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2024-11-04T16:21:08Z

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In der [[Algebra]] versteht man unter dem '''freien Produkt''' eine bestimmte Konstruktion einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] aus zwei oder mehr gegebenen Gruppen. Man kann sich das freie Produkt als eine nicht-[[Kommutativgesetz|kommutative]] Entsprechung der [[Direkte Summe abelscher Gruppen|direkten Summe]] vorstellen, ungefähr wie eine Entsprechung von nichtkommutativen Gruppen zu [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]].

==Konstruktion==
Sei <math>(G_i)_{i \in I}:=(G_i,*_{i})_{i \in I}</math> eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Gruppen zu einer Indexmenge <math>I</math>. Das freie Produkt der Familie,<math>\mathop{*}_{i \in I} G_i</math>, ist die Menge aller reduzierten endlichen Wörter über dem Alphabet <math>\bigsqcup_{i\in I}G_i</math> ([[disjunkte Vereinigung]]).
Die Elemente haben also die Form <math>(i_1,g_1)...(i_k,g_k)</math>, mit <math>k\in\N</math> und für alle <math>j \in \{1,\dots,k\}</math>, <math>i_j \in I</math> und <math>g_j \in G_{i_j}</math>.
Ein solches Wort heißt dabei ''reduziert'', wenn
* jedes <math>g_{j}</math> vom [[Neutrales Element|Einheitselement]] <math>1</math> der jeweiligen Gruppe <math>G_{i_j}</math> verschieden ist, und
* <math>i_j \ne i_{j+1}</math> für alle <math>j \in \{1,\dots,k-1\}</math>.

Das [[Leeres Wort|leere Wort]] ist offensichtlich reduziert.

=== Reduktion eines Wortes ===
Durch die Anwendung der folgenden beiden Regeln kann ein beliebiges Wort stets zu einem eindeutig bestimmten reduzierten Wort überführt werden:
* Ist <math>(i,g)(i,h)</math> ein Teilwort, ersetze dies durch <math>(i,g *_i h)</math>.
* Streiche alle <math>(i,1)</math> aus dem Wort.

=== Gruppenstruktur ===
Auf der Menge der reduzierten Wörter <math>\mathop{*}_{i \in I} G_i</math> kann man nun eine Gruppenstruktur definieren.
* Das leere Wort <math>\varepsilon</math> ist das neutrale Element.
* Elemente werden multipliziert, indem sie konkateniert werden und anschließend obige Reduktionsregeln angewendet werden, bis dies nicht mehr möglich ist.
* Das Inverse eines Elements <math>\alpha</math> entsteht, indem in dem reversen von <math>\alpha</math> alle <math>(i,g)</math> durch <math>(i,g^{-1})</math> ersetzt werden.

Jede Gruppe <math>G_i</math> kann man als [[Untergruppe]] in <math>\mathop{*}_{i \in I} G_i</math> ansehen, durch die Identifikation mit dem Bild der Einbettung <math>\mathrm{ins}_i\colon G_i \to \mathop{*}_{i \in I} G_i</math> mit<ref>[[Derek John Scott Robinson|D. J. S. Robinson]]: ''A Course in the Theory of Groups'', Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: ''Free Products of Groups''</ref>
: <math>\mathrm{ins}_i(g) := \begin{cases}
\varepsilon & g = 1 \\
(i,g) & \text{sonst.}
\end{cases}</math>

==Universelle Eigenschaft==
Setze <math>G = \mathop{*}_{i \in I} G_i</math> und schreibe <math>\mathrm{ins}_i \colon G_i \to G</math> für die einbettende Abbildung.

Das freie Produkt von Gruppen erfüllt die folgende [[universelle Eigenschaft]]:
:Sind <math>\varphi_i \colon G_i \to H</math> [[Homomorphismus|Homomorphismen]], so gibt es genau einen Homomorphismus <math>\varphi \colon G \to H</math>, sodass <math>\varphi \circ \mathrm{ins}_i = \varphi_i</math>
gelten.
(Man vergleiche die entsprechende universelle Eigenschaft für das [[Direktes Produkt|direkte Produkt]]: Das freie Produkt erfüllt genau die duale universelle Eigenschaft und ist demzufolge ein Beispiel für ein [[Koprodukt]]).

==Beispiele==
* Die [[freie Gruppe]] über einer Menge <math>S</math> von Erzeugern ist <math>\mathop{*}_{i\in S}\Z</math>.
* Sind <math>(X, x)</math> und <math>(Y, y)</math> punktierte [[Topologischer Raum|topologische Räume]], und betrachtet man die [[Wedge-Produkt (Topologie)|Einpunktvereinigung]] (engl. ''wedge'') <math>X \vee Y</math> der beiden Räume, das heißt, die beiden Räume an den Punkten <math>x</math> und <math>y</math> zusammen, so ist die [[Fundamentalgruppe]] des entstandenen Raumes gleich dem freien Produkt der Fundamentalgruppen der ursprünglichen Räume:
::<math>\pi_1 (X \vee Y) = \pi_1 (X) * \pi_1 (Y)</math>.
:Der [[Satz von Seifert und van Kampen]] verallgemeinert dieses Prinzip für Vereinigungen von Räumen, die einen komplizierteren Durchschnitt haben (im eben genannten Fall ist der Durchschnitt ein Punkt).
* Allgemeiner gilt: Das freie Produkt freier Gruppen ist wieder eine freie Gruppe, dabei addieren sich die Mächtigkeiten der [[Erzeugendensystem]]e.<ref>D. J. S. Robinson: ''A Course in the Theory of Groups'', Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: ''Examples of Free Products, Example I''</ref>
* <math>\Z_2 * \Z_2 \cong D_\infty</math>.<ref>D. J. S. Robinson: ''A Course in the Theory of Groups'', Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: ''Examples of Free Products, Example II''</ref> Dabei ist <math>\Z_2</math> die [[Z2 (Gruppe)|zyklische Gruppe mit ''2'' Elementen]] und <math>D_\infty</math> die [[unendliche Diedergruppe]].
* <math>\Z_2 * \Z_3 \cong \mathrm{PSL}(2,\Z)</math>.<ref>D. J. S. Robinson: ''A Course in the Theory of Groups'', Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 6.2: ''Examples of Free Products, Example III''</ref> Die rechte Seite ist dabei die [[Faktorgruppe]] aus der [[SL(2,R)|speziellen linearen Gruppe]] mit Koeffizienten aus <math>\Z</math> nach ihrem [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]].

==Siehe auch==

*[[Amalgamiertes Produkt]]
*[[Kartesisches Produkt]]
*[[Direkte Summe]]
*[[Freie Gruppe]]
*[[Koprodukt]]
*[[Graphentheorie]]
*[[Untergruppensatz von Kurosch]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Freies Produkt - Versionsgeschichte

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