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2025-08-16T22:20:14Z

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Die '''fresnelschen Formeln''' (nach [[Augustin Jean Fresnel]]) beschreiben quantitativ die [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] und [[Transmission (Physik)|Transmission]] einer [[Ebene Welle|ebenen]], [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischen Welle]] an einer ebenen Grenzfläche. Der zunächst berechnete Reflexions- und Transmissionsfaktor ist das Verhältnis der reflektierten bzw. transmittierten Amplitude zu jener der einfallenden Welle. Durch Quadrieren erhält man den Reflexions- bzw. den Transmissionsgrad, welche als [[Energiegröße]]n Intensitätsverhältnisse darstellen.

== Vorbetrachtungen ==

Die fresnelschen Formeln können aus den [[Maxwellsche Gleichungen|maxwellschen Gleichungen]] hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der [[Grenzbedingungen (Elektrodynamik)|Randbedingungen]] elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:

:{| cellspacing="1em"
|-
| width="40%" |<math> \vec{n}\times (\vec{E}_2-\vec{E}_1)=0</math>
| width="40%" |<math> \vec{n}\times (\vec{H}_2-\vec{H}_1)=0</math>
|-
| <math> \vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=0</math>
| <math> \vec{n}\cdot (\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0</math>
|}

Hierbei ist <math>\vec{n}</math> die Normale auf die Grenzfläche und die anderen Größen beschreiben Magnetfeld und elektrisches Feld in den beiden Medien. Die Tangentialkomponente der [[Elektrische Feldstärke|elektrischen Feldstärke]] ''E'' und der [[Magnetische Feldstärke|magnetischen Feldstärke]] ''H'' sind an der Grenzfläche stetig, ebenso wie die Normalkomponente der [[Elektrische Flussdichte|elektrischen Flussdichte]] ''D'' und der [[Magnetische Flussdichte|magnetischen Flussdichte]] ''B'' (tangential und normal bezieht sich auf die Grenzfläche).

Abhängig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche. Jede beliebig [[Polarisation#Polarisation elektromagnetischer Wellen|polarisierte elektromagnetische Welle]] lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Als Bezugsebene dient die [[Einfallsebene]], die vom [[Wellenvektor]] <math> \vec{k_e}</math> der einfallenden Welle und der [[Flächennormale]]n <math>\vec{n}</math> aufgespannt wird. Eine einfallende, beliebig polarisierte Welle lässt sich also als Superposition einer ''parallel'' (p) und ''senkrecht'' (s) ''zur Einfallsebene'' polarisierten Welle schreiben:

:<math>\vec{E}=\left[ (E_{0e})_{s}\ \vec{e}_{s}\ e^{i\delta _{s}}+(E_{0e})_{p}\ \vec{e}_{p}\ e^{i\delta _{p}} \right]\ e^{i(\vec{k}_{e}\cdot \vec{r}-\omega t)}=(E_{0e})_{s}\ \vec{e}_{s}\ e^{i(\vec{k}_{e}\cdot \vec{r}-\omega t+\delta _{s})}+(E_{0e})_{p}\ \vec{e}_{p}\ e^{i(\vec{k}_{e}\cdot \vec{r}-\omega t+\delta _{p})}</math>

Dabei ist <math>\vec{E}</math> der Feldvektor des elektrischen Feldes, <math>\vec{e}_i</math> sind die Einheitsvektoren für s- und p-Polarisation, und die Parameter <math>\delta_i</math> entsprechen beliebigen Phasenverschiebungen.

Wegen des Superpositionsprinzips reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen.

Die Polarisationsrichtung (senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene) bleibt nach der Reflexion unverändert.

== Allgemeiner Fall ==

Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche [[Permittivität]] <math>\varepsilon_r</math> und [[Permeabilität (Magnetismus)|Permeabilität]] <math>\mu_r</math> sowie einen komplexen [[Brechungsindex]]
:<math>N = n +\mathrm i K\,</math>.

=== Vorbetrachtung für Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel ===
Im Allgemeinen sind für die Berechnung der Reflexions- bzw. Transmissionsgrade mit den fresnelschen Formeln sowohl der Brechungsindex der beteiligten Medien als auch der Einfalls- und Brechungswinkel notwendig.

Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhängige Form anzugeben, muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden. Da beide Winkel (<math>\alpha</math> und <math>\beta</math>) über das [[Snelliussches Brechungsgesetz|snelliussche Brechungsgesetz]] verknüpft sind, kann dies wie folgt (mit Hilfe einer Falleingrenzung) erreicht werden:
:<math>N_{1}\sin \alpha =N_{2}\sin \beta\,</math> (Brechungsgesetz)

Quadrieren liefert (unter Nutzung einer [[Formelsammlung Trigonometrie#Gegenseitige Darstellung|trigonometrischen Umrechnung]]) folgenden Zusammenhang:
:<math>N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha =N_{2}^{2}\sin ^{2}\beta =N_{2}^{2}\left( 1-\cos ^{2}\beta \right)</math>

Umgestellt ergibt sich daraus:
:<math>\cos \beta =\pm \frac{\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}{N_{2}}</math>

Als Lösung wird der Fall mit dem positiven [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] genutzt, damit später der Reflexionsfaktor ''r'' ≤ 1 ist.

=== Senkrechte Polarisation ===
[[Datei:Polarisation s.png|mini|Bei der senkrechten Polarisation bildet die elektrische Komponente mit der Einfallsebene einen rechten Winkel.]]

Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht (Index: s) zur Einfallsebene polarisiert ist. Sie wird in der Literatur auch als [[Transversalelektromagnetische Welle|transversalelektrische]] (TE) Komponente bezeichnet.

:<math>\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_{s}=t_{s}=\frac{2 N _{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}N_{2}\cos \beta }=\frac{2N_{1}\cos \alpha }{N_{1}\cos \alpha +\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}</math>

:<math>\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_{s}=r_{s}=\frac{N_{1}\cos \alpha -\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}N_{2}\cos \beta }{N_{1}\cos \alpha +\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}N_{2}\cos \beta }=\frac{N_{1}\cos \alpha -\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}{N_{1}\cos \alpha +\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}</math>

Mit dem Transmissionsfaktor <math>t_s</math>, Reflexionsfaktor <math>r_s</math> und den relativen magnetischen Permeabilitäten <math>\mu_{r1}</math> bzw. <math>\mu_{r2}</math>. Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das elektrische Feld.

=== Parallele Polarisation ===
[[Datei:Polarisation p.png|mini|Bei paralleler Polarisation schwingt die elektrische Komponente in der Einfallsebene.]]
[[Datei:Reflexion - Amplitudenverhalten.svg|mini|Koordinatensystem für die Messung der E-Vektoren]]

Im anderen Fall wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel (Index: p) polarisierten Welle betrachtet. Sie wird in der Literatur auch als transversalmagnetische (TM) Komponente bezeichnet. Hierbei beziehen sich die Koeffizienten auf das magnetische Feld.

:<math>\left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_{p}=t_{p}=\frac{2N_{1}\cos \alpha }{N_{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }=\frac{2N_{1}N_{2}\cos \alpha }{N_{2}^{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha +N_{1}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}</math>

:<math>\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_{p}=r_{p}=\frac{N_{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha -N_{1}\cos \beta }{N_{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha +N_{1}\cos \beta }=\frac{N_{2}^{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha -N_{1}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}{N_{2}^{2}\frac{\mu _{r1}}{\mu _{r2}}\cos \alpha +N_{1}\sqrt{N_{2}^{2}-N_{1}^{2}\sin ^{2}\alpha }}</math>

Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren <math>\vec E_r</math> bzw. <math>\vec E_t</math> entsprechen den Richtungen der Vektoren <math>\vec n_e \times \vec k_r</math> bzw. <math>\vec n_e \times \vec k_t</math>, wobei <math>\vec n_e</math> der Normalenvektor der Einfallsebene ist.

== Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität ==

Für den in der Praxis häufigen Spezialfall, dass die beteiligten Materialien näherungsweise die gleiche [[Permeabilität (Magnetismus)|magnetische Permeabilität]] besitzen (<math>\mu_{r1}=\mu_{r2}</math>), z. B. <math>\mu_{r}=1</math> für nicht-magnetische Materialien, vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:

;Senkrechte Polarisation (TE)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s = t_s = \frac{2 N_1 \cos{\alpha}}{ N_1\cos{\alpha}+ N_2\cos{\beta}}</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s = r_s =\frac{ N_1\cos{\alpha}- N_2\cos{\beta}}{ N_1\cos{\alpha}+ N_2\cos{\beta}}</math>

;Parallele Polarisation (TM)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p = t_p =\frac{2 N_1 \cos{\alpha}}{ N_2\cos{\alpha}+ N_1\cos{\beta}}</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p = r_p =\frac{ N_2\cos{\alpha}- N_1\cos{\beta}}{ N_2\cos{\alpha}+ N_1\cos{\beta}}</math>

== Spezialfall: dielektrische Materialien ==

[[Datei:Fresnel Luft-Glas-Grenzfläche.png|mini|hochkant=2|Amplitudenverhältnisse <math>r</math>, <math>t</math> (oben) und Reflexions-/ Transmissionsvermögen <math>R</math>, <math>T</math> (unten) für die Grenzfläche Luft <math>n=1</math> und Glas <math>n=1{,}5</math> (<math>\mu_1=\mu_2=1</math> und <math>\kappa_1=\kappa_2=0</math>). Auf die Grenzfläche einfallendes Licht von der Luftseite (links) und von der Glasseite (rechts).]]

Ein weiterer Spezialfall ergibt sich für ideale [[Dielektrika]], bei denen der [[Absorptionskoeffizient]] <math>\kappa</math> des komplexen Brechungsindex gleich null ist. Das heißt, das Material auf beiden Seiten der Grenzfläche absorbiert die entsprechende elektromagnetische Strahlung nicht (<math>k_1=k_2=0</math>). Es gilt:

:<math> N_i = n_i( 1+\mathrm i \kappa_i) = n_i+\mathrm i k _i\quad\xrightarrow[]{k_i = 0} \quad N_i = n_i</math>

Durch den Wegfall des Imaginärteils vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:<ref name="Bass">vgl. {{Literatur |Hrsg=M. Bass |Titel=Handbook of Optics. Volume I - Geometrical and Physical Optics, Polarized Light, Components and Instruments |Auflage=3. |Verlag=McGraw-Hill Professional Publishing |Datum=2009 |ISBN=978-0-07-162925-6 |Seiten=12.6–12.9}}</ref>

;Senkrechte Polarisation (TE)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s = t_s =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s = r_s =\frac{n_1\cos{\alpha}-n_2\cos{\beta}}{n_1\cos{\alpha}+n_2\cos{\beta}}=-\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}</math>

;Parallele Polarisation (TM)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p = t_p =\frac{2n_1 \cos{\alpha}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p = r_p =\frac{n_2\cos{\alpha}-n_1\cos{\beta}}{n_2\cos{\alpha}+n_1\cos{\beta}}=\frac{\tan{(\alpha-\beta)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}</math>

''Hinweis:'' Das jeweils dritte Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des [[Brechungsgesetz]]es <math>\frac{n_{1}}{n_{2}}=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }</math> und [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoremen]].<ref>{{Literatur |Autor=Eugene Hecht |Titel=Schaum’s outline of theory and problems of optics |Verlag=McGraw-Hill Professional |Datum=1975 |ISBN=0-07-027730-3 |Seiten=40–50}}</ref> Die dabei getroffenen Annahmen sind für Einfallswinkel von 0° und 90° nicht gültig und die Formeln können daher nicht genutzt werden. Hierfür muss die ursprüngliche Form aus reinen Kosinustermen verwendet werden

=== Senkrechter Einfall ===

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich für den Fall, dass der Einfallswinkel α gleich 0 ist (senkrechter Einfall):<ref name="Bass" />

:<math> \left(\frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s = r_s =\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} = -r_p = -\left(\frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p </math>

:<math> \left(\frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s = t_s =\frac{2 n_1}{n_1+n_2} = t_p = \left(\frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p </math>

Fällt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht auf die Grenzfläche Luft/[[Quarzglas]], dann wird der Anteil

:<math> R = r_s^2 = (-r_p)^2 = \left( \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right)^2 = \left( \frac{1-1{,}46}{1+1{,}46} \right)^2 = 0{,}035 = 3{,}5\,\%</math>

der einfallenden Intensität unabhängig von der Polarisation reflektiert (vgl. Abschnitt [[#Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad|Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad]]).

