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2024-10-13T17:17:19Z

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Ein '''Frame''' ist ein [[Mathematisches Objekt|Objekt]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]], insbesondere aus dem Bereich der Hilbertraumtheorie. Es handelt sich um ein besonderes [[Erzeugendensystem]] eines [[Hilbertraum]]es.

== Definition ==
Es sei <math>H</math> ein separabler Hilbertraum
mit [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> und davon [[Skalarproduktnorm|induzierter Norm]] <math>\| \cdot \| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot\rangle}.</math>
Eine Familie <math>\left\{f_j\right\}_{j \in \Z} \subset H</math> heißt ''Frame'' von <math>H</math>,
wenn es <math>0 < m \leq M</math> gibt, so dass für alle <math>f\in H</math> die Ungleichung
:<math>m \left|\left| f \right|\right|^2 \leq \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2 \leq M \left|\left| f \right|\right|^2</math>
gilt. Dies bedeutet, dass die <math>\ell^2</math>-Norm der Folge der Fourierkoeffizienten <math>(\langle f, f_j\rangle)_{j\in\mathbb{Z}}</math> in direktem Zusammenhang mit der Norm der Funktion <math>f</math> steht.

Kann darin <math>m = M</math> gewählt werden, dann bezeichnet man den Frame als ''straff'' oder ''tight''.

Ist obige [[Ungleichung]] speziell für <math>m = M = 1</math> erfüllt, so nennt man den Frame auch ''Parsevalframe''.
In diesem Fall gilt für alle <math>f\in H</math> die [[parsevalsche Gleichung]]
:<math>\left|\left| f \right|\right|^2 = \sum_{j\in \Z} \left| \langle f, f_j \rangle \right|^2</math>.

== Beispiel ==
* Die Vektoren <math>(1/2,1/2), \, (1/2,i/2), \, (1/2, -1/2),\, (1/2,-i/2)</math> sind ein straffer Frame für den <math>\mathbb{C}^2.</math>

== Eigenschaften ==
* Jedes Frame <math>\left\{f_j\right\}_{j \in \Z}</math> ist ein [[Erzeugendensystem]] von <math>H</math> im folgenden (topologischen) Sinne: Es gilt <math>\overline{\operatorname{span}\{f_j\}} = H</math>.
* Jede [[Orthonormalbasis]] ist ein Parsevalframe.
* Insbesondere Parsevalframes verhalten sich ähnlich gutartig wie Orthonormalbasen, da für diese die Entwicklung <math>\textstyle f = \sum_{j\in \Z} \langle f, f_j \rangle f_j</math> gilt. Im Unterschied zu Orthonormalbasen ist diese Zerlegung jedoch nicht eindeutig, das heißt, es kann auch andere [[Koeffizient]]en <math>\{c_j\}_{j\in\Z}</math> geben mit <math>\textstyle f = \sum_{j\in \Z} c_j f_j\,.</math>

== Literatur ==
* Ole Christensen: ''An Introduction to Frames and Riesz Bases''. Birkhäuser 2002, ISBN 0-8176-4295-1.

== Weblinks ==
* [https://planetmath.org/frame1 Frame] bei [[PlanetMath]]

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Frame (Hilbertraum) - Versionsgeschichte

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