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2026-02-23T14:34:11Z

Literatur: + Link L. Papula

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{{Formelsammlung|[[Geometrie]]}}
Die Formelsammlung zur [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] ist ein Teil der [[Formelsammlung]], in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

== Bezeichner und Schreibweisen ==

In den allermeisten Fällen gilt:
# Punkte werden mit lateinischen Großbuchstaben <math>(A,B,C, \ldots)</math> beschriftet.
# Linien wie Geraden, Strecken und Bögen werden mit lateinischen Kleinbuchstaben <math>(a,b,c, \ldots)</math> beschriftet.
# Winkel werden mit griechischen Kleinbuchstaben <math>(\alpha,\beta,\gamma,\ldots)</math> beschriftet.

Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.

== Geometrie in der Ebene ==
=== Grundlagen ===
==== Winkel ====
{| class="wikitable"
|--
| valign="top" |
'''[[Nebenwinkel]]'''
: Die Summe von Nebenwinkeln beträgt immer 180°. <math>\alpha + \beta = 180^\circ</math>
| width="100" align="center" |[[Datei:Nebenwinkel.svg|175px]]
|--
| valign="top" |
'''[[Scheitelwinkel]]'''
: Scheitelwinkel sind immer gleich groß. <math>\alpha = \beta</math>
| width="100" align="center" |[[Datei:Scheitelwinkel.svg|175px]]
|--
| valign="top" |
'''[[Stufenwinkel]]'''
: Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
| width="100" align="center" |
[[Datei:Stufenwinkel.png|175px]]
|--
| valign="top" |
'''[[Wechselwinkel]]'''
: Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
| width="100" align="center" |
[[Datei:Wechselwinkel.png|175px]]
|--
| valign="top" |
'''[[Außenwinkel]]'''
: Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
| width="100" align="center" |
[[Datei:AussenwinkelAmDreieck.png|175px]]
|--
| valign="top" |
'''[[Winkelsumme]]n'''
: Die Summe der [[Innenwinkel]] in einem '''Dreieck''' ist immer 180°
: Die Summe der Innenwinkel in einem '''<math>n</math>-Eck''' ist immer <math>(n-2)\cdot 180^\circ</math>
: Die Summe der [[Außenwinkel]] beträgt in einem konvexen <math>n</math>-Eck stets 360° (unabhängig von der Eckenzahl <math>n</math>)
| width="100" align="center" |
|}

==== Teilung einer Strecke ====

'''Verhältnisteilung:''' Um eine Strecke <math>AB</math> in einem bestimmten Verhältnis (in <math>n</math> gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von <math>A</math> aus, der nicht parallel zu <math>AB</math> ist. Auf diesem trage man <math>n</math> mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt <math>C</math> verbinde man mit <math>B</math> und zeichne die Parallelen zu <math>BC</math> durch die bei der Unterteilung von <math>AC</math> entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit <math>AB</math> teilen <math>AB</math> in <math>n</math> gleiche Teile.

=== Flächen und Umfänge ===
[[Datei:Triangle with notations 2.svg|mini|Ein Dreieck mit Standardbezeichnung]]
Die Standardbezeichnung für Dreiecke:
; Eckpunkte: <math>A,B</math> und <math>C</math>. Die Ecke <math>C</math> ist beim gleichschenkligen Dreieck der Treffpunkt der gleichen Seiten und beim rechtwinkligen Dreieck der Scheitel des [[Rechter Winkel|rechten Winkels]].
; Seiten: <math>a</math> ist die der Ecke <math>A</math> gegenüberliegende Seite, entsprechendes gilt für <math>b</math> und <math>c</math>. Beim gleichseitigen Dreieck werden alle Seiten mit <math>a</math> bezeichnet.<ref name="papula_2014_S28" />
; Winkel: <math>\alpha</math> ist der (Innen-)Winkel in Ecke <math>A</math>, <math>\beta</math> der Winkel in Ecke <math>B</math> und <math>\gamma</math> der Winkel in Ecke <math>C</math>.