=== Diskussion der Amplitudenverhältnisse ===
[[Datei:Partial transmittance.gif|mini|hochkant=1.5|Partielle Reflexion und Transmission einer eindimensionalen Welle an einer Potentialstufe. Der Anteil der reflektierten und transmittierten Intensität einer elektromagnetischen Welle lässt sich mit den Fresnelschen Formeln berechnen.]]

Dort, wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind, tritt ein [[Phasensprung]] von <math>180^\circ=\pi</math> auf (bei reell und positiv keine Phasenänderung):

:<math>r= -| r |=|r| \cdot e^{i\pi }</math>

Das Amplitudenverhältnis <math>r_p</math> besitzt einen Nulldurchgang am [[Brewster-Winkel]] <math>\alpha _{\text{B}}</math>:

:<math>r_{p}=\frac{\tan (\alpha -\beta )}{\tan (\alpha +\beta )}=0</math>   genau bei   <math>\alpha +\beta =90{}^\circ </math>

:<math>\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{\sin \alpha }{\sin (90{}^\circ -\alpha )}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha </math>   also   <math>\alpha _{\text{B}}=\arctan \frac{n_{2}}{n_{1}}</math>

Beispiele: Brewster-Winkel für Luft-Glas <math>\tfrac{n_{2}}{n_{1}}=\tfrac{1{,}5}{1}</math> ist <math>\alpha _{\text{B}}=56{,}3{}^\circ </math> und für Glas-Luft <math>\tfrac{n_{2}}{n_{1}}=\tfrac{1}{1{,}5}</math> ist <math>\alpha _{\text{B}}=33{,}7{}^\circ </math>.

Für <math>n_{2}<n_{1}</math> werden ab einem bestimmten Winkel die Amplitudenverhältnisse komplex. Ab diesem [[Kritischer Winkel|kritischen Winkel]] oder Grenzwinkel tritt [[Totalreflexion]] auf. Der Grenzwinkel <math>\alpha _{\text{c}}</math> entspricht dem Brechungswinkel <math>\beta =90{}^\circ </math> also <math>\sin \beta =1</math>, d. h., die Welle läuft an der Grenzfläche entlang.

:<math>\frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{\sin \alpha }{\sin 90{}^\circ }=\sin \alpha </math>   also   <math>\alpha _{\text{c}}=\arcsin \frac{n_{2}}{n_{1}}</math>

Beispiel: Grenzwinkel für Glas-Luft <math>\tfrac{n_{2}}{n_{1}}=\tfrac{1}{1{,}5}</math> ist <math>\alpha _{\text{c}}=41{,}8{}^\circ </math>.

=== Diskussion der Amplitudenverhältnisse bei Röntgenstrahlung unter streifendem Einfall ===
Für Röntgenstrahlung mit einer Energie weit weg von den Absoptionskanten des Mediums ist die Absorption vernachlässigbar und der [[Brechungsindex]] ist reell (nicht komplex). Wenn die Strahlung in einem solchen Medium mit Brechungsindex <math>n_2</math> auf die Grenzfläche zu Vakuum oder Luft (mit Brechungsindex <math>n_1\approx 1</math> und <math>n_1>n_2</math>) trifft, lautet das [[Snelliussches Brechungsgesetz|snelliussche Brechungsgesetz]] unter streifendem Einfall ([[Einfallswinkel]]:<math>\alpha = \tfrac{\pi}{2} - \psi_1, \psi_1\ll\tfrac{\pi}{2} </math>) und streifendem Ausfall (Ausfallwinkel:<math>\beta = \tfrac{\pi}{2} - \psi_2, \psi_2\ll\tfrac{\pi}{2}</math>) und der Definition <math>\tfrac{n_2}{n_1}=1-\delta, \delta > 0</math>.

