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Das '''friedelsche Gesetz''' geht auf [[Georges Friedel]] zurück und wird in der [[Kristallographie]] bei der [[Kristallstrukturanalyse]] mit Hilfe von [[Röntgenstrahlung]] angewendet.

Es besagt, dass das [[Beugungsbild]] eines [[Kristall]]s immer [[Symmetriezentrum #Punktsymmetrie|zentrosymmetrisch]] ist, unabhängig davon, ob der Kristall selbst ein [[Symmetriezentrum]] besitzt. Oder genauer: Die [[Intensität (Physik)|Intensitäten]] der [[Reflexion (Physik)|Reflexe]] ''hkl'' und ''{{overline|h}}{{overline|k}}{{overline|l}}'' sind gleich, auch wenn der Kristall nicht zentrosymmetrisch ist:

:<math>I_{hkl} = I_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}</math>

Diese beiden Reflexe stammen von den beiden Seiten derselben [[Gitterebene|Netzebenen]]<nowiki />schar (''hkl'') und werden auch als ''Friedel-Paare'' bezeichnet.

== Herleitung ==
Die Intensität ''Ihkl'' eines [[Bragg-Gleichung|Braggreflexes]] eines Kristalls (beschrieben durch die [[Laue-Indizes]] ''hkl'') ergibt sich als [[Betragsquadrat]] des [[Strukturfaktor]]s ''Fhkl'':

:<math>I_{hkl} = F_{hkl} \cdot F_{hkl}^* = |F_{hkl}|^{2},</math>

wobei * [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplex]] bedeutet.

Für den Strukturfaktor ''Fhkl'' gilt:

::<math>F_{hkl} = \sum_n f_n e^{2\pi i (hx_n + ky_n + lz_n)}</math>,

wobei die Summe sich über alle n Atome mit dem [[Atomformfaktor]]en fn der [[Kristallbasis|Basis eines Kristalls]] erstreckt, die an den Stellen xn, yn, zn liegen.

Für den dazu zentrosymmetrisch liegenden Reflex (''{{overline|h}}{{overline|k}}{{overline|l}}'') gilt entsprechend:

::<math>F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}} = \sum_n f_n e^{2\pi i (-hx_n - ky_n - lz_n)} = ^{(1)} \left( \sum_n f_n e^{2\pi i (hx_n + ky_n + lz_n)} \right)^* = F_{hkl}^*.</math>

Damit gilt auch:

::<math>F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}^* = F_{hkl}. </math>

Daraus folgt für die Intensitäten:

:<math>\Rightarrow I_{hkl} = F_{hkl} \cdot F_{hkl}^* = F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}^* \cdot F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}} = I_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}</math>

Umformung (1) gilt nur, wenn alle fn reelle Größen sind, was in der Regel erfüllt ist.

=== Anmerkung ===
Das friedelsche Gesetz ist eine konkrete Anwendung einer Eigenschaft der [[Fouriertransformation]]en [[Reelle Funktion|reeller Funktionen]] f(x):

Für die Fouriertransformation

:<math>F(k) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{i k \cdot x }dx</math>

der reellen Funktion f(x) gilt:

:<math>F(k) = F^*(-k) \,</math>.

== Folgen ==
Aufgrund des friedelschen Gesetzes kann man mit Röntgenbeugung eine [[Punktgruppe]], die kein Symmetriezentrum hat, von derselben Punktgruppe mit einem zusätzlichen Symmetriezentrum ''nicht'' unterscheiden. Daher lassen sich nicht alle 32 Punktgruppen kristallographisch bestimmen, sondern nur die 11 [[Lauegruppe]]n.

== Abweichungen ==
Grundlage des friedelschen Gesetzes ist, dass die Atomformfaktoren [[reell]]e Größen sind (vgl. oben Anmerkung).

Für [[Wellenlänge]]n in der Nähe der [[Absorptionskante]] eines Atoms bekommt der Atomformfaktor aber einen deutlichen [[Imaginäre Zahl|imaginären Anteil]]. Daher gilt die Beziehung <math>F_{hkl} = F_{ \bar{h}\bar{k}\bar{l}}^*</math> nicht mehr. Das friedelsche Gesetz ist dann nur noch erfüllt, wenn die Punktgruppe ein Symmetriezentrum besitzt.

Die Differenz <math>F_{hkl}^2 - F_{\bar{h}\bar{k}\bar{l}}^2</math> heißt [[Johannes Martin Bijvoet|Bijvoet]]-Differenz.<ref>{{Literatur |Autor=Lothar Spieß, u. a. |Titel=Moderne Röntgenbeugung |Verlag=Vieweg und Teubner |Datum=2009 |ISBN=978-3-8351-0166-1}}</ref> Durch ihre Auswertung kann man das [[Phasenproblem]] lösen.

== Literatur ==
* D. Schwarzenbach: ''Kristallographie'' Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5.
* Walter Borchardt-Ott: ''Kristallographie.'' Springer, 2002, ISBN 3-540-43964-1.
* Werner Massa: ''Kristallstrukturbestimmung.'' Teubner, 2002, ISBN 3-519-23527-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kristallographie]]

Friedelsches Gesetz - Versionsgeschichte

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