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[[Datei:Dih4 subgroups (cycle graphs).svg|mini|360px|Untergruppendiagramm der [[Diedergruppe]] ''D''<sub>4</sub>. Die drei Untergruppen der Ordnung vier in der zweiten Zeile sind die maximalen Untergruppen. Ihr Schnitt ist die Frattinigruppe. Sie ist eine der fünf Untergruppen der Ordnung 2.]]

In der [[Gruppentheorie]] ist die '''Frattinigruppe''' (oder genauer '''Frattiniuntergruppe''') eine spezielle [[Untergruppe]] einer gegebenen [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher [[p-Gruppe]]n untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker [[Giovanni Frattini]], der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.<ref>[[Giovanni Frattini]]: ''Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni.'' In: ''Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti.'' Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), {{ISSN|0001-4435}}, [https://archive.org/stream/rendiconti4118841885real#page/280/mode/2up S. 281–285]; ''Nota II.'' In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, [https://archive.org/stream/rendiconti4118841885real#page/454/mode/2up S. 455–457].</ref>

== Definition ==
Ist <math>G</math> eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe <math>\Phi(G)</math> definiert als der [[Schnittmenge|Schnitt]] aller [[maximale Untergruppe|maximalen Untergruppen]] von <math>G</math>.<ref>[[Hans Kurzweil]], [[Bernd Stellmacher]]: ''Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung.'' Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.</ref>

Dabei heißt eine Untergruppe <math>M</math> von <math>G</math> ''maximal'', wenn <math>M \neq G</math> gilt und es keine echt größere Untergruppe <math>H</math> mit <math>M \subsetneq H \subsetneq G</math> gibt.

Falls <math>G</math> keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der [[Triviale Gruppe|trivialen Gruppe]] <math>G = \{e\}</math> oder mancher unendlicher Gruppen wie der [[Prüfergruppe]], setzt man <math>\Phi(G) := G</math>.<ref>{{Literatur|Autor=[[Marshall Hall (Mathematiker)|Marshall Hall]]|Verlag=The Macmillan Company|Ort=New York NY|Jahr=1959|Titel=The Theory of Groups|Seiten=157}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Die Frattinigruppe ist eine [[charakteristische Untergruppe]], also insbesondere ein [[Normalteiler]].
* Ist <math>G</math> endlich, dann ist <math>\Phi(G)</math> [[Nilpotente Gruppe|nilpotent]]. Ist <math>G / \Phi(G)</math> ebenfalls nilpotent, dann ist auch <math>G</math> nilpotent.
* Gilt <math>G = H \Phi(G)</math> mit einer Untergruppe <math>H</math> von <math>G</math>, dann ist <math>G = H</math>.
* Die Frattinigruppe besteht genau aus den ''Nichterzeugern'' von <math>G</math>, d. h., es gilt <math>x \in \Phi(G)</math> genau dann, wenn für jede Teilmenge <math>E \subseteq G</math> aus <math>G = \langle E, x \rangle</math> stets <math>G = \langle E \rangle</math> folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem [[Erzeuger (Algebra)#Gruppen|Erzeugendensystem]] von <math>G</math> überflüssig.

== Literatur ==
* [[Bertram Huppert]]: ''Endliche Gruppen'' (= ''Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften.'' Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4430933-8|LCCN=sh/91/1803}}

[[Kategorie:Untergruppe]]

Frattinigruppe - Versionsgeschichte

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