<math>\begin{array}{lcrl}n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta&\Rightarrow& \sin({\tfrac{\pi}{2}}-\psi_1)&=(1-\delta)\sin({\tfrac{\pi}{2}}-\psi_2)\quad\\
&\Rightarrow&\cos\psi_1& =(1-\delta)\cos\psi_2 & \text{, sowie unter Ausnutzung von } \psi_{1,2} \ll \tfrac{\pi}{2} \\
&\Rightarrow&1-{\textstyle\frac{1}{2}}\psi^2_1&=1-\delta-{\textstyle\frac{1}{2}}\psi^2_2\\
&\Rightarrow&\psi_2&=\sqrt{\psi^2_1-2\delta}
\end{array}</math>

Damit entwickelt man die Fresnelschen Formeln unter streifenden Einfall für Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> um die 90°:
;Senkrechte Polarisation (TE)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_s = t_s =\frac{2 \sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=\frac{2 \sin({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_2)\cos({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1)}{\sin{({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1+{\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_2)}}=\frac{2 \cos\psi_2\sin\psi_1}{\sin(\psi_1+\psi_2)}\approx\frac{2 \psi_1}{\psi_1+\psi_2}=\frac{2\psi_1}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s = r_s =-\frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\sin{(\alpha+\beta)}}=-\frac{\sin({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1-{\textstyle\frac{1}{2}}\pi+\psi_2)}{\sin({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1+{\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_2)}=\frac{\sin(\psi_1-\psi_2)}{\sin(\psi_1+\psi_2)}\approx\frac{\psi_1-\psi_2}{\psi_1+\psi_2}=\frac{\psi_1-\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}</math>

Bemerkung: <math>\sin(\pi-\psi_1+\psi_2)=-\sin(\psi_1-\psi_2)</math>
;Parallele Polarisation (TM)

:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_p = t_p =\frac{2\sin{\beta}\cos{\alpha}}{\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}}=\frac{2 \sin({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_2)\cos({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1)}{\sin{(\pi-\psi_1-\psi_2)}\cos{(-\psi_1+\psi_2)}}\approx\frac{2 \cos\psi_2\sin\psi_1}{\sin(\psi_1+\psi_2)}\approx\frac{2 \psi_1}{\psi_1+\psi_2}=\frac{2\psi_1}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}= t_s</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_p = r_p =\frac{\tan{(\alpha-\beta)}}{\tan{(\alpha+\beta)}}=\frac{\tan{(-\psi_1+\psi_2)}}{\tan{(\pi-\psi_1-\psi_2)}}=\frac{-\tan{(\psi_1-\psi_2)}}{-\tan{(\psi_1+\psi_2)}}\approx\frac{\psi_1-\psi_2}{\psi_1+\psi_2}=\frac{\psi_1-\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}= r_s</math>
Bemerkung: <math>\cos{({\textstyle\frac{1}{2}}\pi-\psi_1-{\textstyle\frac{1}{2}}\pi+\psi_2)}=\cos{(\psi_2-\psi_1)}\approx1</math>.

Die Fresnelschen Formeln stimmen sowohl für senkrechte als auch parallele Polarisation überein. Man braucht die Polarisationsrichtung für Röntgenstrahlung unter streifendem Einfall nicht berücksichtigen!

Für genügend hohe Einfallswinkel <math>\psi_1>\psi_g=\sqrt{2\delta}</math> gilt:

:<math> r_s=r_p= \frac{\psi_1-\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}= \frac{1-\sqrt{1-2\delta/\psi_1^2}}{1+\sqrt{1-2\delta/\psi_1^2}}\approx\frac{1-(1-\delta/\psi_1^2)}{1+(1-\delta/\psi_1^2)}\approx\frac{\delta}{2\psi_1^2}=\frac{\psi_g^2}{4\psi_1^2}</math>

Beim kritischen Winkel <math>\psi_1=\psi_g=\sqrt{2\delta}</math> ist mit <math>t_p=t_s=2</math> die Amplitude der elektrischen Feldstärke im Medium doppelt so hoch, wie die einfallende Amplitude. Die Intensität vervierfacht sich. Dies lässt sich durch die Entstehung einer stehenden Welle an der Grenzfläche verstehen. Gemäß der Wikipedia-Seite zum [[Snelliussches Brechungsgesetz|Snelliusschen Brechungsgesetz]] überlagern sich an der Grenzfläche die einfallende Welle <math>\vec{E}_e(t)</math> und die reflektierte Welle <math>\vec{E}_r(t)</math>

