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2024-10-21T08:46:17Z

Klarer formuliert

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Das '''Freundschaftsparadoxon''' beschreibt das Phänomen, dass die [[Freundschaft|Freunde]] einer Person im Durchschnitt mehr Freunde haben, als eine Person im Durchschnitt Freunde hat.<ref>{{Literatur |Autor=Scott L. Feld |Titel=Why Your Friends Have More Friends Than You Do |Sammelwerk=American Journal of Sociology |Band=96 |Nummer=6 |Datum=1991-05-01 |Seiten=1464–1477 |JSTOR=2781907}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ezra W. Zuckerman, John T. Jost |Titel=What Makes You Think You’re so Popular? Self-Evaluation Maintenance and the Subjective Side of the „Friendship Paradox“ |Sammelwerk=Social Psychology Quarterly |Band=64 |Nummer=3 |Datum=2001 |Seiten=207–223 |DOI=10.2307/3090112 |Online=[http://www.psych.nyu.edu/jost/Zuckerman%20&%20Jost%20%282001%29%20What%20Makes%20You%20Think%20You%27re%20So%20Popular1.pdf Online] |Format=PDF |KBytes=63 |Abruf=2021-08-25}}</ref> Dieses Phänomen wurde erstmals im Jahr 1991 vom Soziologen [[Scott Lauren Feld]]<ref>{{Webarchiv|url=http://www.cla.purdue.edu/sociology/resources/Feld-Vita.pdf |wayback=20100928183017 |text=Archivierte Kopie}}</ref> beobachtet. Feld beschrieb es durch den Satz „deine Freunde haben mehr Freunde als du“. Diese vereinfachte Formulierung ist aber nur im Durchschnitt über alle Personen richtig, da einzelne Personen auch mehr Freunde haben können, als die durchschnittliche Anzahl der Freunde, die ihre eigenen Freunde durchschnittlich haben.

Das Phänomen lässt sich als mathematischer Satz über [[Graph (Graphentheorie)|Graphen]] [[Soziales Netzwerk (Soziologie)|sozialer Netzwerke]] formalisieren.<ref>{{Internetquelle |autor=George T. Cantwell, Alec Kirkley, M. E. J. Newman |url=https://arxiv.org/abs/2012.03991 |titel=The friendship paradox in real and model networks |werk=arXiv preprint |datum=2020-12-07 |abruf=2024-01-27}}</ref> Das Phänomen besteht, unabhängig von der Wahl des sozialen Netzwerks, immer. Es lassen sich allerdings soziale Netzwerke konstruieren, in der die durchschnittliche Anzahl der Freunde einer Person gleich der durchschnittlichen Anzahl von Freunden, die Freunde einer Person im Durchschnitt haben, ist. So besteht beispielsweise Gleichheit, falls jede Person im Netzwerk mit jeder anderen befreundet ist. Trotz der mathematischen Allgemeingültigkeit des Phänomens kann es auch die Ursache zahlreicher sozialer Missverständnisse sein.

Informell ergibt sich das Paradoxon dadurch, dass Personen mit vielen Freunden häufiger als Freunde von Freunden auftauchen, als Personen mit wenigen Freunden. 

Es gibt Forschung, die darauf abzielt, das Freundschaftsparadoxon bei der Untersuchung des Verlaufs von Epidemien zu nutzen.<ref>plosone.org: ''[http://www.plosone.org/article/info%3Adoi%2F10.1371%2Fjournal.pone.0012948 PLoS ONE: Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks]'', Zugriff am 7. Januar 2011</ref>

