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{{Formelsammlung|[[Arithmetik]]}}

== Notation ==

* Buchstaben am Anfang des Alphabets <math>(a,b,c, \ldots)</math> stehen für beliebige [[Zahl]]en.
* Buchstaben in der Mitte des Alphabets <math>(i,j,m,n, \ldots)</math> stehen für [[natürliche Zahl]]en.
* Buchstaben am Ende des Alphabets <math>(x,y, \ldots)</math> stehen für [[Variable (Mathematik)|Variablen]].
* Es gilt die [[Operatorrangfolge]] ([[Punktrechnung vor Strichrechnung]]): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
* Es gilt die [[Klammerregel]]: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

== Grundrechenarten ==

=== Rechenoperationen ===
'''[[Addition]]'''

:<math>a + b = c</math>   (Summand + Summand = Summe)

'''[[Subtraktion]]'''

:<math>a - b = c</math>   (Minuend − Subtrahend = Differenz)

'''[[Multiplikation]]'''

:<math>a \cdot b = c</math>   (Faktor · Faktor = Produkt)

'''[[Division (Mathematik)|Division]]'''

:<math>a : b = c</math>   (Dividend : Divisor = Quotient)

:Die [[Division durch null]] ist dabei nicht definiert.

=== Klammerregeln ===

:<math>a + (b + c) = a + b + c</math>

:<math>a + (b - c) = a + b - c</math>

:<math>a - (b + c) = a - b - c</math>

:<math>a - (b - c) = a - b + c</math>

=== Rechengesetze ===

'''[[Assoziativgesetz]]e'''

: <math> a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c </math>

: <math> a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c </math>

'''[[Kommutativgesetz]]e'''

: <math> a + b = b + a \,</math>

: <math> a \cdot b = b \cdot a </math>

'''[[Distributivgesetz]]e'''

: <math> a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c </math>

: <math> \left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c </math>

'''[[Neutrales Element|Neutralität]] von <math>0</math> und <math>1</math>'''

:<math>a + 0 = 0 + a = a</math>

:<math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>

=== Binomische Formeln ===

:<math>(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2</math>

:<math>(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2</math>

:<math>(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2</math>

== Bruchrechnung ==

=== Bezeichnungen ===

'''[[Bruchrechnung|Definition]]'''

:<math>\frac{a}{b} = a : b</math>   (Zähler : Nenner)

:Zähler und Nenner sind ganze Zahlen, wobei der Nenner nicht null sein darf.

'''Spezialfälle'''
* [[Stammbruch]]: <math>a = 1</math>
* Echter Bruch: <math>a < b</math>
* Unechter Bruch: <math>a > b</math>
* Scheinbruch: <math>a = b \cdot c</math> mit einer ganzen Zahl <math>c</math>
* Kehrbruch: <math>a</math> und <math>b</math> werden vertauscht

=== Rechenregeln ===

'''Vorzeichen'''

:<math>\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = - \frac{a}{b}</math>

:<math>\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}</math>

'''Erweitern und Kürzen'''

:<math>\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}</math>   für <math>c \neq 0</math>

'''Addition'''

:<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}</math>

'''Subtraktion'''

:<math>\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} </math>

'''Multiplikation'''

:<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} </math>

'''Division'''

:<math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}</math>

=== Prozentrechnung ===

'''[[Prozent|Definitionen]]'''

:<math>p \, \% = \frac{p}{100}</math>   (Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert)

:<math>p\,{}^{0\!}\!/\!_{00}= \frac{p}{1{\,}000}</math>   (Promillesatz = Promillewert : Grundwert)

'''Prozentsätze häufig benutzter Anteile'''

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! Anteil am Grundwert
| <math>\frac{1}{100}</math> || <math>\frac{1}{50}</math> || <math>\frac{1}{40}</math>
| <math>\frac{1}{25}</math> || <math>\frac{1}{20}</math> || <math>\frac{1}{16}</math>
| <math>\frac{1}{15}</math> || <math>\frac{1}{12}</math> || <math>\frac{1}{11}</math>
| <math>\frac{1}{10}</math>
|-
! Prozentsatz
| 1 % || 2 % || 2,5 % || 4 % || 5 %|| 6,25 % || ≈6,67 % || ≈8,33 % || ≈9,09 % || 10 %
|-
| colspan="12" style="border:0px;"|
|-
! Anteil am Grundwert
| <math>\frac{1}{9}</math> || <math>\frac{1}{8}</math> || <math>\frac{1}{7}</math>
| <math>\frac{1}{6}</math> || <math>\frac{1}{5}</math> || <math>\frac{1}{4}</math>
| <math>\frac{1}{3}</math> || <math>\frac{1}{2}</math> || <math>\frac{2}{3}</math>
| <math>\frac{3}{4}</math>
|-
! Prozentsatz
| ≈11,11 % || 12,5 % || ≈14,29 % || ≈16,67 % || 20 % || 25 % || ≈33,33 % || 50 % || ≈66,67 % || 75 %
|}

