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2025-08-05T23:08:26Z

Korrigiere defekten Abschnittslink: 2025-08-04 #Klassische Zeichen→Griechisches Alphabet#Klassische Buchstaben

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Dies ist eine '''[[Formelsammlung]]''' zu dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet '''[[Stochastik]]''' einschließlich [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]], [[Kombinatorik]], [[Zufallsvariable]]n und Verteilungen sowie [[Statistik]].

== Notation ==
In der Stochastik gibt es neben der üblichen [[Mathematische Notation|mathematischen Notation]] und den [[Mathematisches Symbol|mathematischen Symbolen]] folgende häufig verwendete Konventionen:

* [[Zufallsvariable]]n werden in [[Majuskel|Großbuchstaben]] geschrieben: <math>X</math>, <math>Y</math> etc.
* [[Realisierung (Stochastik)|Realisierungen]] einer Zufallsvariablen werden mit den entsprechenden [[Kleinbuchstabe]]n geschrieben, z. B. für die Beobachtungen in einer [[Stichprobe]]: <math>x_1, x_2, \ldots , x_n</math>.
* Für die Bezeichnung von [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]en und [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]n werden Kleinbuchstaben benutzt, z. B. <math>f(x)</math>.
* Für die Bezeichnung von [[Verteilungsfunktion]]en werden Großbuchstaben benutzt, z. B. <math>F(x)</math>.
** Speziell die Wahrscheinlichkeitsdichte der [[Standardnormalverteilung]] wird die Bezeichnung <math>\varphi(z)</math> und für die Verteilungsfunktion <math>\Phi(z)</math> benutzt.
* [[Griechisches Alphabet#Klassische Buchstaben|Griechische Buchstaben]] (z. B. <math>\theta, \beta</math>) werden benutzt, um unbekannte Parameter (Parameter der Grundgesamtheit) zu bezeichnen.
* Eine [[Schätzfunktion]] wird häufig mit einem [[Zirkumflex#Verwendung|Zirkumflex]] über dem entsprechenden Symbol bezeichnet, z. B. <math>\hat{\theta}</math> (gesprochen: ''Theta Dach'').
* Das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] wird mit <math>\bar{x}</math> bezeichnet (gesprochen: <math>x</math> ''quer'').

== [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]] ==

Im Folgenden sei stets ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> gegeben. Darin ist der [[Ergebnisraum]] <math>\Omega</math> eine beliebige nichtleere [[Menge (Mathematik)|Menge]], <math>\Sigma</math> eine [[σ-Algebra]] von Teilmengen von <math>\Omega</math>, die <math>\Omega</math> enthält, und <math>P</math> ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf <math>\Omega.</math>

=== Grundlagen ===

'''Axiome:'''
Jedem [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]] <math>A \in \Sigma</math> wird eine Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> zugeordnet, so dass gilt:
: <math>0\le P(A)\le 1</math>,
: <math>P(\Omega)=1\, </math>,
: für paarweise disjunkte Ereignisse <math>A_1, A_2, \dots</math> gilt <math>P(A_1\cup A_2 \cup \dots)=P(A_1)+P(A_2)+\dots</math>

'''Rechenregeln:''' Aus den Axiomen ergibt sich:
: <math>P(\emptyset) = 0</math>
: Für <math>A \subset B</math> gilt <math>P(B \setminus A) = P(B) - P(A)</math>, insbesondere <math>P(A) \le P(B)</math>
: Für das Gegenereignis <math>\overline{A} = \Omega\setminus A</math> gilt <math>P(\overline{A}) = 1 - P(A)</math>
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)</math>

'''[[Laplace-Experiment]]e'''
: <math>P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}</math>

'''[[Bedingte Wahrscheinlichkeit]]'''
: <math>P(A \vert B) = P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}</math>

''[[Satz von Bayes]]:''
: <math>P(B \vert A) =\frac{P(B) P(A \vert B)}{P(B) P(A \vert B) + P(\overline{B}) P(A \vert \overline{B})}</math>

