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2024-05-21T02:35:21Z

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In der [[Mathematik]] und [[Logik]] bezeichnet man eine [[Variable (Logik)|Variable]] als in einer [[Mathematische Formel|mathematischen Formel]] '''frei''' vorkommend, wenn sie in dieser Formel an mindestens einer Stelle nicht im [[Skopus (Logik)|Bereich]] eines [[Operator (Mathematik)|Operators]] auftritt. Sind hingegen alle Vorkommen der Variable innerhalb der Formel an Operatoren gebunden, bezeichnet man die Variable als in dieser Formel '''gebunden'''. Eine Formel ohne freie Variablen wird ''geschlossene Formel'', eine Formel mit mindestens einer freien Variablen wird ''offene Formel'' genannt.

Zum Beispiel ist in der [[Prädikatenlogik]] eine [[Individuenvariable]] in einer prädikatenlogischen Formel '''frei''', wenn sie in dieser Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im [[Skopus (Logik)|Bereich]] eines [[Quantor]]s zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor (<math>\forall</math> oder <math>\exists</math>) und nur innerhalb seines Bindungsbereichs verwendete Variable heißt '''gebunden'''. In der Prädikatenlogik wird eine geschlossene Formel, das heißt eine Formel ohne freie Variablen, auch ''Aussage'' oder ''Satz'' genannt; eine offene Formel, das heißt eine Formel mit freien Variablen, wird auch [[Aussageform]] genannt.

Ein und dieselbe Variable kann in einer Formel sowohl freie als auch gebundene Vorkommen haben. Die Kenntnis von freien und gebundenen Variablen wird zum Beispiel für die [[Bereinigte Normalform|Bereinigung]] von Formeln benötigt.

Gebundene Variablen kommen stets bei der Notation von [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen und Mengen]] vor, die in der Mathematik überall gebraucht werden. Ebenso kommen sie vor beim [[Lambda-Kalkül]] und bei Ausdrücken mit einer gebundenen [[Integrationsvariable]] oder [[Summationsvariable]]n sowie bei [[Kennzeichnung (Logik)|Kennzeichnungen]].

== Prädikatenlogische Definition ==

{{Hauptartikel|Prädikatenlogik_erster_Stufe#Freie_Variablen|titel1=Prädikatenlogik erster Stufe}}

== Beispiele ==

* In der (geschlossenen) Formel <math>\forall xP(x)</math> ist die Variable <math>x</math> gebunden und nicht frei.
* In der (geschlossenen) Formel <math>\exists x (P(x)\lor Q(x))</math> ist die Variable <math>x</math> gebunden und nicht frei.
* In der (offenen) Formel <math>(\forall x P(x)) \land Q(x)</math> kommt die Variable <math>x</math> sowohl gebunden als auch frei vor: Gebunden ist ihr Vorkommen in der Teilformel <math>\forall x P(x)</math>, frei ist ihr Vorkommen in der Teilformel <math>Q(x)</math>, auf die sich der Allquantor nicht mehr erstreckt.
* In der (offenen) Formel <math>\forall x ( P(x) \land Q(x,y))</math> ist <math>x</math> gebunden und <math>y</math> ist frei.
* In der Formel für die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] <math>\{x \mid A(x)\}</math> ist die Variable <math>x</math> gebunden und nicht frei.
* In der Formel für die [[Potenzmenge]] <math>\mathcal Pa = \{x \mid x\subseteq a\}</math> ist die Variable <math>x</math> gebunden und <math>\,a</math> frei.
* Bei der Kennzeichnung <math>\iota x F(x)</math>, zu lesen als: „dasjenige <math>x</math>, für das <math>F(x)</math> gilt“ (Eindeutigkeit vorausgesetzt).

== Weitere Begriffe ==
* ''Gebundene Umbenennung'': Eine durch einen Quantor gebundene Variable kann durch eine andere (vorher nicht vorkommende) ersetzt werden, wobei eine [[Logische Äquivalenz|logisch äquivalente]] Formel entsteht. Beispiel: Aus <math>\forall x P(x) \land Q(x,y)</math> entsteht durch gebundene Umbenennung die Formel <math>\forall z P(z) \land Q(x,y)</math>.
* ''[[Vollfreie Variable]]'': Eine freie Variable ohne gebundenes Vorkommen nennt man auch vollfrei. Durch gebundene Umbenennung kann man jede Formel in eine logisch äquivalente umformen, in der alle freien Variablen tatsächlich vollfrei sind.

== Mathematische Notationen mit gebundenen Variablen ==
In den folgenden mathematischen Notationen (und vielen weiteren) wird eine gebundene Variable verwendet: 
{|
| <math>\sum_{i=1}^{n}a_i</math> || ([[Summe]] endlich vieler Werte)||<math>i</math> ist gebunden, <math>n</math> und <math>a</math> sind frei
|-
| <math>\int_a^b f(x)\,\mathrm dx</math> ||([[Bestimmtes Integral]])|| <math>x</math> ist gebunden, <math>a</math>, <math>b</math> und <math>f</math> sind frei
|-
| <math>\lim_{n\to\infty} a_n</math> ||([[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer [[Folge (Mathematik)|unendlichen Folge]])|| <math>n</math> ist gebunden, <math>a</math> ist frei
|-
| <math>\lim_{x \to x_0} f(x)</math> ||([[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] an der Stelle <math>x_0</math>)|| <math>x</math> ist gebunden, <math>x_0</math> und <math>f</math> sind frei
|}

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Rautenberg]]
|Titel=Einführung in die Mathematische Logik
|Auflage=3.
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|ISBN=978-3-8348-0578-2}}
* {{Literatur
|Autor=H.-P. Tuschik, H. Wolter
|Titel=Mathematische Logik – kurzgefaßt
|Verlag=Spektrum, Akad. Verlag
|Ort=Heidelberg
|Datum=2002
|ISBN=3-8274-1387-7}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution#freie Variable|Mathe für Nicht-Freaks: Freie und gebundene Variable}}

[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Prädikatenlogik]]

Freie Variable und gebundene Variable - Versionsgeschichte

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