== Elementare Rechenoperationen ==

=== Potenz ===

'''[[Potenz (Mathematik)|Definitionen]]'''

Natürlicher Exponent:

:<math>a^n = \underbrace{{ a\cdot a\dotsm a }}_{{n\ \mathrm{Faktoren}}}</math>   ([[Potenz (Mathematik)|Potenz]] = Basis hoch Exponent)

Negativer Exponent:

:<math>a^{-n} = \frac 1 {a^n}</math>

Rationaler Exponent:

:<math>x = a^{m/n} \; \Leftrightarrow \; x^n = a^m</math>

Hierbei ist <math>a</math> eine nichtnegative [[rationale Zahl]] und <math>m,n</math> sind natürliche Zahlen.

'''Spezialfälle'''

:<math>a^0 = 1</math>   für <math>a \neq 0</math>, siehe [[Null hoch null]]

:<math>0^n = 0</math>   für <math>n \neq 0</math>

'''[[Potenz (Mathematik)#Potenzgesetze|Potenzgesetze]]'''

:<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}</math>

:<math>\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}</math>

:<math>({a^m})^n = a^{m \cdot n}</math>

:<math>a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n</math>

:<math>\frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n</math>

Definition und Rechenregeln können auf reelle Zahlen erweitert werden.

=== Wurzel ===

'''[[Wurzel (Mathematik)|Definition]]'''

:<math>x = \sqrt[n]{a} \; \Leftrightarrow \; x^n = a</math>   ([[Wurzel (Mathematik)|n-te Wurzel]], a heißt Radikand, n Wurzelexponent)

:Hierbei ist <math>a</math> eine nichtnegative reelle Zahl und <math>n</math> eine natürliche Zahl größer als eins

'''Spezialfälle'''

:<math>\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}</math>   ([[Quadratwurzel]])

:<math>\sqrt[3]{a}</math>   ([[Kubikwurzel]])

'''[[Wurzel (Mathematik)#Die Wurzelgesetze|Wurzelgesetze]]'''

:<math>\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}</math>

:<math>\sqrt[n]{a ^m} = ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^\frac{m}{n}</math>

:<math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}</math>

:<math>{{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}</math>

:<math> \sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}</math>

:<math> \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}</math>

:<math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}</math>

=== Logarithmus ===

'''[[Logarithmus|Definition]]'''

:<math>x = \log_b a \; \Leftrightarrow \; a = b^x</math>   ([[Logarithmus]] der Zahl a zur Basis b)

:Hierbei sind <math>a,b</math> positive reelle Zahlen.

'''Spezialfälle'''

:<math>\log_2 a = \operatorname{lb} a</math>   ([[binärer Logarithmus]])

:<math>\log_e a = \ln a</math>   ([[natürlicher Logarithmus]])

:<math>\log_{10} a = \lg a</math>   ([[dekadischer Logarithmus]])

:<math>\log_b 1 = 0</math>

:<math>\log_b b = 1</math>

'''[[Logarithmus#Logarithmengesetze|Logarithmengesetze]]'''

:<math>\log_b ( a \cdot c ) = \log_b a + \log_b c</math>

:<math>\log_b \left( \frac{a}{c} \right) = \log_b a - \log_b c</math>

:<math>\log_b \left( a^c \right) = c \cdot \log_b a</math>

:<math>\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}</math>

== Elementare Funktionen ==

=== Betrag ===

'''[[Betragsfunktion|Definition]]'''

:<math>|a| =
\begin{cases}
\;\;\,a & \mathrm{f\ddot ur} \quad a>0 \\
\;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a=0 \\
-a & \mathrm{f\ddot ur} \quad a<0 \\
\end{cases}
</math>

'''Eigenschaften'''

:<math>| a | = 0 \; \Leftrightarrow \; a = 0</math>

:<math>| a \cdot b | = | a | \cdot | b |</math>

:<math>| a + b | \leq | a | + | b |</math>   ([[Dreiecksungleichung]])

=== Vorzeichen ===

'''[[Vorzeichenfunktion|Definition]]'''