{| class="wikitable"
! Figur
! Flächeninhalt A
! Umfang U
! Bemerkung, Weiteres
|-
! colspan="4" | [[Dreieck]]
|-
! [[Dreieck|Allgemeines Dreieck]]
| align="center" |<math>\frac12 gh=\frac12 bc\sin \alpha</math> <math>=\frac{abc}{4R} = k\cdot r</math> <math>=\sqrt{k(k-a)(k-b)(k-c)}</math>
| align="center" |<math>a+b+c</math>
| Letztere Flächenformel wird als [[Satz des Heron]] bezeichnet. <math>k</math> ist der halbe Umfang, <math>R</math> der Umkreisradius und <math>r</math> der Inkreisradius.
|-
! [[Gleichseitiges Dreieck]]
| align="center"|<math>\frac14a^2\sqrt{3}</math>
| align="center"|<math>3\cdot a</math>
| Alle Seiten sind gleich lang. Alle Winkel sind gleich groß (60°). [[Höhe (Geometrie)#Höhen bei Dreiecken|Höhenlinien]] = [[Symmetrieachse]]n = [[Winkelhalbierende]] = [[Seitenhalbierende]]= [[Mittennormale]]
|-
! [[Gleichschenkliges Dreieck]]
| align="center"|<math>\frac{1}{2}c\sqrt{a^2-\frac14c^2}</math>
| align="center"|<math>2a+c</math>
| Zwei Seiten sind gleich lang (''Schenkel'' <math>a</math> und <math>b</math>); die dritte Seite heißt ''Basis'' <math>c</math> Die beiden Basiswinkel (<math>\alpha</math> und <math>\beta</math>) sind gleich groß. Die Höhenlinie durch <math>C</math> halbiert den Winkel <math>\gamma</math> und die Basis <math>c</math>.
|-
! [[Rechtwinkliges Dreieck]]
| align="center"|<math>\frac{1}{2} ab</math>
| align="center"|<math>a + b + c</math>
|<math>\gamma=\alpha+\beta = 90^\circ</math>. [[Hypotenuse]] = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel. [[Kathete]]n = Seiten, die den rechten Winkel bilden. Es gilt die [[Satzgruppe des Pythagoras]] (s. u.)
|-
! colspan="4" align="center" | '''[[Viereck]]'''
|-
! [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
| align="center" |<math>a^2</math>
| align="center" |<math>4\cdot a</math>
| Diagonale <math>d=a\cdot\sqrt{2}</math>
|-
! [[Rechteck]]
| align="center" |<math>a\cdot b</math>
| align="center" |<math>2\cdot (a+b)</math>
| Diagonale <math>d=\sqrt{a^2+b^2}</math>
|-
! [[Raute]] (Rhombus)
| align="center" |<math>\frac{1}{2}ef=a^2\cdot\sin \alpha</math>
| align="center" |<math>4\cdot a</math>
|<math>e, f</math> = Diagonalen, <math>\alpha</math> = beliebiger Innenwinkel.
|-
! [[Parallelogramm]]
| align="center" |<math>a\cdot h_a</math>
| align="center" |<math>2\cdot (a+b)</math>
|<math>h_a</math> ist die Höhe zur Seite <Math>a</math>.
|-
! [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
| align="center" |<math>m\cdot h=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h</math>
| align="center" |<math>a+b+c+d</math>
|<math>a, c</math> = parallele Seiten, <math>m=\tfrac{1}{2}(a+c)</math> = Mittellinie
|-
! symmetrischer [[Drachenviereck|Drachen]] (Deltoid)
| align="center"|<math>\frac{1}{2} ef</math>
| align="center"|<math>2\cdot (a+b)</math>
|<math>e, f</math> = Diagonalen.
|-
! [[Sehnenviereck]]
| align="center"|<math>\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math> <math>=\frac{e\cdot (ab+cd)}{4R}=\frac{f\cdot(ad+bc)}{4R}</math>
| align="center"|<math>a+b+c+d</math>
| Viereck mit [[Umkreis]], <math>R</math> Umkreisradius <math>=\frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>, <math>s</math> halber Umfang; <math>e,f</math> Diagonalen: <math>e =\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}</math>, <math>f=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} </math>