'''[[Stochastisch unabhängige Ereignisse|Unabhängigkeit]]:'''
: Zwei Ereignisse <math>A, B</math> sind unabhängig <math>\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)</math>

=== [[Kombinatorik]] ===

'''[[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]]:''' Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen aller <math>n</math> Kugeln aus einer Urne (ohne Zurücklegen):
: <math>n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \dots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=n\cdot(n-1)!</math>
wobei <math>0!=1!=1</math>

{| class="wikitable"
! 
!ohne Wiederholung (von ''n'' Elementen)   <math>(a,b,c)</math>
!mit Wiederholung (von ''r'' + ''s'' + … + ''t'' = ''n'' Elementen, von denen jeweils ''r'', ''s'' … ''t'' nicht unterscheidbar sind) <math>(a,a,b)</math>
|-
!'''[[Permutation]]''' <math>(a,b) \ne (b,a)</math>
| align="center" height="80"|<math>~n!~</math>
| align="center" |<math>\frac{(r + s + \ldots + t)!}{r! \cdot s! \cdot \ldots \cdot t!} = \frac{n!}{r! \cdot s! \cdot \ldots \cdot t!}</math>
|}

'''[[Binomialkoeffizient]]''' „''n'' über ''k''“
: <math>{n \choose k} = {n! \over k!(n-k)!}</math>

'''Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen''' von <math>k</math> Kugeln aus einer Urne mit <math>n</math> Kugeln:

{| class="wikitable"
! 
!ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) (siehe [[Hypergeometrische Verteilung]]) <math>(a,b,c)</math> <math>\{a,b,c\}</math>
!mit Wiederholung (mit Zurücklegen) (siehe [[Binomialverteilung]]) <math>(a,a,b)</math> <math>\{a,a,b\}</math>
|-
!'''[[Variation (Kombinatorik)|Variation]]''' <math>(a,b) \ne (b,a)</math>
| align="center" height="80"|<math>{n \choose k}{\cdot k!} = \frac{n!}{ \left( n-k \right) !}</math>
| align="center" |<math>~n^k~</math>
|-
!'''[[Kombination (Kombinatorik)|Kombination]]''' <math>\{a,b\} = \{b,a\}</math>
| align="center" height="80"|<math>{n \choose k} = \frac{n!}{{\left( n-k \right) !} \cdot k!}</math>
| align="center" |<math>\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) = {n + k -1 \choose k} = \frac{ \left( n + k -1 \right)! }{{\left( n-1 \right)! \cdot k!} }</math>
|}

== [[Zufallsvariable]]n ==

=== Diskrete Zufallsgrößen ===

Eine Funktion <math>f</math> heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion einer [[Diskrete Zufallsvariable|diskreten Zufallsvariablen]] <math>X</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

# Für alle <math>x \in \mathbb{Z}</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>
# <math> \sum_{ x \in \Z} f(x)= 1</math>
Für die zugehörige Zufallsvariable gilt dann:
:<math> P(X=x) = f(x)</math>

Eine Zufallsgröße <math>X</math> und deren Verteilung heißen diskret, falls die Funktion <math>f(x)=P(X=x)</math> die Eigenschaft (2) hat. Man nennt <math>f(x)</math> die Wahrscheinlichkeitsfunktion von <math>X</math>.

: <math> E(X) = \mu = \sum_{ x \in \Z}\, x\cdot f(x) </math>

: <math> E(g(X)) = \sum_{ x \in \Z}\, g(x) \cdot f(x) </math>

: <math> V(X) = \sigma ^2 = \sum_{ x \in \Z}\, (x- \mu )^2 \cdot f(x)</math>

=== Stetige Zufallsgrößen ===
Eine Funktion <math>f</math> heißt Dichte(-Funktion) einer [[Stetige Zufallsvariable|stetigen Zufallsvariablen]] <math>X</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

# Für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>
# <math> \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\mathrm dx = 1</math>

Für eine stetige Zufallsgröße gilt dann:
:<math> P(a \le X \le b) = \int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm dx</math>

Eine Zufallsgröße <math>X</math> und deren Verteilung heißen stetig, falls es eine geeignete Dichtefunktion <math>f</math> mit dieser Eigenschaft gibt. Die Funktion <math>f</math> heißt Dichte(Funktion) von <math>X</math>.

