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2024-10-16T18:32:52Z

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In der [[Mathematik]] ist die nach [[Erik Ivar Fredholm]] benannte '''Fredholmsche Alternative''' ein Resultat der [[Fredholmtheorie]]. Sie kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden: als Theorem der [[lineare Algebra|linearen Algebra]], als ein Theorem über [[Integralgleichung]]en oder als ein Theorem über [[Fredholm-Operator]]en. Insbesondere besagt es, dass eine [[komplexe Zahl]] ungleich 0 im [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] eines [[kompakter Operator|kompakten Operators]] ein [[Eigenwert]] ist.

== Version der linearen Algebra ==
In einem <math>n</math>-dimensionalen [[Vektorraum]] <math>V</math> gilt für eine [[lineare Abbildung]] <math>A\colon V\to V</math> genau eine der folgenden Aussagen:
# Zu jedem Vektor <math>v</math> in <math>V</math> gibt es einen Vektor <math>u</math> in <math>V</math> so, dass <math>Au=v</math>. Mit anderen Worten: <math>A</math> ist surjektiv.
# Es gibt ein <math>u \neq 0</math> in <math>V</math> mit <math>A u = 0 </math>, das heißt: <math>A</math> ist nicht injektiv.

== Fredholmsche Integralgleichungen ==
Sei <math>K(x,y)</math> ein [[Integralkern]]. Betrachte die homogene [[Fredholmsche Integralgleichung]],

:<math>\lambda \phi(x)- \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = 0</math>,

sowie die inhomogene Gleichung

:<math>\lambda \phi(x) - \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = f(x)</math>.

Die Fredholmsche Alternative besagt nun, dass für eine komplexe Zahl <math>0 \neq \lambda \in \mathbb{C}</math>, entweder die erste Gleichung eine nichttriviale Lösung hat, oder die zweite Gleichung eine Lösung für beliebige rechte Seiten <math>f(x)</math> besitzt.

Eine hinreichende Bedingung, damit dieser Satz gilt, ist die [[Quadratintegrierbar]]keit von <math>K(x,y)</math> auf dem Rechteck <math>[a,b]\times[a,b]</math> (wobei ''a'' und/oder ''b'' auch plus oder minus unendlich sein dürfen).

== Fredholmsche Alternative ==
=== Aussage ===
Sei <math>K \in K(X)</math> ein [[kompakter Operator]] auf <math>X</math> und sei <math>\lambda \in \Complex</math> mit <math>\lambda \neq 0</math>. Dann ist <math>Tx := \lambda x - Kx</math> ein [[Fredholm-Operator]] mit Fredholm-Index 0. Die Fredholmsche Alternative lautet nun:
* '''Entweder''' haben sowohl die homogene Gleichung
::<math>\lambda x - Kx = 0</math>
:als auch die [[adjungierter Operator|adjungierte]] Gleichung
::<math>\lambda x' - K' x' = 0</math>
:nur die triviale Lösung Null und somit sind die inhomogenen Gleichungen
::<math>\lambda x - K x = y</math>
:und
::<math>\lambda x' - K' x' = y'</math>
:eindeutig lösbar,
* '''oder''' die homogene Gleichung
::<math>\lambda x - Kx = 0</math>
:und die [[adjungierter Operator|adjungierte]] Gleichung
::<math>\lambda x' - K' x' = 0</math>
:besitzen genau <math>n = \dim \ker(\lambda \operatorname{id}- K) < \infty</math> [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Lösungen (wobei <math>\operatorname{id}</math> die [[identische Abbildung]] bezeichnet) und somit wäre die inhomogene Gleichung
::<math>\lambda x - K x = y</math>
:genau dann lösbar, wenn <math>y \in (\ker(\lambda \operatorname{id}- K'))^\bot</math> gilt.

=== Im Zusammenhang mit den Integralgleichungen ===
Beachte, dass die [[Delta-Distribution]] die Identität der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] ist. Sei <math>X</math> ein [[Banachraum]], beispielsweise <math>X=L^2([a,b])</math> und sei <math>T \colon X \to X</math> ein Fredholm-Operator, welcher durch
:<math>T\phi(x)= \int_a^b \lambda \delta(x-y)\phi(y) - k(x,y)\phi(y) dy = \lambda \phi(x) - \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy,</math>
definiert ist, wobei <math>k \in L^2([a,b])</math> gelten muss, um einen Fredholm-Operator zu erhalten. Dann ist <math>\textstyle \int_a^b k(x,y)\phi(y) dy</math> ein kompakter Operator und man sieht, dass diese Aussage die Aussage über die Fredholmschen Integralgleichungen verallgemeinert.

Die Fredholmsche Alternative kann man dann wie folgt formulieren: Ein <math>\lambda \neq 0</math> ist entweder ein Eigenwert von <math>K</math> oder es liegt in der [[Resolventenmenge]]
:<math>\rho(K)= \{ \lambda \in \mathbb C : (\lambda \operatorname{id}-K) \text{ beschränkt invertierbar} \}</math>.

== Literatur ==
* Paul Mönnig: ''Die praktische Auflösung der fredholm’schen Integralgleichung mit symmetrischem Produktkern'', Braunschweig 1947. Reihe: Veröffentlichungen d. Math. Inst. d. Techn. Hochsch. Braunschweig, 1947,4 (nicht in DNB nachgewiesen)
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-72533-6.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Fredholmsche Alternative - Versionsgeschichte

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