imported>Phil Buchenrauch: /* Kalküle */ Hüllenaxiome auf Hüllensystem verlinkt

2025-11-01T07:38:50Z

Kalküle: Hüllenaxiome auf Hüllensystem verlinkt

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Ein '''formales System''' ist ein System von Symbolketten und Regeln. Die Regeln sind Vorschriften für die Umwandlung einer Symbolkette in eine andere, also [[Produktionsregel|Produktionen]] einer [[Formale Grammatik|formalen Grammatik]]. Die Anwendung der Regeln kann dabei ohne Kenntnis der Bedeutung der Symbole, also rein [[Syntax|syntaktisch]] erfolgen. Formale Systeme werden in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen wie der [[Logik]], [[Mathematik]], [[Informatik]] und [[Sprachwissenschaft|Linguistik]] verwendet, insbesondere um neue Aussagen aus bereits bekanntem Wissen herzuleiten.

[[Kalkül]] wird oft in derselben Bedeutung wie formales System verwendet; manchmal wird unter einem Kalkül jedoch ein formales System mit bestimmten Einschränkungen verstanden.

== Definition eines formalen Systems ==
Ein formales System lässt sich als [[Tupel|Quadrupel]] <math>F = \langle A,B,AU,R \rangle\quad</math> auffassen, das heißt, es wird von folgenden Bestimmungsstücken konstituiert:
* <math>A\quad</math> ist ein [[Alphabet (Mathematik)|Alphabet]], das heißt eine Menge beliebiger Zeichen. Dies sind die Grundzeichen, aus denen sich die Symbolketten des formalen Systems zusammensetzen.
* <math>B\quad</math> ist eine Teilmenge aller Wörter, die sich über dem Alphabet <math>A</math> bilden lassen. Dies sind die „wohlgebildeten“ oder „wohlgeformten Formeln“ (englisch ''well-formed formulas'', '''wff'''), also diejenigen unter den Symbolketten, die einen „Sinn“ ergeben. „Sinn ergeben“ bedeutet aber hier nichts anderes, als dass diese Zeichenreihen der Grammatik des formalen Systems entsprechen und deshalb für die weitere Untersuchung zugelassen werden sollen. <math>B</math> ist damit eine [[formale Sprache]] über dem Alphabet <math>A</math>. In der Praxis wird die (meist unendliche) Satzmenge ihrerseits durch '''Formationsregeln''' festgelegt beziehungsweise induktiv definiert.
* <math>AU\quad</math> ist eine Menge von [[Calculus|Ausgangsfiguren]].<ref>Diese werden manchmal ''[[Axiom]]e'' genannt, es können aber im einfachen Fall auch Spielsteine sein.</ref> Diese Figuren müssen '''wff'''s sein. Das heißt, <math>AU</math> muss eine [[Teilmenge]] von <math>B</math> sein. Sie sind die – grundsätzlich willkürlich gewählten – Ausgangsformeln für die Ableitungsrelation des formalen Systems.
* <math>R\quad</math> ist eine Menge von mindestens zweistelligen [[Relation (Mathematik)|Relationen]] über Wörtern aus <math>B</math>, durch die eine [[Ableitungsrelation]] definiert wird. <math>R</math> enthält die Regeln für das Ableiten. Stehen zwei (oder mehr) '''wff'''s in einer dieser Relationen zueinander, so ist die letzte aus der oder den vorhergehenden '''ableitbar'''. Ausgehend von den Ausgangsfiguren – die vorab als „ableitbar“ definiert werden – ergibt sich damit eine Menge von – gemäß der Relation <math>R</math> – ableitbaren '''wff'''s.

Im Hinblick auf die Leistungsfähigkeit formaler Systeme sind vor allem die Ausgangsfiguren und die zuletzt genannte Relation zu betrachten. Durch diese wird die Ableitungsrelation definiert. Sie wird häufig mit <math>\vdash</math> symbolisiert. Die Schreibweise <math>a \vdash b</math> für zwei Wörter a und b aus der Menge B bedeutet also, dass sich b aus a ''formal'' ableiten lässt. Es gibt also eine Folge von Relationen in R, die a und b (möglicherweise unter Verwendung anderer ableitbarer Formeln) miteinander in eine formale Ableitungsbeziehung setzen.

Der Begriff „formales System“ ist sehr allgemein. Es kann gar keine oder auch unendlich viele Ausgangsfiguren geben. Mindestens eine Relation muss vorhanden sein, doch können auch dies unendlich viele sein. Immer gilt aber: Eine '''wff''' a gehört genau dann zu den (formal) ableitbaren Formeln, wenn sich eine „umgekehrt baumförmige“ Struktur von Ableitungsregeln angeben lässt, die von Ausgangsfiguren ausgeht und deren „Stamm“ bei a endet. <small>Hat das formale System keine Ausgangsfiguren, so stehen an den „Blattspitzen“ des Baumes lauter leere Zeichenreihen.</small>

Ein solcher Ableitungsbegriff wird als [[Syntax|syntaktisch]] bezeichnet. Es wird grundsätzlich nicht darauf reflektiert, wofür die ableitbare Formel a steht, sie steht im Prinzip zu keiner denkbaren Welt in Beziehung, hat keine Bedeutung, keine [[Semantik]].