Für die Wahrscheinlichkeit gilt

: <math>P(X=a) = 0\,</math> für alle <math>a\in \mathbb{R}</math>

: <math>P(a \le X \le b)=P(a < X \le b)=P(a \le X < b)=P(a < X < b)</math>

Erwartungswert und Varianz sind gegeben durch
: <math> E(X) = \mu = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \mathrm dx</math>

: <math> E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f(x) \mathrm dx</math>

: <math> V(X) = \sigma ^2 = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x- \mu )^2 \cdot f(x) \mathrm dx</math>

=== Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation ===
Für den [[Erwartungswert]] <math>E(X)</math>, die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>V(X)</math>, die [[Kovarianz (Stochastik)|Kovarianz]] <math>\operatorname{Cov}(X,Y)</math> und die [[Korrelationskoeffizient|Korrelation]] <math>\varrho(X,Y)</math> gelten:

: <math>E(aX+b) = aE(X) + b</math>

: <math>E(X+Y) = E(X) + E(Y)</math>, allgemein <math>E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n E(X_i)</math>

: Für [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] Zufallsvariablen <math>X_i</math> gilt: <math>E(\prod_{i=1}^n X_i) = \prod_{i=1}^n E(X_i)</math>

: <math>V(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2</math>

: <math>V(aX + b) = a^2V(X)</math>

: Für unabhängige Zufallsvariablen <math>X_i</math> gilt: <math>V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n V(X_i)</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X,X) = V(X)</math>

: <math>\operatorname{Cov}(aX+b,Y) = a\operatorname{Cov}(X,Y)</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X_1+X_2,Y) = \operatorname{Cov}(X_1,Y) + \operatorname{Cov}(X_2,Y)</math>

: <math>V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)</math>

: <math>\varrho(X,Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)}\sqrt{V(Y)}}</math>

'''[[Tschebyschow-Ungleichung]]:'''
: <math>P(|X-E(X)|\ge\alpha)\le\frac{V(x)}{\alpha^2}</math>

== [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Spezielle Verteilungen]] ==

=== [[Binomialverteilung]] ===
Gegeben ist ein <math>n</math>-stufiger [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-Versuch]] (d. h. <math>n</math> mal dasselbe Experiment, unabhängig voneinander, mit nur zwei möglichen Ausgängen und konstanten Wahrscheinlichkeiten) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> und der Misserfolgswahrscheinlichkeit <math>q=1-p</math>. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße <math>X</math>: ''Anzahl der Erfolge'' heißt [[Binomialverteilung]].

Die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge berechnet sich nach der Formel:
: <math>P(X=k) = \binom nk \cdot p^k \cdot q^{n-k}</math>

[[Erwartungswert]]:
: <math>\mu=E(X)=n \cdot p</math>

[[Varianz (Stochastik)|Varianz]]:
: <math>\sigma^2 = V(X) = n \cdot p \cdot q</math>

[[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]:
: <math>\sigma = \sigma(X)= \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}</math>

==== σ-Regeln ====
(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen)
Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen (falls <math>\sigma >3</math>):
{| class="wikitable"
!Radius der Umgebung
!Wahrscheinlichkeit der Umgebung
|-
|1σ
|0,68
|-
|2σ
|0,955
|-
|3σ
|0,997
|}

{| class="wikitable"
!Wahrscheinlichkeit der Umgebung
!Radius der Umgebung
|-
|0,90
|1,64σ
|-
|0,95
|1,96σ
|-
|0,99
|2,58σ
|}

==== Standardisieren einer Verteilung ====

Hat die Zufallsvariable <math>X</math> eine Verteilung mit Erwartungswert <math>E(X)= \mu</math> und Standardabweichung <math>\sigma</math>, dann wird die standardisierte Variable <math>X^*</math> definiert durch
:<math>X^*=\frac{X-\mu}{\sigma}.</math>
Die standardisierte Variable <math>X^*</math> hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1.

