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2025-06-14T10:27:36Z

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Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebra]] ist ein '''freier Modul''' ein [[Modul (Mathematik)|Modul]], der eine [[Basis (Modul)|Basis]] besitzt. Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe [[Vektorraum]] oder [[freie abelsche Gruppe]].

== Definition ==
Eine Familie <math> B := \{b_i \mid i\in I\} </math> von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls) <math> F </math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> heißt ''linear unabhängig'' oder ''frei'', wenn für jede endliche Indexmenge
<math> \textstyle J\subseteq I </math> und alle <math> \textstyle r_i \in R</math> gilt:
: <math> \sum_{i\in J} r_i \cdot b_i = 0 \;\Rightarrow\; \forall i\in J\colon\, r_i=0. </math>

Erzeugen die <math>\{ b_i \mid i \in I \} </math> zugleich den Modul <math> F </math>, so heißt <math>B</math> eine ''Basis'' (von <math> F </math>) und der Modul <math> F </math> heißt der freie <math>R</math>-Modul über <math>B</math> oder auch einfach ''frei''.

== Anmerkungen ==
=== Erste Beispiele und Gegenbeispiele ===
# Jeder Ring <math>R</math> mit Einselement ist über sich selbst frei. Das heißt, <math> R_R </math> ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist <math> _RR </math> ein freier Linksmodul.
# Ist <math> 1<n \in \N </math>, so ist der <math>\Z</math>-Modul <math> \Z/n\Z </math> nicht frei. Der Grund ist, dass für jede [[Restklasse]] <math>b+n\Z \in \Z/n\Z</math> gilt, dass <math>n \cdot (b+n\Z) = 0 + n\Z</math>. Keine Menge von Restklassen kann also linear unabhängig sein.
# Der <math>\Z</math>-Modul <math> \Q </math> ist [[torsionsfrei]], aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
# Ist <math>n</math> eine natürliche Zahl, so ist <math> R^n =\left\{\begin{pmatrix} r_1,\dots, r_n\end{pmatrix}\mid r_1,\dots r_n \in R\right\}</math> ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie <math> (e_i \mid i \in \{1,\dots, n\})</math>. Dabei ist die <math>i</math>-te Komponente von <math> e_i </math> gleich <math> 1 </math>, alle anderen Komponenten sind <math>0</math>. Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter: Ist <math>I</math> eine beliebige Menge, und <math> (F_i|i \in I) </math> eine Familie von Moduln, so ist das [[Produkt von Moduln#Koprodukt von Moduln|Koprodukt]] <math>\bigoplus_{i \in I}F_i</math> genau dann frei, wenn alle <math> F_i </math> frei sind. Insbesondere ist <math> R^{(I)} </math> frei.
# Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise <math> \Z^{\N} </math> nicht frei.<ref>Tsit-Yuen Lam: ''Lectures on modules and rings.'' GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.</ref>
# Der [[Polynomring]] <math> \textstyle R[X] </math> über dem Ring <math> R </math> ist ein freier Modul mit Basis <math> (X^i |i \in \N) </math>.
# Die Menge der positiven rationalen Zahlen <math> \Q^{+} </math> ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes <math> r \in \Q^{+} </math> eindeutig schreiben <math> r=p_1^{z_1}\cdots p_n^{z_n} </math> mit Primzahlen <math> p_1, \dots, p_n </math>. Es ist also <math> \Q^{+} </math> eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
# Der Ring <math> R </math> ist genau dann ein [[Schiefkörper]], wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

=== Der Rang eines freien Moduls ===
Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:
# Ist <math> \textstyle V </math> ein Vektorraum über dem Körper <math> K </math> mit einer Basis von <math> \textstyle n </math> Elementen, so ist jedes System von <math> \textstyle n </math> freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im <math>\Z</math>-Modul <math>\Z</math> die Menge <math> \textstyle \{2\} </math> frei, aber keine Basis.
# Ist <math>V</math> ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring <math> R </math> kommutativ und <math> R^n \cong R^m </math>, so ist <math> n=m </math>. Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und [[Joachim Schwermer]].<ref>Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: ''Algebra'', Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, [[doi:10.1007/3-540-29287-X]], Seite 165</ref> Über nicht kommutativen Ringen <math>R </math> ist der Satz im Allgemeinen falsch. Ein Beispiel ist die Menge der <math>R</math>-Endomorphismen eines freien <math>R</math>-Moduls mit unendlicher Basis. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen ''IBN''-Ringe.<ref>Siehe hierzu den Artikel [[:en:Invariant basis number]]</ref> [[Noetherscher Ring|Noethersche Ringe]] haben diese Eigenschaft.
# Es gilt allgemeiner: Ist <math> \rho \colon R \rightarrow S </math> ein Homomorphismus von Ringen und ist <math> S </math> ein IBN-Ring, so auch <math> R </math>. Gibt es also beispielsweise von <math> R </math> einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring <math> S </math>, so ist <math> R </math> ein IBN-Ring.