:<math> \begin{align}\vec{E}_e(t)&= \vec{E}_e \text{e}^{\text{i}[n_1\frac{\omega}{c}(x\cos\delta_1-y\sin\delta_1)-\omega t]}\approx\vec{E}_e \text{e}^{\text{i}[\frac{\omega}{c}(x\psi_1-y)-\omega t]}\\
\vec{E}_r(t)&=\vec{E}_r \text{e}^{\text{i}[n_1\frac{\omega}{c}(-x\cos\delta_1-y\sin\delta_1)-\omega t]}\approx\vec{E}_r \text{e}^{\text{i}[\frac{\omega}{c}(-x\psi_1-y)-\omega t]}
\end{align}</math>

zu

:<math> \vec{E}_e(t)+\vec{E}_r(t)= \vec{E}_e \text{e}^{\text{i}[\frac{\omega}{c}(x\psi_1-y)-\omega t]}
+\vec{E}_r \text{e}^{\text{i}[\frac{\omega}{c}(-x\psi_1-y)-\omega t]}
</math>

Ohne Einschränkung gilt für senkrechte Polarisation <math> \vec{E}_e =E_{0e}\vec{e}_z</math> und <math> \vec{E}_r =E_{0r}\vec{e}_z</math>

:<math> \vec{E}_e(t)+\vec{E}_r(t)= E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \left[\text{e}^{\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}
+\left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_s \text{e}^{-\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}\right]= E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}
+\frac{\psi_1-\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}} \text{e}^{-\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}\right)
</math>

Für Einfallswinkel <math> \psi_1</math> beim kritischen Winkel der Totalreflexion <math> \psi_1 =\psi_g=\sqrt{2\delta}</math> überlagern sich das einfallende und reflektierte Feld konstruktiv zu:

:<math> \vec{E}_e(t)+\vec{E}_r(t)= E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}
+ \text{e}^{-\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}\right)=E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \cdot2\cos\left(\frac{\omega}{c}x\psi_g\right)
</math>

und es bildet sich bei <math> x=0</math> ein Wellenbauch mit doppelter Amplitude und vierfacher Intensität <math> \sim\cos^2\varphi\sim\cos2\varphi</math>. Der nächste Wellenbauch vor der Grenzfläche entsteht falls <math>2\varphi= 2\frac{\omega}{c}x\psi_g=\pi</math> und damit bei <math> x=\frac{\pi c}{2\omega\psi_g}=\frac{\lambda}{4\psi_g}</math> mit der Kreisfrequenz <math> \omega=2\pi \frac{c}{\lambda}</math>.

Im Grenzfall kleiner Einfallswinkel <math> 0\neq\psi_1 \ll\psi_g</math> geht <math> \frac{\psi_1-\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}{\psi_1+\sqrt{\psi_1^2-2\delta}}\rightarrow-1</math> und das einfallende und reflektierte Feld löschen sich aus:

:<math>\vec{E}_e(t)+\vec{E}_r(t)= E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \left(\text{e}^{\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}
- \text{e}^{-\text{i}\frac{\omega}{c}x\psi_1}\right)=E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \cdot2\text{i}\sin\left(\frac{\omega}{c}x\psi_1\right)\approx E_{0e}\vec{e}_z\text{e}^{-\text{i}[\frac{\omega}{c}y+\omega t]} \cdot2\text{i}\left(\frac{\omega}{c}x\psi_1\right)
</math>
Es bildet sich bei <math> x=0</math> ein Wellenknoten. Das stehende Wellenfeld ändert also seine Phasenlage um
<math>\pi</math> zwischen <math> \psi_1 =0</math> und <math> \psi_1=\psi_g</math>.

;Totalreflexion für senkrechte Polarisation (TE) und parallele Polarisation (TM)
Für Winkel <math>\psi_1</math> geringer als der Grenzwinkel <math>\psi_g=\sqrt{2\delta}</math> tritt für Röntgenstrahlung gemäß der Wikipedia-Seite [[Totalreflexion]] auf! Die Quadratwurzel <math>\sqrt{\psi_1^2-2\delta}=\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}</math> wird komplex.
:<math> \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right) = t =\frac{2\psi_1}{\psi_1+\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}}\quad\Rightarrow\quad T=|t|^2=\frac{2\psi_1}{\psi_1+\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}}\frac{2\psi_1}{\psi_1-\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}}=\frac{4\psi^2_1}{\psi_1^2+2\delta-\psi_1^2}=4\cdot\frac{\psi^2_1}{\psi_g^2}\quad\Rightarrow\quad |t|\sim\psi_1</math>

:<math> \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right) = r=\frac{\psi_1-\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}}{\psi_1+\text{i}\sqrt{2\delta-\psi_1^2}}\quad\Rightarrow\quad R=|r|^2=1</math>

Der Betrag der transmittierten Amplitude <math>|t|</math> nimmt linear mit dem Einfallswinkel <math>\psi_1</math> zu.