== Mathematische Aussage ==
{{Belege fehlen|Bitte helft mir, Belege für diesen neuen Abschnitt zu suchen --[[Benutzer:Maximilian Janisch|Maximilian Janisch]] ([[Benutzer Diskussion:Maximilian Janisch|Diskussion]]) 10:56, 27. Jan. 2024 (CET)}}
Wir betrachten ein soziales Netzwerk bestehend aus <math>n\in\mathbb N</math> Personen. Gegeben ist also ein ungerichteter Graph <math>(V, E)</math>. Hierbei besteht die Knotenmenge <math>V</math> aus den Zahlen <math>1, \dots, n</math>, wobei jede Zahl eine Person bezeichnet. Zwei Knoten <math>i, j\in V</math> sind im Graph genau dann verbunden, falls Person <math>i</math> mit Person <math>j</math> befreundet ist. Wir definieren <math>a_{i,j}=1</math>, falls Person <math>i</math> mit Person <math>j</math> befreundet ist, und <math>a_{i,j}=0</math> sonst. Die Anzahl Freunde einer Person <math>i</math> ist also der [[Grad (Graphentheorie)|Grad]] des Knoten <math>i</math>, welcher hier mit <math>d_i</math> bezeichnet wird. Es gilt insbesondere <math>d_i=\sum_{j\in V}a_{i,j}</math>. Die durchschnittliche Anzahl der Freunde einer Person ist also
: <math>\frac 1n\sum_{i\in V}d_i.</math>
Die durchschnittliche Anzahl der Freunde, die Freunde einer Person im Durchschnitt haben, ist
: <math>\frac 1n\sum_{i\in V}\frac 1{d_i}\sum_{j\in V}d_j a_{i,j}.</math>
Wir gehen hierbei davon aus, dass <math>d_i>0</math> für alle <math>i\in V</math> gilt, dass also jede Person mindestens eine Freundschaft hat. Ist dies nicht der Fall, so lässt sich die durchschnittliche Anzahl der Freunde, die Freunde einer Person im Durchschnitt haben, nicht definieren. In diesem Fall können zunächst alle Personen ohne Freunde aus dem Graph entfernt werden, sodass sich das Freundschaftsparadoxon dann auf den Teilgraphen, der durch alle Personen mit mindestens einer Freundschaft induziert wird, beschränkt.
Gemäß der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Ungleichung von Cauchy-Schwarz]] ist
: <math>\left(\sum_{i,j\in V}\frac{d_j}{d_i} a_{i,j}\right)\left(\sum_{i,j\in V}\frac{d_i}{d_j} a_{i,j}\right)\ge\left(\sum_{i,j\in V}a_{i,j}\right)^2</math>.
Der Graph ist per Annahme ungerichtet, also ist <math>a_{i,j}=a_{j,i}</math>, und somit folgt
: <math>\sum_{i,j\in V}\frac{d_j}{d_i} a_{i,j} = \sum_{i,j\in V}\frac{d_i}{d_j} a_{i,j}</math>.
Also gilt
: <math>\sum_{i,j\in V}\frac{d_j}{d_i} a_{i,j}\ge \sum_{i,j\in V}a_{i,j} = \sum_{i\in V}d_i.</math>
Somit ist bewiesen, dass die durchschnittliche Anzahl der Freunde, die Freunde einer Person im Durchschnitt haben, immer mindestens so groß ist, wie die durchschnittliche Anzahl der Freunde, die eine Person hat.

== Weblinks ==
* [https://sciencev2.orf.at/stories/1661653 science.ORF.at vom 16. September 2010: Beliebt zu sein ist ungesund]
* [[Psychology Today]] vom 1. November 2009: [http://www.psychologytoday.com/blog/the-scientific-fundamentalist/200911/why-your-friends-have-more-friends-you-do ''Why Your Friends Have More Friends Than You Do'']
* [https://www.theguardian.com/lifeandstyle/2010/jan/30/change-your-life-friends-popular The Guardian vom 30. Januar 2010: ''Ever wondered why your friends seem so much more popular than you are? There's a reason for that'']
* [http://biasandbelief.wordpress.com/2009/08/29/the-friendship-paradox/ Martin Poulter, Bias and Belief, 29. August 2009: ''The friendship paradox'']
* [http://www.ted.com/talks/lang/ger/nicholas_christakis_how_social_networks_predict_epidemics.html Nicholas Christakis, Juni 2010: ''Wie soziale Netzwerke Epidemien vorhersagen'']
* [http://mathsball.blogspot.com.es/2013/10/breakfast-at-les-deux-magots.html Breakfast at Les Deux Magots:ein praktisches Beispiel für das Paradox der Freundschaft] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Sozialpsychologie]]
[[Kategorie:Paradoxon]]

Freundschaftsparadox - Versionsgeschichte

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