:<math>\sgn(a) =
\begin{cases}
\;\;\,1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a>0 \\
\;\;\,0 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a=0 \\
-1 & \mathrm{f\ddot ur} \quad a<0 \\
\end{cases}
</math>

'''Eigenschaften'''

:<math>\sgn(a) = \frac{a}{|a|}</math>   für <math>a \neq 0</math>

:<math>\sgn | a | = | \sgn a |</math>

:<math>\sgn(a \cdot b) = \sgn (a) \cdot \sgn (b)</math>

=== Ab- und Aufrundung ===

'''[[Gaußklammer|Definitionen]]'''

:<math>\lfloor a \rfloor=\max \{k\in\Z \mid k\leq a\}</math>   (Abrundung)

:<math>\lceil a \rceil=\min \{k\in\Z \mid k\ge a\}</math>   (Aufrundung)

'''Eigenschaften'''

:<math>\bigl\lfloor \lfloor a \rfloor \bigr\rfloor = \bigl\lceil \lfloor a \rfloor \bigr\rceil = \lfloor a \rfloor</math>

:<math>\bigl\lceil \lceil a \rceil \bigr\rceil = \bigl\lfloor \lceil a \rceil \bigr\rfloor = \lceil a \rceil</math>

:<math>\lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor \le \lfloor a+b \rfloor \le \lfloor a \rfloor + \lfloor b \rfloor + 1</math>

:<math>\lceil a \rceil + \lceil b \rceil \ge \lceil a+b \rceil \ge \lceil a \rceil + \lceil b \rceil - 1</math>

== Gleichungen ==

=== Äquivalenzumformungen ===

'''[[Lösen von Gleichungen]]'''

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; b = a</math>

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; a+c = b+c</math>

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; a-c = b-c</math>

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; a \cdot c = b \cdot c</math>   für <math>c \neq 0</math>

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; a : c = b : c</math>   für <math>c \neq 0</math>

:<math>a = b \; \Leftrightarrow \; f(a) = f(b)</math>   für jede [[injektive Funktion]] <math>f</math>

=== Lineare Gleichungen ===

'''[[Lineare Gleichung|Allgemeine Form]]'''

:<math>a \cdot x = b</math>

'''Lösungen'''

:<math>x = \frac{b}{a}</math>   falls <math>a \neq 0</math>

:keine Lösung falls <math>a = 0, b \neq 0</math>

:unendlich viele Lösungen falls <math>a = 0, b = 0</math>

=== Quadratische Gleichungen ===

'''[[Quadratische Gleichung|Allgemeine Form]]'''

:<math>a x^2 + b x + c = 0</math>   mit <math>a \ne 0</math>

'''[[Diskriminante]]'''

:<math>D = b^2 - 4ac</math>

'''Lösungen'''

:<math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math>   falls <math>D > 0</math>

:<math>x = -\frac{b}{2 a}</math>   falls <math>D = 0</math>

:keine reelle Lösung falls <math>D < 0</math>

'''[[Quadratische Ergänzung]]'''

:<math>a x^2 + b x + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)</math>

'''p-q-Form'''

:<math>x^2 + p x + q = 0</math>

'''Diskriminante'''

:<math>D = \frac{p^2}{4} - q</math>

'''Lösungen'''

:<math>x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}</math>   falls <math>D > 0</math>

:<math>x = -\frac{p}{2}</math>   falls <math>D = 0</math>

:keine reelle Lösung falls <math>D < 0</math>

'''[[Satz von Vieta]]'''

:<math>p = -(x_1 + x_2)</math>

:<math>q = x_1 \cdot x_2</math>

=== Algebraische Gleichungen ===

'''[[Algebraische Gleichung|Allgemeine Form]]'''

:<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dotsb + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0 = 0</math>

'''Lösungen'''

:<math>x_1, \ldots , x_n</math> als komplexe Lösungen, nicht notwendigerweise verschieden ([[Fundamentalsatz der Algebra]])

'''Zerlegung in Linearfaktoren'''

:<math>a_n(x - x_1)(x - x_2) \dotsm (x - x_n) = 0</math>

'''[[Polynomdivision]]'''

:<math>p(x) = s(x)q(x) + r(x)</math>   wobei <math>\operatorname{grad} p \ge \operatorname{grad} q</math>

:<math>\frac{p(x)}{q(x)} = s(x) + \frac{r(x)}{q(x)}</math>   wobei <math>\operatorname{grad} q \ge 0</math>

== Ungleichungen ==

=== Äquivalenzumformungen ===

'''[[Lösen von Ungleichungen]]'''

:<math>a a</math>

:<math>a 

:<math>a 

:<math>a 0 \\ a \cdot c > b \cdot c, & \text{falls} ~ c < 0 \end{cases}</math>

:<math>a 0 \\ a : c > b : c, & \text{falls} ~ c < 0 \end{cases}</math>

:<math>a f(b), & \text{falls} ~ f ~ \text{streng monoton fallend ist}\end{cases}</math>

:Die Umformungsregeln gelten analog auch für <math>\le, \ge</math>.

