T18:43:25Z

Bot: digizeitschriften.de => gdz.sub.uni-goettingen.de, http nach https umgestellt

Neue Seite

Die '''Frobenius-Methode''', nach [[Ferdinand Georg Frobenius]] (1849–1917), ist eine Methode um Lösungen der [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichung]]

:<math>u''+p(z) u'+ q(z) u = 0</math>

zu finden, wobei <math>(z-z_0) p(z)</math> und <math>(z-z_0)^2 q(z)</math> als [[Analytische Funktion|analytisch]] in einer Umgebung von <math>z=z_0</math> vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten [[Potenzreihe]]

:<math>u(z) = (z-z_0)^\alpha \sum_{n=0}^\infty u_n (z-z_0)^n</math>

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten <math>\alpha, u_n</math> durch [[Koeffizientenvergleich]] zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von [[Lazarus Immanuel Fuchs]] basierend auf Arbeiten von [[Karl Weierstraß]] bewiesen<ref>L. Fuchs: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0066 ''Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten.''] In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' 66 (1866) S. 121. </ref> und danach von Frobenius verallgemeinert<ref>G. Frobenius: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0076 ''Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen.''] In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik.'' 76 (1873), S. 214. </ref>.

== Satz von Fuchs ==

[[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] können wir <math>z_0=0</math> setzen.
Gegeben sei die Differentialgleichung

:<math>u''+p(z) u'+ q(z) u = 0</math>

wobei <math>p(z)</math> bei 0 einen [[Polstelle|Pol]] maximal erster Ordnung und <math>q(z)</math> bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

:<math>p(z) = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^\infty p_n z^n, \qquad q(z) = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty q_n z^n</math>

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

:<math>\alpha_{1,2} = \frac{1}{2} \left( 1-p_0 \pm \sqrt{(p_0-1)^2 - 4q_0} \right)</math>

sind die Lösungen der [[Charakteristische Gleichung|charakteristischen Gleichung]]

:<math>\alpha^2 + (p_0-1) \alpha + q_0 =0,</math>

welche sich durch Koeffizientenvergleich für <math>z^{\alpha-2}</math> in obiger Differentialgleichung ergibt,

und wir können sie gemäß <math>\mathrm{Re}(\alpha_1 ) \geq \mathrm{Re}(\alpha_2 )</math> ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

* Ist <math>\alpha_1-\alpha_2</math> keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

: <math>u_j(z) = z^{\alpha_j} \sum_{n=0}^\infty u_{j,n} z^n, \qquad u_{j,0}=1, \quad j=1,2.</math>

* Ist <math>\alpha_1-\alpha_2</math> eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

: <math>u_1(z) = z^{\alpha_1} \sum_{n=0}^\infty u_{1,n} z^n, \qquad u_2(z) = z^{\alpha_2} \sum_{n=0}^\infty u_{2,n} z^n + c \log(z) u_1(z), \qquad u_{j,0}=1.</math>

Der [[Konvergenzradius]] entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für <math>p(z)</math> und <math>q(z)</math>.

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat <math>p(z)</math> bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und <math>q(z)</math> bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit [[meromorph]]en Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive <math>\infty</math>) vom obigen Typ sind, wird als ''Fuchssche Differentialgleichung'' bezeichnet.

== Verallgemeinerungen ==

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

== Anwendungen ==

Mit der Methode von Frobenius können folgende Differentialgleichungen gelöst werden:

* [[Besselsche Differentialgleichung|Bessel’sche Differentialgleichung]]
* [[Legendresche Differentialgleichung|Legendre’sche Differentialgleichung]]
* [[Laguerresche Differentialgleichung|Laguerre’sche Differentialgleichung]]
* [[hypergeometrische Differentialgleichung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Verlag=American Mathematical Society
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Jahr=2012
|Ort=Providence
|Online = [https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ freie Onlineversion]
}}
* {{Literatur
|Autor = [[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]
|Titel = Gewöhnliche Differentialgleichungen
|Auflage = 7
|Verlag = Springer
|Ort = Berlin
|Jahr = 2000
|ISBN = 3-540-67642-2
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:FrobeniusMethode}}
[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber]]

Frobenius-Methode - Versionsgeschichte

imported>APPERbot: Bot: digizeitschriften.de => gdz.sub.uni-goettingen.de, http nach https umgestellt