|-
! [[Tangentenviereck]]
| align="center"|<math>r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)</math>
| align="center"|<math>a+b+c+d</math>
| Viereck mit [[Inkreis]] mit Inkreisradius <math>r</math>. Es gilt <math>a+c=b+d</math>
|-
! colspan="4" align="center" |[[Polygon]]e
|-
! [[Regelmäßiges Polygon]]
| align="center" |<math>\frac{n \cdot r_\mathrm{u}^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}}{2}</math> <math>= n \cdot r_\mathrm{i}^2 \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}</math> <math>= \frac{n \cdot l_\mathrm{k}^2 \cdot \cot \frac{180^\circ}{n}}{4}</math>
| align="center" | <math>2\cdot n\cdot r_\mathrm{u} \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}</math> <math>=2\cdot n\cdot r_\mathrm{i} \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}</math> <math>= n \cdot l_\mathrm{k}</math>
|
* <math>n</math> – Anzahl der Ecken
* <math>r_u</math> – Radius des Umkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Ecke
* <math>r_i</math> – Radius des Inkreises, d. h. Entfernung vom Mittelpunkt zu einer Seitenmitte
* <math>l_k</math> – Kantenlänge einer Seite des Polygons
|-
! colspan="4" align="center" |[[Kreis (Geometrie)|Kreis]]
|-
! [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] [[Datei:Circle-diameter-radius.svg|100px]]
| align="center"|<math>\pi \cdot r^2 = {1\over4} \cdot \pi \cdot d^2 </math>
| align="center"|<math>2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d</math>
| Es bezeichnet <math>\pi=3{,}14159\ldots</math> die [[Kreiszahl]].
|-
! [[Kreisring]]
| align="center"|<math>\pi\cdot(R^2-r^2)</math>
| align="center"|<math>2 \cdot \pi \cdot (R + r)</math>
|<math>R</math> = Außenradius, <math>r</math> = Innenradius
|-
! [[Kreissektor|Kreisausschnitt]] [[Datei:Kreis2.png|100px]]
| align="center"|<math>\pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ} = \frac{1}{2} r^2 \cdot \varphi</math> <math> = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r </math>
| align="center"|<math>\pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}+2r = r (\varphi + 2)</math>
| b = <math>\pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ} = r \cdot \varphi; \quad \varphi= \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}</math> (Winkel im Bogenmaß)
|-
! Kreisabschnitt (Segment) [[Datei:Kreis3.png|100px]]
| align="center"|<math>\frac{1}{2} r^2 \cdot ( \varphi - \sin \varphi)</math>
| <math>r \cdot \left( 2 + \sqrt{2 - 2 \cos \varphi} \right)</math>
| <math>\varphi= \alpha \cdot \frac{\pi}{180^\circ}</math> (Winkel im Bogenmaß)
|-
! colspan="4" | [[Kegelschnitt]]e
|-
! [[Ellipse]]
| align="center"|<math>\pi a b</math> <math>=\frac14\pi\cdot D\cdot d</math>
| align="center"|<math>4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt=4a \; E(\varepsilon)</math>
| Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant (<math>2a</math>) ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|-
! [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]
| align="center"| Keine geschlossene Fläche
| align="center"| Keine geschlossene Kurve
| Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|-
! [[Parabel (Mathematik)|Parabel]]
| align="center"| Keine geschlossene Fläche
| align="center"| Keine geschlossene Kurve
| Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: <math>y^2=2px\, </math>.
|}