==== Poisson-Näherung ====
Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang <math>n</math> ≥ 100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p \leq 0,1</math>. Mithilfe von <math>\mu=n\cdot p</math> kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für <math>k</math> Erfolge berechnen:
: <math> P(X=0) \approx e^{- \mu}</math>
: <math> P(X=k) \approx \frac{\mu}{k} \cdot P(X=k-1)</math>
Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:
: <math> P(X=k) \approx \frac{\mu ^k}{k!} \cdot e^{- \mu}</math>

==== Poisson-Verteilung ====
Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße <math>X</math>
: <math> P(X=k) = \frac{\mu ^k}{k!} \cdot e^{- \mu}</math>

==== Näherungsformeln von [[Abraham de Moivre|Moivre]] und [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] ====
Sei <math>X</math> eine [[Binomialverteilung|binomialverteilte]] Zufallsgröße mit <math>\sigma > 4</math> (brauchbare Näherung besser <math>\sigma > 9</math>). Die Wahrscheinlichkeit für genau und höchstens <math>k</math> Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:
: <math>P(X=k) \approx {1 \over \sigma}\cdot\varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)</math>

: <math>P(X \le k) = F_X(k) \approx \varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)</math>

==== Standardnormalverteilung ====
Die Dichte(Funktion) <math>\varphi</math> (auch als [[Normalverteilung|Glockenkurve]] bekannt) der Standardnormalverteilung ist definiert durch:
: <math> \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^2}</math>

und die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> durch:
: <math>\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^{z} \varphi (x) d x</math>

Näherungsformeln für eine [[diskrete Verteilung]] unter Anwendung der Kontinuitätkorrektur:
: <math>P(X=k) \approx \Phi \left( \frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi \left( \frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>

: <math>P(X\le k) \approx \Phi \left( \frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>

: <math>P(a\le X\le b) \approx \Phi \left( \frac{b+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi \left( \frac{a-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)</math>

=== [[Hypergeometrische Verteilung]] ===
In einer Grundgesamtheit vom Umfang <math>N</math> seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang <math>K</math> bzw. <math>N-K</math> vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang <math>n</math> werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße <math>X</math>: Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]].

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang <math>n</math> genau <math>k</math> Exemplare der 1. Merkmalsausprägung sind, ist:
: <math>P(X=k)={\binom{K}{k}\cdot\binom{N-K}{n-k}\over\binom{N}{n}}</math>

<math>N</math> = Anzahl der Elemente, <math>K</math> = Anzahl der positiven Elemente, <math>n</math> = Anzahl der Ziehungen, <math>k</math> = Anzahl der Erfolge.

Sei <math>p=\tfrac KN</math> der Anteil, mit dem die 1. Merkmalsausprägung in der Gesamtheit vorkommt, dann gilt:
: <math> \mu = E(X) = n\cdot p = n\cdot \frac{K}{N}</math>
: <math> \sigma^2 = V(X) = n\cdot p (1-p) \frac{N-n}{N-1}= n\cdot \frac{K}{N}\left(1-\frac{K}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}</math>

=== [[Geometrische Verteilung]] ===
Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math>.
Die Verteilung der Zufallsgröße <math>W</math>: Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heißt [[geometrische Verteilung]].
Es gilt:
: <math>P(W=k) = p\cdot q^{k-1}</math> (Erfolg genau beim <math>k</math>-ten Versuch)
: <math>\, P(W > k)=q^{k}</math> (<math>k</math> Misserfolge hintereinander bzw. der erste Erfolg kommt erst nach dem <math>k</math>-ten Versuch)
: <math>P(W\le k)=1-q^{k}</math> (Erfolg spätestens beim <math>k</math>-ten Versuch bzw. bis zum <math>k</math>-ten Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein)

Der Erwartungswert ist
: <math> E(W) = \frac{1}{p}</math>

=== Weitere ===

Die unzähligen weiteren speziellen Verteilungen können hier nicht alle aufgeführt werden, es sei auf die [[Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen]] verwiesen.

