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2024-03-29T06:02:05Z

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Die '''Formel von Wald''' oder '''Waldsche Identität''' ist in der [[Stochastik]] eine [[Gleichung]], mit deren Hilfe der [[Erwartungswert]] von Summen von [[Zufallsvariable]]n mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers [[Abraham Wald]] bewiesen.<ref>{{Literatur |Autor= |Titel=On Cumulative Sums of Random Variables |Sammelwerk=The Annals of Mathematical Statistics |Band=15 |Nummer=3 |Datum=1944 |Seiten=283–296 |DOI=10.1214/aoms/1177731235}}</ref>

== Formulierung ==

Es sei <math>(X_n)_{n\geq 1}</math> eine Folge [[unabhängig und identisch verteilt|unabhängiger, identisch verteilter]], [[Zufallsvariable#Integrierbar_und_quasi-integrierbar|integrierbarer]] Zufallsvariablen und <math>T</math> eine <math>\N</math>-wertige Zufallsvariable mit <math>\operatorname{E}(T) < \infty</math>, die von der Folge <math>(X_n)</math> [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängig]] ist. Dann gilt<ref>David Meintrup, Stefan Schäffler: ''Stochastik. Theorie und Anwendungen.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.</ref>

:<math>\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right)=\operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1)</math>.

== Beweis ==

Weil <math>T</math> unabhängig von der Folge <math>(X_n)</math> ist, folgt durch [[Bedingter Erwartungswert|Bedingen]] auf den Wert von <math>T</math>:

:<math>\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k \;\Big|\; T = n\right) = \operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^n X_k \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{E}(X_k) = n \operatorname{E}(X_1)</math>,

also

:<math>\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k \;\Big|\; T\right) = T \operatorname{E}(X_1)</math>.

Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich

:<math>\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right) = \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\;\Big|\; T \right)\right) =\operatorname{E}(T \operatorname{E}(X_1)) = \operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1)</math>.

Sind die <math> X_i </math> alle <math> \mathbb{N}_0 </math> wertig, so kann der Beweis auch elementar über [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]]en mittels der [[Kettenregel]] erfolgen.

== Verallgemeinerung auf Stoppzeiten ==

Es sei nun <math>(X_n)_{n\geq 1}</math> eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] <math>(\mathcal{F}_n)_n</math> [[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptiert]] ist, das heißt für alle <math>n</math> ist <math>X_n</math> <math>\mathcal{F}_n</math>-messbar. Wenn <math>X_{n+1}</math> von <math>\mathcal{F}_n</math> unabhängig ist für alle <math>n \in \N</math> und <math>T</math> eine integrierbare [[Stoppzeit]] bezüglich <math>(\mathcal{F}_n)_n</math> ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:<ref>[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.</ref>

:<math>\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right)=\operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1)</math>.

== Verwandte Konzepte ==
Ähnliche Aussagen über die Varianz von zusammengesetzten Verteilungen lassen sich mit der [[Blackwell-Girshick-Gleichung]] treffen.

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Satz (Stochastik)|Wald, Formel von]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Formel von Wald - Versionsgeschichte

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