Interessant sind aber natürlich solche formalen Systeme, deren Ableitungsrelation einer semantischen Folgerungsrelation (möglicherweise insbesondere der menschlichen) möglichst nahekommt. D. h., man möchte möglichst alles, was man semantisch folgern kann, auch formal ableiten können. Damit wird jedoch der Rahmen formaler Systeme bereits überschritten. Nähere Informationen hierzu finden sich unter anderem im Artikel [[Wissensrepräsentation mit Logik#Aufbau eines logischen Systems|Wissensrepräsentation mit Logik]].

== Kalküle ==
Gelegentlich findet man für [[Kalkül]]e die Einschränkung vor, dass die Menge der Relationen in <math>R</math> endlich sein muss. Darüber hinaus werden an die Ableitungsrelation von Kalkülen häufig weitergehende Anforderungen gestellt, wie beispielsweise die Erfüllung der [[Hüllensystem|Hüllenaxiome]] und des [[Endlichkeitsaxiom]]s. Ansonsten wird der Kalkülbegriff meist synonym zum Begriff des formalen Systems verwendet.

== Formales System in der Mathematik ==

Die [[Mathematik]] bedient sich von jeher formaler Systeme. Die [[elementare Algebra]], wie man sie in der Schule lernt, ist ein solches System. Sie bedient sich der Zahlen, Rechenzeichen für [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]] sowie der Buchstaben für Unbekannte. Die Rechenregeln sind die Umformungsregeln, die ''mechanisch'' angewendet werden können, wenn man sie einmal eingesehen hat. Beispielsweise kann man die

:''1. Algebraregel:'' <math>a+0=a</math>

interpretieren als

:''Jeder beliebige Ausdruck ''a'' kann um Null vermehrt werden, ohne das Ergebnis zu ändern.''

Eine ''mechanische'' Regel könnte dann lauten:

:''Hat man einen Ausdruck „a“, so kann man die Symbolkette „+0“ (unter Beachtung der [[Klammerregel]]n) anfügen oder entfernen, ohne das Ergebnis zu ändern.''

=== Anwendungsbeispiel ===
Die [[Grundrechenart]]en der [[Arithmetik]] bilden das erste formale System, das in der Grundschule gelernt wird. Dort nimmt man Symbole für die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und ein Symbol für die Null, nämlich 0. Die Addition erhält das Symbol „+“. Man kann jetzt die Symbole aneinanderreihen und erhält Symbolketten, wie zum Beispiel:

123+45
7+0
123456+666
1607+
23++56

Die drei ersten entsprechen den (hier nicht im Einzelnen formulierten) Regeln für wohlgeformte Symbolketten. Die beiden letzten tun dies nicht und können der folgenden Regel nicht unterworfen werden.

''Additionsregel: Nimm die beiden am weitesten rechts stehenden Ziffern jeder Ziffernfolge und ersetze sie durch folgende Vorschrift: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, ..., 5+5=0+Übertrag, ... 9+9=8+Übertrag. Schreibe die sich ergebende Ziffern an die rechte Stelle der neuen Ziffernkette und merke dir den Übertrag. Nimm jetzt die zweite Ziffer von rechts aus jeder Kette und ersetze sie durch dieselbe Vorschrift. Falls ein Übertrag im vorhergehenden Schritt vorhanden war, wende die Ersetzung auf die neue Ziffer und 1 an. Ersetze im Ergebnis die zweite Stelle von rechts durch das neue Symbol und merke dir wiederum den Übertrag. Setze das Verfahren von rechts nach links fort, bis keine Ziffern mehr vorhanden sind. Falls eine Kette kürzer als die andere ist, ersetze fehlende Ziffern durch '0'. Falls am Ende ein Übertrag vorhanden ist, schreibe im Ergebnis ganz links eine '1'.''

Die Kette "987+789" wird durch Anwendung dieser Additionsregel also durch die Kette 1776 ersetzt. Um dieses Vorgehen in die oben beschriebene [[Formalisierung]] zu übertragen, können wir sagen: "1776" wurde von "987+789" abgeleitet. Dabei müssen wir uns jedoch bewusst machen, dass die Ableitung allein auf Zeichenebene erfolgte. Ebenso wäre es möglich, mittels einer anderen Ableitungsregel aus "987+789" die [[Zeichenkette]] "198" abzuleiten (dies ist in diesem Fall die Differenz) oder die Zeichenkette "87+78" gemäß der Regel: "Lasse das erste und das letzte Zeichen weg". Summe und Differenz im Sinne unseres alltäglichen Sprachgebrauchs gehören der Semantik an und sind damit außer Reichweite der bisher kalkülisierten mathematischen Systeme.

== Literatur ==
* [[Douglas R. Hofstadter]]: ''[[Gödel, Escher, Bach]], ein endlos geflochtenes Band''. DTV 1991, ISBN 3-423-30017-5.
* [[David Hilbert]], W. Ackermann: ''Grundzüge der theoretischen Logik''. 6. Aufl., Springer 1972, ISBN 3-540-05843-5.
* [[Alexander Alexandrowitsch Sinowjew]], [[Horst Wessel (Philosoph)|Horst Wessel]]: ''Logische Sprachregeln. Eine Einführung in die Logik.'' Berlin, 1975, München/Salzburg, 1975, 592 Seiten, ISBN 978-3-7705-1264-5.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Logik]]
[[Kategorie:Systemtheorie]]
[[Kategorie:Berechenbarkeitstheorie]]

Formales System - Versionsgeschichte

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