=== Dreiecksgeometrie ===
==== Ausgezeichnete Punkte ====
[[Datei:Dreieck mit Seitenhalbierende.png|mini|Seitenhalbierende und Schwerpunkt|150px]]
* [[Seitenhalbierende]] (Schwerlinien)
** teilen einander im Verhältnis 2:1.
** schneiden sich in einem Punkt, dem [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] S des Dreiecks.
** teilen die Dreiecksfläche in je zwei gleich große Teilflächen.

* Schnittpunkt der [[Mittelsenkrechte]]n ([[Mittennormale]]n) = Mittelpunkt des [[Umkreis]]es.
[[Datei:Dreieck mit Winkelhalbierende.png|mini|Winkelhalbierende und Inkreis|150px]]
* Schnittpunkt der [[Winkelhalbierende]]n = Mittelpunkt des [[Inkreis]]es.

[[Datei:Dreieck mit Höhen.png|mini|Höhen|150px]]
* [[Höhenlinie]]n
** schneiden einander in einem Punkt H, dem [[Höhenschnittpunkt]] des Dreiecks.
** Die [[Höhe]] ''h''''c'' ist der Normalabstand des Punktes C zur Seite ''c'' (rechter Winkel bei D).

==== Satzgruppe des Pythagoras ====
* [[Satz des Pythagoras]]
*: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten. Sind <math>a</math> und <math>b</math> die Längen der Katheten und <math>c</math> die Länge der Hypotenuse, dann gilt:
*:: <math>a^2 + b^2 = c^2\,</math><ref name="papula_2014_S26" />
* ''Kathetensatz''
*: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
*:: <math>a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c</math>
* ''Höhensatz''
*: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypotenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten. Mit den Bezeichnungen der untenstehenden Zeichnung gilt:
*:: <math>h^2 = q \cdot p</math><ref name="papula_2014_S26" />
*: [[Datei:Right triangle abchpq.svg|225px]]

==== [[Dreiecksungleichung]] ====

Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.

==== [[Kongruenzsätze|Kongruenz-]] und [[Ähnlichkeitssätze]] ====
Zwei Dreiecke sind [[Kongruenz (Geometrie)|'''kongruent''' bzw. deckungsgleich]], wenn sie übereinstimmen in
# drei Seiten (sss)
# zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
# zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
# einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Zwei Dreiecke sind '''[[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]]''', wenn
# drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
# zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
# zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
# zwei Winkel übereinstimmen

=== [[Strahlensätze]] ===

# Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Strahlenabschnitte des ersten Strahles im gleichen Verhältnis wie die entsprechenden Abschnitte des zweiten Strahles.
# Strahlensatz: Wird ein Zweistrahl durch zwei parallele Geraden geschnitten, so stehen die Parallelabschnitte im gleichen Verhältnis, wie die vom Scheitelpunkt aus gemessenen zugehörigen Strahlenabschnitte auf jeweils demselben Strahl.