=== Spezielle Ungleichungen ===

'''[[Dreiecksungleichung]]'''

:<math>|a + b| \le |a| + |b|</math>   für alle <math>a,b</math>

'''[[Bernoullische Ungleichung]]'''

:<math>(1 + a)^n \geq 1 + a \cdot n</math>   für <math>a \geq -1</math> und <math>n = 0, 1, 2, \ldots</math>

'''[[Youngsche Ungleichung (Produkt)|Youngsche Ungleichung]]'''

:<math>a \cdot b \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}</math>   für <math>a,b \geq 0</math> und <math>p,q > 1</math> mit <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1</math>

=== Ungleichungen bei Mittelwerten ===

'''[[Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel]]'''

:<math>\sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} \leq \frac{1}{n} ( a_1 + \ldots + a_n )</math>   für <math>a_1, \ldots, a_n \geq 0</math> und <math>n = 2, 3, \ldots</math>

'''Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel'''

:<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \ldots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n}</math>   für <math>a_1, \ldots, a_n > 0</math> und <math>n = 2, 3, \ldots</math>

== Komplexe Zahlen ==

=== Algebraische Form ===

'''Darstellung'''

:<math>z=a+b\cdot \mathrm{i}</math>   mit Realteil <math>a</math>, Imaginärteil <math>b</math> und der imaginären Einheit <math>\mathrm{i}</math>

:<math>\bar z=a-b\cdot \mathrm{i}</math>   ([[Komplexe Konjugation]])

'''Potenzen der imaginären Einheit'''

:<math>\mathrm{i}^0 = 1</math>

:<math>\mathrm{i}^1 = \mathrm{i}</math>

:<math>\mathrm{i}^2 = -1</math>

:<math>\mathrm{i}^3 = - \mathrm{i}</math>

Allgemein für <math>n \in \mathbb{Z}</math>:

:<math>\mathrm{i}^{4n} = 1</math>

:<math>\mathrm{i}^{4n+1} = \mathrm{i}</math>

:<math>\mathrm{i}^{4n+2} = -1</math>

:<math>\mathrm{i}^{4n+3} = - \mathrm{i}</math>

'''Arithmetische Operationen'''

:<math>(a + \mathrm ib) + (c + \mathrm id) = (a + c) + \mathrm i(b + d)</math>

:<math>(a + \mathrm ib) - (c + \mathrm id) = (a - c) + \mathrm i(b - d)</math>

:<math>(a + \mathrm ib)\cdot(c + \mathrm id) = ac - bd + \mathrm i(ad + bc)</math>

:<math>(a + \mathrm ib):(c + \mathrm id) = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \mathrm i\,\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}</math>   für <math>c^2+d^2 \neq 0</math>

=== Polarform ===

'''Darstellung'''

:<math>z=r \cdot (\cos (\varphi) + \mathrm{i} \cdot \sin(\varphi))</math>   mit dem Betrag <math>r</math> und dem Argument <math>\varphi</math>

'''Betrag'''

: <math>r = |z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{a^2 + b^2}</math>

'''Argument'''

:<math>\varphi = \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\
\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\
\arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\
\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\
-\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0
\end{cases}</math>

:oder

:<math>\varphi =\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\
\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0
\end{cases}
</math>

=== Exponentialform ===

'''Darstellung'''

:<math>z=r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}</math>   mit der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]] <math>e</math>

:<math>e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos \varphi + \mathrm{i}\,\sin \varphi</math>   ([[Eulersche Formel]])

'''Umrechnungsformeln'''

:<math>\sin \varphi = \frac{e^{\mathrm{i}\varphi} - e^{-\mathrm{i}\varphi}}{2\mathrm{i}}</math>

:<math>\cos \varphi = \frac{e^{\mathrm{i}\varphi} + e^{-\mathrm{i}\varphi}}{2}</math>

'''Arithmetische Operationen'''

:<math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \pm (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = \sqrt{r^2 + s^2 \pm 2 r s \cos (\varphi - \psi)} \cdot e^{ \mathrm{i} \operatorname{atan2}\left( r \sin \varphi \pm s \sin \psi, r \cos \varphi \pm s \cos \psi \right)}</math>