=== Approximationen von Verteilungen ===

Unter gewissen Approximationsbedingungen können Verteilungen auch durcheinander approximiert werden um Berechnungen zu vereinfachen. Je nach Lehrbuch können die Approximationsbedingungen etwas unterschiedlich sein.

{| class="wikitable"
!
! colspan="3" | '''Nach'''
|- align="center"
! '''Von'''
! <math>B(n, p)</math>
! <math>Po(\lambda)</math>
! <math>N(\mu,\sigma)</math>
|-
| colspan="4" | '''Diskrete Verteilungen'''
|- align="center"
| '''[[Binomialverteilung]] <math>B(n, p)</math>''' || -- || <math>n>10, p<0{,}05</math>, <math>\lambda:=np</math> || <math>np(1-p)\geq 9</math>, <math>\mu:=np, \sigma^2:=np(1-p)</math>
|- align="center"
| '''[[Hypergeometrische Verteilung]] <math>Hyp(N, M, n)</math>''' || <math>\frac{n}{N}<0{,}05</math> <math>p:=\frac{M}{N}</math> || <math>n>10</math>, <math>\frac{M}{N} < 0{,}05</math>, <math>\lambda:=n\frac{M}{N}</math> || <math>n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\geq 9</math> <math>\mu := n\frac{M}{N}, \sigma^2 := n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1}</math>
|- align="center"
| '''[[Poisson-Verteilung]] <math>Po(\lambda)</math>''' || || -- || <math>\lambda>9</math>, <math>\mu:=\lambda, \sigma^2:=\lambda</math>
|-
| colspan="4" | '''Stetige Verteilungen'''
|- align="center"
| '''[[Chi-Quadrat-Verteilung]] <math>\chi^2_n</math>''' || || || <math>n>30</math> <math>\mu:=n, \sigma^2:=2n</math>
|- align="center"
| '''[[Studentsche t-Verteilung]] <math>t_n</math>'''|| || || <math>n>30</math> <math>\mu:=0, \sigma^2:=1</math>
|- align="center"
| '''[[Normalverteilung]] <math>N(\mu,\sigma)</math>''' || || || --
|}

Bei dem Übergang von einer diskreten Verteilung zu einer stetigen Verteilung kommt auch noch eine [[Stetigkeitskorrektur]] (wenn <math>\sigma^2\leq 9</math> oder <math>n\leq 60</math>) in Betracht <math>P(a \leq X_\text{diskret} \leq b) \approx P(a - 0{,}5 \leq X_\text{stetig} \leq b + 0{,}5)</math> und insbesondere <math>P(X_\text{diskret}=a) \approx P(a - 0{,}5 \leq X_\text{stetig} \leq a + 0{,}5)</math>.<ref>Yates, F. (1934). ''Contingency Tables Involving Small Numbers and the χ2 Test''. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2): 217–235. [https://www.jstor.org/stable/2983604 JSTOR Archive for the journal]</ref>

=== Kritische Werte ===

Das <math>\alpha</math>-Level ist der Wert einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] für den gilt: <math>F(x_\alpha) = \alpha</math>. Es gibt eine Standardnotation für einige häufig verwendete Verteilungen:
* <math>z_\alpha</math> oder <math>z(\alpha)</math> für die [[Standardnormalverteilung]]
* <math>t_{\alpha,\nu}</math> oder <math>t(\alpha,\nu)</math> für die [[t-Verteilung]] mit <math>\nu</math> [[Freiheitsgrad (Statistik)|Freiheitsgraden]]
* <math>\chi^2_{\alpha,\nu}</math> oder <math>\chi^2(\alpha,\nu)</math> für die [[Chi-Quadrat-Verteilung]] mit <math>\nu</math> Freiheitsgraden
* <math>F_{\alpha,\nu_1,\nu_2}</math> oder <math>F(\alpha,\nu_1,\nu_2)</math> für die [[F-Verteilung]] mit <math>\nu_1</math> und <math>\nu_2</math> Freiheitsgraden