== Geometrie der Körper ==

{| class="wikitable"
! [[Körper (Geometrie)|Körper]]
! Volumen V
! Oberfläche O
! Bemerkungen, Weiteres
|-
! colspan="4" | [[Prisma (Geometrie)|Prismen]]
|-
! [[Parallelepiped]] (Spat) [[Datei:Parallelepiped.svg|100px]]
| align="center" | <math>G\cdot h</math>
| align="center" | <math>2\cdot(ah_a+bh_b+ch_c)</math>
|
|-
! [[Quader]] [[Datei:Quader123.svg|100px]]
| align="center" | <math>a\cdot b\cdot c</math>
| align="center" | <math>2\cdot(ab+ac+bc)</math>
| Raumdiagonalenlänge <math>=\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>
|-
! Allgemeines [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]
| align="center" | <math>A_G\cdot h</math>
| align="center" | <math>2A_G+A_M\, </math>
|<math>A_M</math> Mantelfläche
|-
! colspan="4" |[[Säule]]n
|-
! Rundsäule ([[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]])
| align="center"|<math>\pi\cdot r^2\cdot h</math>
| align="center"|<math>2\pi r\cdot (r+h)</math>
|
|-
! [[Hohlzylinder]]
| align="center"|<math>\pi R^2h-\pi r^2h=\,</math> <math>\pi h(R+r)(R-r)\, </math>
| align="center"|<math>2\pi((R+r)h+R^2-r^2)\, </math>
|<math>R,r</math> Außen-,Innenradius <math>M_\text{aussen}=2\pi Rh</math> <math>M_\text{innen}=2\pi rh</math>
|-
! colspan="4" |[[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]
|-
! Allgemeine [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]
| align="center" | <math>\frac{1}{3}A_Gh</math>
| align="center" | <math>A_G+A_M\, </math>
|
|-
! [[Pyramidenstumpf]]
| align="center" |<math>\frac13h \left (A_G+\sqrt{A_GA_D}+A_D \right)</math>
| align="center" |<math>A_G+A_D+A_M\, </math>
|<math>A_G</math> Grundfläche <math>A_D</math> Deckfläche
|-
! colspan="4" | [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]
|-
! Kreiskegel
| align="center" |<math>\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h</math>
| align="center"| ''nur für senkrechte Kegel:'' <math>r \cdot \pi \cdot (r + s)</math>
| Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe: <math>s^2 = r^2 + h^2 \,</math>
|-
! gerader [[Kegelstumpf]]
| align="center"|<math>\frac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)</math>
| align="center"|<math>A_G+A_D+A_M\, </math> <math>=\pi r_2^2+\pi r_1^2+\pi s(r_1+r_2)</math>
|<math>s = \mathrm{Mantellinie} =\sqrt{(r_2-r_1)^2+h^2}</math> <math>r_1,r_2</math> Radien
|-
! colspan="4" | [[Platonische Körper]]
|-
! [[Tetraeder]]
| align="center"|<math>\frac1{12}a^3\sqrt{2}</math>
| align="center"|<math>a^2\sqrt{3}</math>
|
|-
! [[Hexaeder]] (Würfel)
| align="center" | <math>a^3\, </math>
| align="center" | <math>6\cdot a^2</math>
| Raumdiagonalenlänge <math>=a\sqrt{3}</math>
|-
! [[Oktaeder]]
| align="center" | <math>\frac13a^3\sqrt2</math>
| align="center" | <math>2a^2\sqrt{3}</math>
|
|-
! [[Dodekaeder]]
| align="center" |<math>\frac14a^3(15+7\sqrt{5})</math>
| align="center" |<math>3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}</math>
|
|-
! [[Ikosaeder]]
| align="center" |<math>\frac5{12}a^3(3+\sqrt{5})</math>
| align="center" |<math>5a^2\sqrt{3}</math>
|
|-
! colspan="4" | [[Kugel]] und Kugelteile
|-
! [[Kugel]]
| align="center"|<math>{4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 = {1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^3</math>
| align="center"|<math>4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2</math>
|
|-
! [[Kugelkalotte]] (Kugelmütze, Kugelkappe)
|
| align="center"|<math>2 \cdot r \cdot \pi \cdot h </math>
|
|-
! [[Kugelsegment]] (Kugelabschnitt)
| align="center"|<math>{h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)</math>
| align="center"|<math>2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi</math>
| mit <math>\rho^2 = h \cdot (2r -h) </math>
|-
! Kugelzone ([[Kugelschicht]])
| align="center"|<math>\frac16\pi \cdot h (3 \cdot a^2 + 3 \cdot b^2 + h^2)</math>
| align="center"|<math>\pi \cdot (2\cdot r \cdot h + a^2 + b^2) </math>
| mit <math>2 \cdot a</math> = Durchmesser des unteren Schnittkreises und <math>2 \cdot b</math> = Durchmesser des oberen Schnittkreises
|-
! colspan="4" | [[Rotationskörper|Drehkörper]]
|-
! [[Ellipsoid]]
| align="center"|<math>\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,</math>
|
| Halbachsen a,b,c
|-
! [[Torus]]
| align="center"|<math>2\pi^2\cdot R\cdot r^2</math>
| align="center"|<math>4\pi^2\cdot R\cdot r</math>
|
|}

'''''siehe auch:''''' [[Eulerscher Polyedersatz]],
[[Prinzip von Cavalieri]]

== Trigonometrie ==

: '''siehe: [[Trigonometrie]], [[Formelsammlung Trigonometrie]]'''

== Analytische Geometrie ==

: '''siehe: [[Analytische Geometrie]], [[Formelsammlung analytische Geometrie]]'''

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |TitelErg=mit zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel |Auflage=11. überarb. Aufl. |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-8348-1913-0}}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="papula_2014_S28">
{{Literatur |Autor=Papula |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Datum=2014 |Seiten=28}}
</ref>
<ref name="papula_2014_S26">
{{Literatur |Autor=Papula |Titel=Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler |Datum=2014 |Seiten=26}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Euklidische Geometrie|!Formelsammlung]]
[[Kategorie:Formelsammlung|Geometrie]]
[[Kategorie:Liste (Mathematik)]]

Formelsammlung Geometrie - Versionsgeschichte

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