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2019-12-07T08:48:10Z

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'''Formfunktionen''' <math>N</math> sind [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die bei der [[Methode der finiten Elemente]] den realen Funktionsverlauf <math>u(x,y)</math> über dem Element bestmöglich [[Approximation|annähern]].

Bedingung dabei ist die Erfüllung der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]]sbedingung. Deshalb können zwar keine [[Polynom]]e der Art <math>u(x,y) = c_1 + c_2 \cdot x + c_3 \cdot y</math> verwendet werden, aber die Werte in den Knotenpunkten, die jeweils von mindestens zwei Elementen geteilt werden.

Der gesuchte Funktionsverlauf wird durch [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] der Werte in diesen Knotenpunkten näherungsweise bestimmt. Um den Funktionsverlauf durch die Knotenpunkte auszudrücken, führt man die Formfunktionen ein. Diese besitzen die Eigenschaft, im aktuellen Knoten stets 1 und in den restlichen Knoten 0 zu sein, so dass sich der Funktionsverlauf ergibt als:

:<math>u(x,y) = \sum_i u_i \cdot N_i(x,y)</math>,
wobei
* <math>u</math> den Wert am Knoten und
* <math>i</math> die Nummer des Knotens im Element darstellt.

== Beispiel ==
Die linearen Formfunktionen für das [[Einheitsdreieck]] im <math>\xi</math>,<math>\eta</math>-Koordinatensystem lauten wie folgt:

:<math>N(\xi ,\eta ) = \begin{pmatrix} 1-\xi - \eta \\ \xi \\ \eta \end{pmatrix}</math>

Das Einsetzen der jeweiligen Koordinaten der drei Eckpunkte <math>(0,0), (1,0), (0,1)</math> zeigt die gewünschte Funktionalität:

:<math>\begin{align}
N(0, 0) = \begin{pmatrix} 1 - 0 - 0 = 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow u(0, 0) & = u_1 \cdot N_1(0, 0) + u_2 \cdot N_2(0, 0) + u_3 \cdot N_3(0, 0)\\
& = u_1 \cdot 1 + u_2 \cdot 0 + u_3 \cdot 0\\
& = u_1
\end{align}</math>

:<math>N(1, 0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow u(1, 0) = u_2</math>

:<math>N(0, 1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow u(0, 1) = u_3</math>

== Quellen ==
* Hans Rudolf Schwarz: ''Methode der finiten Elemente.'' Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-22349-X

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Formfunktion - Versionsgeschichte

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