== Eigenschaften freier Moduln ==
=== Allgemeine Eigenschaften ===
# Ist <math> (m_i|i \in I)</math> eine Familie von Elementen aus dem Modul <math> M </math>, so gibt es genau einen [[Modulhomomorphismus|Homomorphismus]] <math> R^{(I)}= \bigoplus_{i \in I}R e_i \rightarrow M </math> mit <math> f(e_i) = m_i </math>. Dabei ist <math> (e_i|i \in I) </math> eine Basis (im Zweifel die kanonische) von <math> R^{(I)} </math>. Erzeugt die Familie <math> (m_i|i \in I) </math> den Modul <math> M </math>, so ist <math> f </math> ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
# Ist <math> F </math> ein freier Modul und <math> f\colon M \rightarrow F </math> ein Epimorphismus, so ist <math> \operatorname{Kern}(f) </math> [[Untermodul|direkter Summand]] in <math> M </math>. Es gibt ein <math> g\colon F \rightarrow M </math> mit <math> f\circ g = \mathbf{1}_F </math>.
# Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge <math> X </math> gehört der freie Modul <math> \mathbf{F}(X):= R^{(X)} </math> und die kanonische injektive Abbildung <math> \Phi(X)\colon X \ni x \mapsto e_x \in R^{(X)} </math>. Ist <math> Y </math> eine weitere Menge und <math> \alpha\colon X \rightarrow Y </math> eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie <math> (e_{\alpha(x)}| x\in X) </math> genau einen Homomorphismus <math> \mathbf{F}(\alpha)\colon \mathbf{F}(X) \rightarrow \mathbf{F}(Y) </math>, so dass <math> \mathbf{F}(\alpha) \circ \Phi(X)= \Phi(Y) \circ \alpha </math> gilt. Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ:[[Datei:Funktorinfreiesobjekt.png|rechts]] Sind <math> \alpha\colon X \rightarrow Y\, \beta\colon Y \rightarrow Z </math> Abbildungen, so ist <math> \mathbf{F}(\alpha \circ \beta) = \mathbf{F}(\alpha) \circ \mathbf{F}(\beta) </math>. In der Sprache der [[Kategorientheorie]] lässt sich das so ausdrücken: <math> \mathbf{F} </math> ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. <math> \Phi </math> ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor <math> \mathbf{F} </math>.
# Wie in 3. gehört zu jedem Modul <math> M </math> der freie Modul <math> F(M) = R^{(M)}=\bigoplus_{m \in M}R e_m </math>. Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus <math> \Psi(M):F(M) \ni e_m\mapsto m \in M </math>. Für alle <math> \alpha\colon M \rightarrow N </math> ist <math> \Psi(N)\circ F(\alpha)= \alpha\circ \Psi(N) </math>. Es ist <math> \Psi </math> ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor <math> \mathbf{F} </math> und dem Identitätsfunktor.

=== Freie Moduln über besonderen Ringen ===
# Über [[Hauptidealring]]en ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
# Über [[Lokaler Ring|lokalen Ringen]] sind alle [[Untermodul|direkte Summanden ]] von freien Moduln (das sind [[Projektives Objekt|projektive Moduln]]) frei.

== Konstruktion ==
Zu jeder Menge <math>S</math> und jedem Ring <math>R</math> gibt es den freien <math>R</math>-Linksmodul <math>FS</math> über <math>S</math>. Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von <math>S</math>-Elementen, kodiert etwa als <math>FS := \{v\colon S \to R \mid \{s\in S \mid v(s) \neq 0\} \text{ endlich}\}</math>.
Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:
{|
|-
| style="width:1.2em;" | || style="width:1.3em;" | <math>+</math> || <math>\colon</math> || style="width:11em;" | <math>FS\times FS \to FS</math> || <math>(v+w)(s) := v(s)+w(s)</math>
|-
| || <math>\cdot</math> || <math>\colon</math> || <math>R\times FS \to FS</math> || <math> (r\cdot v)(s) := r\cdot v(s)</math>
|}
Die Elemente von <math>S</math> sind hierbei keine Elemente von <math>FS</math>. Wenn <math>R</math> eine <math>1=:e</math> (oder auch nur eine Links-Erzeugende <math>e</math> mit <math>\Z e + R e = R</math>) hat, so lassen sie sich aber einbetten mittels
{|
|-
| style="width:1.2em;" | || style="width:1.3em;" | <math>\eta_S</math> || <math>\colon</math> || style="width:11em;" | <math>S \to FS</math> || <math>\eta_S(s) :</math> || <math>S \to R</math>
|-
| || || || || || <math>t \mapsto \begin{cases}e & s=t \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases}</math>
|}

Der freie <math>R</math>-Rechtsmodul ist der freie <math>R^\text{op}</math>-Linksmodul, wobei <math>R^\text{op}</math> den [[Gegenring]] von <math>R</math> bezeichnet.

== Abschwächungen ==
Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls <math>M</math> über einem kommutativen Ring <math>A</math> mit den Eigenschaften [[Projektiver Modul|projektiv]], [[Flachheit (Algebra)|flach]] und [[Torsion (Algebra)|torsionsfrei]] in Beziehung:
: [[Datei:Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg]]

== Siehe auch ==
* [[Basis (Vektorraum)]]
* [[Projektives Objekt]]

== Literatur ==
* Tsit-Yuen Lam: ''Lectures on modules and rings.'' GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3.
* Friedrich Kasch: ''Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
* Robert Wisbauer: ''Grundlagen der Modul- und Ringtheorie.'' Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebra]]

Freier Modul - Versionsgeschichte

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