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2023-11-29T14:14:05Z

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Die '''Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale''', auch als {{EnS|''discrete-time Fourier transform''}}, abgekürzt '''DTFT''' bezeichnet, ist eine lineare Transformation aus dem Bereich der [[Fourier-Analysis]]. Sie bildet ein unendliches, [[zeitdiskretes Signal]] auf ein kontinuierliches, periodisches [[Frequenzraum|Frequenzspektrum]] ab, welches auch als [[Bildbereich]] bezeichnet wird.

== Unterscheidung zur Diskreten Fourier-Transformation ==
Die DTFT ist mit der [[Diskrete Fourier-Transformation|Diskreten Fourier-Transformation]] (DFT) verwandt, welche mit diskreten Zeitsignalen und diskreten Spektren arbeitet. Die DTFT unterscheidet sich von der DFT darin, dass sie ein kontinuierliches Spektrum bildet, welches sich, unter Umständen, als abschnittsweise geschlossener [[Analysis|mathematischer Ausdruck]] angeben lässt. Wie auch die DFT bildet die DTFT im Bildbereich ein periodisch fortgesetztes Frequenzspektrum, welches als Spiegelspektrum bezeichnet wird.

Im Gegensatz zur DFT besitzt die DTFT nur eine geringe Bedeutung in praktischen Anwendungen wie der [[Digitale Signalverarbeitung|digitalen Signalverarbeitung]], primärer Anwendungsbereich liegt bei der theoretischen Signalanalyse.

== Definition ==
Das Spektrum <math>X(\omega)</math> eines [[Abtastung (Signalverarbeitung)|abgetasteten]] (diskreten) Zeitsignals, repräsentiert als eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>x[n]</math> mit <math>n \in \mathbb{Z}</math> und der [[Abtastrate|Abtastzeit]] <math>t_A = 1/f_A</math>, ist:

:<math>X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, e^{-\mathrm{j} \omega n t_A} = \mathrm{DTFT} \{x[n]\}</math>

mit der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>\mathrm{j}</math> und der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>. Die inverse Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale über das [[Basisband]] ohne periodische Spektralanteile ist gegeben als:

:<math>x[n] = \frac{1}{\omega_A} \int_{-\omega_A/2}^{\omega_A/2} X(\omega)\cdot e^{\mathrm{j} \omega n t_A} \, \mathrm{d} \omega = t_A \int_{-f_A/2}^{f_A/2} X(2 \pi f)\cdot e^{\mathrm{j} 2 \pi f n t_A} \, \mathrm{d} f = \mathrm{DTFT}^{-1} \{ X(\omega) \}</math>

Um die Abhängigkeit von der Abtastzeit <math>t_A</math> in den Ausdrücken zu vermeiden, wird das Spektrum auf die Abtastfrequenz <math>f_A</math> normiert und mit der so normierten Kreisfrequenz

:<math>\Omega = \omega \cdot t_A</math>

lautet die DTFT:

:<math>X(\Omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, e^{-\mathrm{j} \Omega n}</math>

und die inverse DTFT:

:<math>x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\Omega)\cdot e^{\mathrm{j} \Omega n} \, \mathrm{d} \Omega</math>

== Eigenschaft ==
Einige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale sind im Folgenden dargestellt.

===Versatz===
Die im Zeitbereich verschobene Folge <math>x[n-n_0]</math> entspricht einer Phasendrehung (Modulation) im Spektralbereich:

:<math>\mathrm{DTFT} \{x[n-n_0] \} = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} X[\Omega] \,</math>
Beweis:
:<math>\mathrm{DTFT} \{x[n-n_0] \} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-n_0] \, e^{-\mathrm{j} \Omega n} \, , \, mit: \, m=n-n_0 \leftrightarrow n = m+n_0</math>
:<math>\begin{align}
\rightarrow \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega [m+n_0]}
& = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega m} \cdot e^{-\mathrm{j} \Omega n_0}
= e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} \cdot \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega m} \\
& = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} \cdot \mathrm{DTFT} \{x[n] \}
= e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} X[\Omega] \\
\end{align}</math>

Analog dazu entspricht ein im Frequenzbereich verschobenes Spektrum <math>Y[\Omega - \Omega_0]</math> einer Phasendrehung im Zeitbereich:

:<math>\mathrm{DTFT} \{x[n] e^{\mathrm{j} \Omega_0 n} \} = X[\Omega - \Omega_0] \,</math>

===Faltungseigenschaft===
Die DTFT eines Produktes zweier Wertefolgen <math>x[n]</math> und <math>y[n]</math> entspricht der [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] der Spektren:

:<math>\mathrm{DTFT} \{x[n] \cdot y[n]\} = \frac{1}{2 \pi} X[\Omega] * Y[\Omega] \,</math>

Umgekehrt entspricht der Faltung im Zeitbereich die Multiplikation im Bildbereich:

:<math>\mathrm{DTFT} \{x[n] * y[n]\} = X[\Omega] \cdot Y[\Omega] \,</math>

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = [[Otto Föllinger]]
|Titel = Laplace-, Fourier- und z-Transformation
|Verlag = VDE-Verlag | Auflage = 10. | Jahr = 2011 | ISBN = 978-3-8007-3257-9 }}
*{{Literatur
|Autor = Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer
|Titel = Zeitdiskrete Signalverarbeitung
|Verlag = Oldenbourg Verlag | Auflage = 3. | Jahr = 1999 | ISBN = 3-486-24145-1 }}

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Diskrete Transformation]]

Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale - Versionsgeschichte

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