== [[Statistik]] ==

=== [[Beschreibende Statistik]] ===

==== Lagemaße ====
Arithmetisches Mittel: <math>\bar x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}</math>

[[Median]]

[[Modus (Statistik)|Modus]]

==== Streuungsmaße ====
[[empirische Varianz]]: <math>s^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2 = \frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right) - \bar{x}^2</math>

[[empirische Standardabweichung]]: <math>s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\bar x\right)^2}</math>

==== Zusammenhangsmaße ====
[[Empirische Kovarianz]]:
: <math>s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{x}) (y_i-\bar{y})} = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right) - \bar{x}\bar{y},</math>

[[Korrelationskoeffizient|Empirischer Korrelationskoeffizient]]:
: <math>r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum (y_i-\bar y)^2}}</math>

Gleichung der [[Regressionsgerade]]n einer [[Lineare Einfachregression|linearen Einfachregression]]: <math>y=ax+b</math> mit
: <math>a=\frac{s_{xy}}{s_x^2}=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}</math>
: <math>b=\bar y-a\bar x</math>,
wobei <math>\bar x</math> und <math>\bar y</math> die arithmetischen Mittel bedeuten.

==== Mittelwerte ====

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Mittelwert !! Zwei Zahlen !! Allgemein
|-
! [[Modus (Statistik)|Modus]]
|colspan="2" align="center" | Ausprägung mit höchster Häufigkeit
|-
! [[Median]] (Zentralwert)
| colspan="2" align="center"| Sofern <math>x_1, \dotsc, x_n</math> sortiert sind:
<math>\bar{x}_\mathrm{med} =\begin{cases}
x_{(\frac{n+1}{2})}, & n\text{ ungerade,}\\
\frac 12\left(x_{({\frac n2})} + x_{({\frac n2+1})}\right), & n \text{ gerade.}
\end{cases}
</math>
|-
! [[Arithmetisches Mittel]]
|align="center"| <math>\frac{a+b}2</math>
|align="center"| <math> \bar{x}_{\mathrm{arithm}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} = \frac{x_1 + x_2 + \dotsb + x_n}{n}</math>
|-
! [[Geometrisches Mittel]]
|align="center"| <math>\sqrt{ab}</math>
|align="center"| <math> \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n} </math>
|-
! [[Harmonisches Mittel]]
|align="center"| <math>\frac2{\frac1a+\frac1b}</math>
|align="center"|<math> \bar{x}_\mathrm{harm} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dotsb + \frac{1}{x_n}}</math>
|-
! [[Quadratisches Mittel]]
|align="center"| <math>\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}</math>
|align="center"|<math> \bar{x}_\mathrm{quadr} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i^2}} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \dotsb + x_n^2} \over n}
</math>
|}

=== [[Schließende Statistik]] ===
==== Parameter ====
Im Allgemeinen werden in der Statistik unbekannte Parameter der [[Grundgesamtheit]] oder eines Modells mit [[Griechisches Alphabet#Klassische Buchstaben|griechischen Buchstaben]] (z. B. <math>\theta, \beta</math>) bezeichnet.

* Das arithmetische Mittel in der Grundgesamtheit: <math>\mu</math>.
* Die Varianz in der Grundgesamtheit: <math>\sigma^2</math>.
* Den Anteilswert einer [[dichotom]]en Variablen in der Grundgesamtheit: <math>\pi</math>.
* Der Achsenabschnitt <math>\beta_0</math> und die Steigung <math>\beta_1</math> im einfachen linearen Regressionsmodell <math>Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+U_i</math>.

==== [[Schätzfunktion]]en ====
Eine Schätzfunktion für einen unbekannten Parameter wird häufig durch einen Großbuchstaben der Parameterbezeichnung aus der beschreibenden Statistik bezeichnet. Die Schätzfunktion ergibt sich aus den Stichprobenvariablen <math>X_1, \ldots, X_n</math>.

