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2024-03-11T17:24:42Z

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In der [[Kernphysik|Kern-]] und [[Teilchenphysik]] ist der '''Formfaktor''' <math>F</math> ein Faktor im [[Wirkungsquerschnitt]] bei [[Stoß (Physik)|elastischen Stößen]]. Der Formfaktor hängt vom übertragenen [[Impuls]] ab, sollte also eigentlich als Form''funktion'' bezeichnet werden.

Der Formfaktor ist die [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformierte]] der elektrischen [[Ladungsdichte|Ladungsverteilung]] des [[Target (Physik)|Targets]] (z. B. [[Atomkern]]s). Das Betragsquadrat des Formfaktors ist der Quotient aus dem realen Wert des Wirkungsquerschnitts und demjenigen Wert, der sich ergeben würde, wenn das Targetteilchens (Streuzentrum) eine punktförmige Ladung wäre. Durch Messung des Wirkungsquerschnitts kann man auf den Formfaktor und dadurch auf die Ladungsverteilung des Targets rückschließen.

Bei [[Tiefinelastische Streuung|tief inelastischer Streuung]] treten an der Stelle des Formfaktors die [[Strukturfunktion]]en auf.

Bei Streuung bzw. [[Beugung (Physik)|Beugung]] an einem [[Kristallgitter]] tritt an Stelle des Formfaktors der [[Strukturfaktor]] auf.

== Formfaktor bei der Rutherford-Streuung ==
Die [[Rutherford-Streuung|Rutherfordsche Streuformel]], die nur für die Streuung eines Teilchens an einer [[Punktladung]] ([[Coulombpotential]]) gilt, lässt sich für ausgedehnte Ladungsverteilungen erweitern. Der [[Wirkungsquerschnitt #Differentieller Wirkungsquerschnitt|differentielle Wirkungsquerschnitt]] sieht dann wie folgt aus

:<math>\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left( \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\right)_{\text{Coul}} \cdot |F(\vec{q})|^2,</math>

wobei <math>F</math> der Formfaktor der Ladungsverteilung ist.
Er hängt ab vom Impulsübertrag des einfallenden Teilchens

:<math>\vec{q} = \vec{p} - \vec{p} \, {}^\prime</math>

und enthält alle Informationen über die räumliche Verteilung der Ladung im Streuzentrum.
So kann man die Messung des Wirkungsquerschnittes bestimmter Streuprozesse in Abhängigkeit vom Impulsübertrag nutzen, um durch anschließenden Vergleich mit theoretischen Modellen Aussagen über die Form des Streupotentials zu machen.

In der [[Bornsche Näherung|Bornschen Näherung]] (d. h. das [[Potential (Physik)|Potential]] der Wechselwirkung ist so schwach, dass Anfangs- und Endzustand näherungsweise als [[ebene Welle]]n behandelt werden können) ergibt sich der Formfaktor als Fourier-Transformierte der auf die Gesamtladung normierten Ladungsverteilungsfunktion <math>f</math>:

:<math>F(\vec{q}) = \int f(\vec{x}) \cdot \mathrm e^{\mathrm i\vec{q} \cdot \vec{x}/\hbar} \, \mathrm d^3x\,</math>.

Die '''Ladungsverteilungsfunktion''' ist definiert als:

::<math>f(\vec{x}) = \frac{\rho(\vec{x})}{Z \cdot e},</math>

wobei
* <math>\rho(\vec{x})</math> die statische Ladungsdichte
* <math>Z</math> die [[Kernladungszahl]] und
* <math>e</math> die [[Elementarladung]] ist;

sie genügt der Normierungsbedingung

::<math>\int f(\vec{x}) \, \mathrm d^3x = 1</math>.

Oft hat man nur eine radiale Abhängigkeit, so dass man nicht <math>F(\vec{q})</math> sondern <math>F(q^2)</math> angibt, denn <math>q^2 = |\vec{q}|^2</math> hat keine Richtungsabhängigkeit. Integriert man über die Winkelabhängigkeit, ergibt sich für den sphärisch symmetrischen Formfaktor
:<math>F(q^2) = 4\pi \int \mathrm dr\, \frac{\sin(qr/\hbar)}{qr/\hbar} r^2 f(r)</math>.