:<math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) \cdot (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r \cdot s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi+\psi)}</math>

:<math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi}) : (s \cdot e^{\mathrm{i}\psi}) = (r : s) \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi-\psi)}</math>

'''Potenzen'''

:<math>(r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi})^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi}</math>

'''Wurzeln'''

:<math>x^n = 1 \, \Leftrightarrow \, x = e^{2\pi\mathrm i k/n}</math>   für <math>k=0,1,\dots,n-1</math>   ([[Einheitswurzel]]n)

:<math>x^n = z \, \Leftrightarrow \, x = \sqrt[n]{|z|} \cdot e^{(\mathrm i\arg(z) + 2\pi\mathrm i k)/n}</math>   für <math>k=0,1,\dots,n-1</math>

== Summenformeln ==

=== Rechenregeln ===

:<math>\sum_{i=1}^{n}c = n \cdot c </math>

:<math>\sum_{i=m}^{n}c = (n-m+1) \cdot c </math>

:<math>\sum_{i=m}^{n}c \cdot a_i = c \cdot \sum_{i=m}^{n}a_i </math>

:<math>\sum_{i=m}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=m}^{n}a_i + \sum_{i=m}^{n}b_i </math>

:<math>\sum_{i=m}^{n} a_i = \sum_{i=m-r}^{n-r} a_{i+r}</math>

:<math>\sum_{i=1}^{n}(a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0</math>   ([[Teleskopsumme]])

=== Arithmetische Reihe ===

:<math>\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} </math>   ([[Gaußsche Summenformel]])

=== Geometrische Reihe ===

:<math>\sum_{i=0}^{n-1} k^i = \frac{1-k^n}{1-k}</math>

Eine Version, die für alle Halbringe geeignet ist:
: <math>\begin{pmatrix} 1&0 \\ \sum_{i=0}^{n-1}k^i & k^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\1&k\end{pmatrix}^n</math>

=== Potenzsummen ===

:<math>\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>

:<math>\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}</math>

:Für weitere Potenzsummen siehe [[Faulhabersche Formel]].

=== Kombinatorische Summen ===

'''[[Binomischer Lehrsatz]]'''

:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} a^{n-k}b^{k}</math>

'''[[Multinomialtheorem]]'''

: <math>\left(\sum_{i=1}^k a_i\right)^n = \sum_{n_1+\ldots+n_k=n}{n\choose n_1,\ldots,n_k}\,\cdot\, a_1^{n_1}\cdot a_2^{n_2}\cdots a_k^{n_k}</math>

=== Ungleichungen bei Summen ===

'''[[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]]'''

:<math>\left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)</math>   für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math>

'''[[Tschebyscheff-Ungleichung (Arithmetik)|Tschebyscheff-Ungleichungen]]'''

:<math>n \cdot \left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \geq \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i\right)</math>   für alle <math>a_1 \geq \ldots \geq a_n</math> und <math>b_1 \geq \ldots \geq b_n</math>

:<math>n \cdot \left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n b_i\right)</math>   für alle <math>a_1 \geq \ldots \geq a_n</math> und <math>b_1 \leq \ldots \leq b_n</math>

'''[[Minkowski-Ungleichung]]'''

:<math>\left(\sum_{i=1}^n | a_i + b_i |^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^p\right)^{1/p}</math>   für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math> sowie <math>p \geq 1</math>

'''[[Hölder-Ungleichung]]'''

:<math>\sum_{i=1}^n | a_i \cdot b_i | \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p\right)^{1/p} \cdot \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^q\right)^{1/q}</math>   für alle <math>a_1, \ldots, a_n</math> und <math>b_1, \ldots, b_n</math> sowie <math>p,q \geq 1</math> mit <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q} = 1</math>

'''[[Jensensche Ungleichung]]'''

:<math>f\left(\sum_{i=1}^n a_i \cdot b_i\right) \leq \sum_{i=1}^n a_i \cdot f(b_i)</math>   für jede [[konvexe Funktion]] <math>f</math>, <math>a_1, \ldots , a_n \geq 0</math> mit <math>a_1 + \ldots + a_n = 1</math> und alle <math>b_1, \ldots, b_n</math>

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Bronstein et al.|Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]]|Verlag=Harri Deutsch|Auflage=7.|Jahr=2008|ISBN=978-3-8171-2007-9}}

[[Kategorie:Arithmetik]]
[[Kategorie:Formelsammlung|Arithmetik]]
[[Kategorie:Liste (Mathematik)]]

Formelsammlung Arithmetik - Versionsgeschichte

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