{| class="wikitable"
!Parameter
!Bedingung
!Schätzfunktion
!Verteilung
|-
| <math>\mu</math>
|
| <math>\bar{X}=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i</math>
| 1. <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \bar{X} \sim N(\mu;\sigma^ 2/n)</math> 
2. Wenn der [[Zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]] gilt, dann gilt <math>\bar{X} \approx N(\mu;\sigma^ 2/n)</math> 
|-
| <math>\sigma^2</math>
| <math>\mu</math> bekannt
| <math>S^{*2}=\frac1n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2</math>
| <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \frac{nS^{*2}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n}</math>
|-
| <math>\sigma^2</math>
| <math>\mu</math> unbekannt
| <math>S_n^2=\frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2</math>
| <math>X_i\sim N(\mu; \sigma^2) \Rightarrow \frac{(n-1)S_n^{2}}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}</math>
|-
| <math>\pi</math>
|
| <math>\Pi=\frac1n \sum_{i=1}^n X_i</math>
| 1. Ziehen mit Zurücklegen: <math>\Pi\sim B(n; \pi)</math> 
2. Ziehen ohne Zurücklegen: <math>\Pi\sim Hyp(N; M; n)</math> 
    mit <math>M=\pi\cdot N</math> und <math>N</math> der Umfang der Grundgesamtheit.
|-
| <math>\beta_0</math>, <math>\beta_1</math>
|
| <math>B_k=\sum_{i=1}^n Y_i w_i^{(k)}(x_1,\ldots,x_n)</math>
| Wenn <math>U_i\sim N(0; \sigma_u^ 2)</math>, dann folgt <math>B_k \sim N(\beta_k; \sigma_{B_k}^2)</math>
|}

==== [[Punktschätzer]] und [[Konfidenzintervall]]e ====

{| class="wikitable"
!Parameter
!Punktschätzer
!<math>1-\alpha</math> Konfidenzintervall
|-
| rowspan="2" | <math>\mu</math>
| rowspan="2" | <math>\hat{\mu}=\bar{x}=\frac1n \sum_{i=1}^n x_i</math>
| 1. Wenn <math>\sigma</math> bekannt: <math>[\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n};\bar{X}+z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}]</math>
|-
| 2. Wenn <math>\sigma</math> unbekannt: <math>[\bar{X}-t_{n-1;1-\alpha/2}S/\sqrt{n};\bar{X}+t_{n-1;1-\alpha/2}S/\sqrt{n}]</math>
|-
| <math>\sigma^2</math>
| <math>\hat{\sigma}^2=s_n^2=\frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2</math>
|
|-
| rowspan="3" | <math>\pi</math>
| rowspan="3" | <math>\hat{\pi}=p=\frac1n \sum_{i=1}^n x_i</math>
| 1. Ziehen mit Zurücklegen: Wenn <math>\Pi\approx N\left(\pi; \tfrac{\pi(1-\pi)}{n}\right)</math>, dann gilt approximativ: 
<math>\left[\Pi-z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n}}; \Pi+z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n}}\right]</math>
|-
| 2. Ziehen ohne Zurücklegen: Wenn <math>\Pi\approx N\left(\pi; \tfrac{\pi(1-\pi)}{n}\tfrac{N-n}{N-1}\right)</math>, dann gilt approximativ: 
<math>\left[\Pi-z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n} \tfrac{N-n}{N-1}}; \Pi+z_{1-\alpha/2} \sqrt{\tfrac{\pi(1-\pi)}{n} \tfrac{N-n}{N-1}}\right]</math>
|-
| Bei der Berechnung eines Schätzintervalls mittels einer Stichprobe in 1. und 2. wird <math>\pi</math> durch <math>p</math> ersetzt.
|}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://jeff560.tripod.com/stat.html Earliest Uses of Symbols in Probability and Statistics]

[[Kategorie:Liste (Mathematik)|Formelsammlung, Stochastik]]
[[Kategorie:Formelsammlung|Stochastik]]
[[Kategorie:Stochastik| Formelsammlung Stochastik]]

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imported>Cewbot: Korrigiere defekten Abschnittslink: 2025-08-04 #Klassische Zeichen→Griechisches Alphabet#Klassische Buchstaben