Der Formfaktor <math>F</math> enthält die Information über die Ladungsverteilung <math>f</math> und damit über die interessierende Ladungsdichte <math>\rho</math>.
Er wird experimentell über die Messung von Wirkungsquerschnitten ermittelt und daraus die Ladungsverteilung bzw. Ladungsdichte errechnet.
Als Ergebnis erhält man für schwerere Kerne eine Ladungsverteilung, die im inneren Bereich nahezu konstant ist und außen über einen Bereich von 2,4 [[Femtometer|fm]] abfällt.
Bei leichten Kernen wie [[Helium|4He]], [[Lithium|6Li]] oder [[Beryllium|9Be]] kann es noch nicht zur Ausbildung einer konstanten Ladungsdichte im Kerninneren kommen, hier beobachtet man eine [[Gaußkurve|gaußförmige]] Ladungsverteilung.<ref>Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche: ''Teilchen und Kerne'', 8. Auflage, Springer Verlag 2009, Kapitel 5.4: ''Formfaktoren der Kerne''</ref>

== Formfaktoren der Nukleonen ==
Bei der Ermittlung von Formfaktoren der [[Nukleon]]en sind wesentlich kleinere Strukturen aufzulösen. Dazu benötigt man eine kleinere [[De-Broglie-Wellenlänge]] und somit entsprechend höhere Energien, so dass wegen nicht mehr gültiger Näherungen präzisere Rechnungen erforderlich sind. Außerdem ist die Behandlung im Gegensatz zum Abschnitt Rutherford-Streuung nun relativistisch mit [[Vierervektor]]en statt Vektoren.
Zudem treten hier mit <math>G_E</math> und <math>G_M</math> bezeichnete elektrische und magnetische Formfaktoren auf.
Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt erhält man die auf [[Marshall Rosenbluth|M. N. Rosenbluth]] zurückgehende '''Rosenbluth-Formel''':<ref>M. N. Rosenbluth: ''High Energy Elastic Scattering of Electrons on Protons'', Phys. Rev. (1950), Band 79, Seite 615</ref>

:<math> \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega} = \left(\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\right)_{\text{Mott}} \cdot \left[ \frac{G_E^2(Q^2) + \tau \cdot G_M^2(Q^2)}{1 + \tau} + 2 \tau \cdot G_M^2(Q^2) \cdot \tan^2(\theta/2) \right] </math>

mit:
* <math>\left(\mathrm d\sigma/\mathrm d\Omega\right)_{\text{Mott}}</math> der [[Mott-Wirkungsquerschnitt]]
* <math>Q^2 = -q^2</math> das negative Quadrat des übertragenen [[Vierervektor|Viererimpulses]]
* <math>\tau = Q^2/4M^2 c^2</math> die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Spin-Flip]] bei der Streuung
* <math>\theta</math> der [[Streuwinkel]].

Hat man den Wirkungsquerschnitt ''bei festem'' <math>Q^2</math> für mehrere Streuwinkel gemessen, so macht man einen '''Rosenbluth-Plot''', bei dem <math>\tan^2(\theta/2)</math> auf der <math>x</math>-Achse und <math>(d\sigma/d\Omega) : \left(\mathrm d\sigma/\mathrm d\Omega\right)_{\text{Mott}}</math> auf der <math>y</math>-Achse aufgetragen werden. Die Rosenbluth-Formel ist dann von der linearen Form

:<math>y(x) = A \cdot x + B,</math>

wobei sich aus der [[Steigung]] <math>A = 2 \tau \cdot G_M^2(Q^2)</math> und dem [[y-Achsenabschnitt|Achsenabschnitt]] <math>B = \frac{G_E^2(Q^2) + \tau \cdot G_M^2(Q^2)}{1 + \tau}</math> die magnetischen und elektrischen Formfaktoren berechnen lassen:

:<math>\Rightarrow G_M(Q^2) = \sqrt{\frac{A}{2 \tau}}</math>

und

:<math>\Rightarrow G_E(Q^2) = \sqrt{B (1 + \tau) - \frac{A}{2}}.</math>

Die experimentellen Befunde zeigen für beide Formfaktoren einen exponentiellen Abfall, was weder zu einem punktförmigen Teilchen noch zu einer homogenen Kugel passt.
Man erhält damit einen Hinweis auf eine komplexere innere Struktur der Nukleonen.<ref>Bogdan Povh, Klaus Rith, Christoph Scholz, Frank Zetsche: ''Teilchen und Kerne'', 8. Auflage, Springer Verlag 2009, Kapitel 6.1: ''Formfaktoren des Nukleons'', insbes. Seite 81</ref>

Eine gute Übereinstimmung mit den experimentellen Daten liefert das erweiterte Vektor-Meson-Modell. Hierbei wird die Wechselwirkung sowohl als direkte Elektron-Nukleon-Wechselwirkung als auch über Vektormesonen beschrieben.<ref>{{Literatur |Autor=K. Watanabe, H. Takahashi |Titel=Vector dominance model and Gari-Kruempelmann formula for the nucleon electromagnetic form factor |Sammelwerk=Physical Review, D (Particles Fields); (United States) |Band=51:3 |Datum=1995-02-01 |ISSN=0556-2821 |DOI=10.1103/PhysRevD.51.1423 |Online=https://www.osti.gov/biblio/6638773-vector-dominance-model-gari-kruempelmann-formula-nucleon-electromagnetic-form-factor |Abruf=2021-01-27}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4333385-0|LCCN=sh85050795}}

[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Kernphysik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Formfaktor (Physik) - Versionsgeschichte

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