Unterhalb des Grenzwinkels <math>\psi_g</math> ist das Reflexionsvermögen <math>R=1</math>. Der totalreflektierende Spiegel ohne Absorption ist also ein idealer Spiegel! Aber auch oberhalb reflektiert der Spiegel mit <math>r_s=\frac{\delta}{2\psi_1^2}</math> noch und zwar umso mehr je größer <math>\delta</math> ist. Die Absorption der Strahlung im Spiegelmaterial reduziert das Reflexionsvermögen.

Auf der Totalreflexion der Röntgenstrahlung an Materie beruhen eine Reihe von Anwendungen:

* Röntgenstrahlen lassen sich mithilfe gekrümmter Spiegel fokussieren. Das ist eine umso interessantere Möglichkeit, als es keine Linsen für Röntgenstrahlung gibt. Das [[Wolter-Teleskop]] ist solch ein Röntgenteleskop<ref>{{Literatur |Autor=Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf |Titel=Theoretische Physik 2. Elektrodynamik |Auflage=10. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum= 2018 |ISBN=978-3-662-56117-1 |Seiten= 213}}</ref>.

* Die Totalreflexion kann dazu benutzt werden um den Brechungsindex von Materie im Röntgenbereich zu bestimmen.

* [[Röntgenbeugung]] und Röntgenabsorption werden bei Totalreflexion inhärent oberflächenempfindlich.

== Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionsgrad ==

[[Datei:Fresnel equations - reflectance (DE).svg|mini|hochkant=2|Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials (<math>n_1 + \mathrm i k_1</math>) auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material]]

Man betrachte ein [[Strahlenbündel]], das auf die Grenzfläche eines isotropen, nicht-magnetischen Materials der Fläche <math>A</math> einfällt. Die Strahlquerschnitte des einfallenden, reflektierten bzw. transmittierten Strahls sind <math>A\cos \alpha</math>, <math>A\cos \alpha</math> bzw. <math>A\cos \beta</math>. Die Energie, die während einer Zeitspanne durch eine Fläche fließt, deren Normale parallel zur Energieflussrichtung <math>\vec S</math> (bei isotropen Medien gleich Ausbreitungsrichtung <math>\vec k</math>) steht, ist gegeben durch den komplexen [[Poynting-Vektor]] <math>\vec{\underline S}</math>:<ref name="Damask">{{Literatur |Autor=Jay N. Damask |Titel=Polarization optics in telecommunications |Verlag=Springer |Ort=New York |Datum=2005 |ISBN=0-387-22493-9 |Seiten=10–17}}</ref>
:<math>\vec{\underline S} = \vec{\underline E} \times \vec{\underline H^*} </math>

Die mittlere [[Energieflussdichte]] erhält man durch zeitliche [[Mittelwert]]bildung<ref name="Damask" /> und einige Umformungen:

:<math>
I
= \left\langle S \right\rangle
= \frac1{2} \Re \left\lbrace \vec{\underline E} \times \vec{\underline H^*} \right\rbrace
= \frac1{2} \Re \left\lbrace \sqrt{\frac{\underline \varepsilon}{\underline \mu}} \vec{\underline E} \times \vec{\underline E^*} \right\rbrace
= \frac1{2} \Re \left\lbrace \sqrt{\frac{\underline \varepsilon}{\underline \mu}} \right\rbrace \left| E_{0}\right| ^{2}
= \frac{\varepsilon_{0}c}{2} \Re \left\lbrace N \right\rbrace \left| E_{0}\right| ^{2}
</math>

Die mittlere Energie, die pro Zeitspanne vom Strahlenbündel transportiert wird (mittlere Leistung, die auf Fläche <math>A</math> trifft), entspricht der mittleren Energieflussdichte mal der Querschnittsfläche, also
:<math>I_e A\,\cos \alpha</math>, <math>I_r A\,\cos \alpha</math> bzw. <math>I_t A\,\cos \beta</math>.

