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2025-07-07T13:55:24Z

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

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Als '''Fresnel-Integrale''' werden in der [[Mathematik]], insbesondere im Teilgebiet der [[Analysis]], zwei [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]]
bezeichnet, die nach dem Physiker [[Augustin Jean Fresnel]] benannt sind.

== Definition ==
Die beiden Integrale
:<math>
\int_{-\infty}^{\infty}\cos(t^2)\,\mathrm{d}t
=\int_{-\infty}^{\infty}\sin(t^2)\,\mathrm{d}t = \tfrac12\sqrt{2\pi}
</math>
heißen ''Fresnel-Integrale''. Sie ergeben sich aus dem [[Fehlerintegral|gaußschen Fehlerintegral]] unter Benutzung des [[Cauchyscher Integralsatz|cauchyschen Integralsatzes]].

== Geschichte ==
[[Augustin Jean Fresnel|Fresnel]] beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. [[Leonhard Euler|Euler]] betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale
:<math>
\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\cos(2at^2)\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1
</math>
und

:<math>
\int_{-\infty}^{\infty}e^{(a^2-1)t^2}\sin(2at^2)\,\mathrm{d}t =
\frac{a\,\sqrt{\pi}}{1+a^2},\qquad -1\le a\le1.
</math>

== Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik ==
Sie spielen eine wichtige Rolle in der [[Quantenmechanik]]. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus [[Pfadintegral]]en herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

:<math>\mathcal{F}^{(j)}\equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \xi^j \mathrm{d}\xi\,.</math>

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante <math>\mathcal{N}</math> ist

:<math>\mathcal{N} \equiv \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}</math>,

<math>j</math> ist eine ganze [[natürliche Zahl]]. Für <math>j=0</math> ist das Integral

:<math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi</math>

und heißt dann '''Fresnel-Integral'''. Integrale dieser Form tauchen in der aus den [[Richard Feynman|feynmanschen]] Pfadintegralen hergeleiteten [[Schrödingergleichung]] auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine [[komplexe Zahl]], deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} \cos (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}</math> und
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} \sin (\alpha \xi^2) \, \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\pi}{2\left|\alpha\right|}}\cdot \operatorname{sign}(\alpha)\,.</math>

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von <math>\alpha</math>, der antisymmetrische Sinus wechselt das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Aus der Addition ergibt sich mit <math>\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi}{4}}</math> und <math>-1=e^{i\pi}</math> und einer Fallunterscheidung für die [[Signumfunktion]] als Lösung des Fresnel-Integrals

:<math>\mathcal{F}\equiv \mathcal{F}^{(0)} \equiv \mathcal{N} \int_{-\infty}^{\infty} \ \mathrm{e}^{i \alpha \xi^2} \mathrm{d}\xi = \sqrt{\frac{\alpha}{i\pi}}\cdot \sqrt{\frac{i\pi}{\alpha}}=1\,.</math>

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher
|Titel=Funktionentheorie 1
|Auflage=5
|Verlag=Springer-Verlag
|Datum=2002
|ISBN=3-540-59075-7
|Seiten=178 f.}}
* {{Literatur
|Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher
|Titel=Funktionentheorie 2
|Auflage=3
|Verlag=Springer-Verlag
|Datum=2007
|ISBN=978-3-540-40432-3
|Seiten=47}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Fresnel integrals}}

{{SORTIERUNG:Fresnelintegral}}
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Augustin Fresnel als Namensgeber]]

Fresnel-Integral - Versionsgeschichte

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