Allgemein (unpolarisiertes Licht) wird der [[Reflexionsgrad]] <math>R</math> (oft auch mit ρ bezeichnet) folgendermaßen definiert:
: <math>
R
=\frac{\text{reflektierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}
=\frac{P_r}{P_e}
=\left| \frac{A\left\langle \vec{S}_{r} \right\rangle \cdot \vec{n}}{A\left\langle \vec{S}_{e} \right\rangle \cdot \vec{n}} \right|
=\left| \frac{I_{r}A\cos \alpha }{I_{e}A\cos \alpha } \right|
=\left| \frac{\Re \left\lbrace \underline N_{1} \right\rbrace \cos \alpha }{\Re \left\lbrace \underline N_{1} \right\rbrace\cos \alpha } \right| \cdot \left| \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right|^{2}
=\left| \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right|^{2}
</math>

und als [[Transmissionsgrad]] <math>T</math> (oft auch mit τ bezeichnet):

: <math>
T
=\frac{\text{transmittierte Leistung}}{\text{eingestrahlte Leistung}}
=\frac{P_t}{P_e}
=\left| \frac{A\left\langle \vec{S}_{t} \right\rangle \cdot \vec{n}}{A\left\langle \vec{S}_{e} \right\rangle \cdot \vec{n}} \right|
=\left| \frac{I_{t}A\cos \beta }{I_{e}A\cos \alpha } \right|
=\left| \frac{\Re \left\lbrace \underline N_{2} \right\rbrace\cos \beta }{\Re \left\lbrace \underline N_{1} \right\rbrace\cos \alpha } \right| \cdot \left| \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right|^{2}</math>

Die beiden Werte lassen sich nun mit Hilfe der fresnelschen Formeln berechnen, sie sind das Produkt des entsprechenden Reflexions- bzw. Transmissionsfaktors mit dessen [[Komplexe Konjugation|konjugiert komplexem]] Wert.

: <math>R_{i}=\left| \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_{i} \right|^{2}=r_{i}\cdot \bar{r}_{i}</math>

: <math>T_{i}
=\left|\Re \biggl(\frac{\left\lbrace N_{2} \right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1} \right\rbrace \cos \alpha }\Biggr) \right| \cdot \left| \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_{i} \right|^{2}
=\left|\Re \biggl(\frac{\left\lbrace N_{2} \right\rbrace \cos \beta }{\left\lbrace N_{1} \right\rbrace \cos \alpha }\Biggr) \right|t_{i}\cdot \bar{t}_{i}</math>

Für ideale Dielektrika, die keine Absorption und daher nur reellwertige Brechungsindizes aufweisen, vereinfachen sich die Gleichungen zu:

: <math>R_{i}=\left| \left( \frac{E_{0r}}{E_{0e}} \right)_{i} \right|^{2}=r_{i}^{2}</math>

: <math>T_{i}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }\left| \left( \frac{E_{0t}}{E_{0e}} \right)_{i} \right|^{2}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }t_{i}^{2}=\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }t_{i}^{2}</math>

mit <math>i</math> für die s- bzw. p-polarisierte Komponente.

Darüber hinaus sind der Reflexions- und Transmissionsgrad über folgende allgemeine Energiestrombilanz an einer Grenzfläche (keine Absorption, d. h. [[Absorptionsgrad]] ist null) miteinander verknüpft:
:<math>T_i + R_i = 1</math>.

== Literatur ==

* [[Wolfgang Nolting (Physiker)|Wolfgang Nolting]]: ''Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik.'' 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8.
* [[Wolfgang Demtröder]]: ''Experimentalphysik 2.'' Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
* [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]: ''Klassische Elektrodynamik.'' de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.
* [[Karl J. Ebeling]]: ''Integrierte Optoelektronik: Wellenleiteroptik, Photonik, Halbleiter.'' 2. Auflage, Springer. Berlin 1998, ISBN 3-540-54655-3.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Fresnel equations|Fresnelsche Formeln}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Augustin Fresnel als Namensgeber]]

Fresnelsche Formeln - Versionsgeschichte

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