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2023-03-30T05:00:16Z

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Die '''formale Ableitung''' ist ein Begriff aus dem [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]]. Durch sie wird der [[Differentialrechnung|Ableitungsbegriff]] aus der [[Analysis]] für [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] auf [[Polynom]]e übertragen.

Da über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] keine Zahl "zwischen" zwei Zahlen existiert, es also keinen [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertbegriff]] gibt, kann der [[Differenzenquotient]] nicht sinnvoll definiert werden und somit existiert keine Ableitung im eigentlichen Sinne. Um das Konzept der Ableitung trotzdem nutzen zu können, wird diese für [[Polynom]]e formal so definiert, dass die [[Faktorregel]] und die [[Potenzregel]] erfüllt sind.

== Definition ==
Sei <math>R</math> ein Ring und <math>R[X]</math> bezeichne den [[Polynomring]] über <math>R</math> in einer Unbestimmten <math>X</math>. Für ein Polynom
:<math>f = \sum_{i=0}^n a_iX^i \in R[X]</math>
ist die formale Ableitung <math>f' \in R[X]</math> definiert als
:<math>f' = \sum_{i=1}^n ia_iX^{i-1}</math>.

== Eigenschaften ==
* Für die formale Ableitung gelten die bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung. Insbesondere gilt
::<math>(a f + b g)' = a f' + b g'</math> sowie
::<math>(f g)' = f' g + f g'</math>
:für alle <math>f,g \in R[X]</math> und alle <math>a,b \in R</math>. Das heißt, die Abbildung
::<math>D \colon R[X] \to R[X], \quad f \mapsto f'</math>
:ist eine [[Derivation (Mathematik)|Derivation]] von <math>R[X]</math>.
* Liegt <math>f</math> in Linearfaktoren vor, das heißt <math>\textstyle f = \prod_{i=1}^n (X-r_i)</math>, wobei <math>r_i \in R</math> die Nullstellen von <math>f</math> sind, so gilt für die Ableitung
::<math>f' = \sum_{i=1}^n \prod_{j=1 \atop j \neq i}^n ( X - r_j)</math>.

== Anwendung ==
Ist <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], so ist <math>K[X]</math> ein [[euklidischer Ring]] (insbesondere [[Faktorieller Ring|faktoriell]]), wobei <math>\deg(f) = \max\{i\ |\ a_i \neq 0\}</math> als euklidische Norm dient, wenn <math>a_i</math> die Koeffizienten von <math>f</math> bezeichnet.
Die Nullstellen des [[Größter gemeinsamer Teiler#Euklidischer Algorithmus|ggT]] von <math>f</math> und <math>f'</math> sind gerade die [[Nullstelle#Mehrfache Nullstellen|Mehrfachnullstellen]] von <math>f</math> mit einer um 1 erniedrigten Ordnung, wie folgende Rechnung zeigt:

Sei <math>r \in K</math> eine Mehrfachnullstelle von <math>f \in K[X]</math>, dann gilt <math>f = (X-r)((X-r)^m g)</math> mit einem Polynom <math>g \in K[X]\setminus\{0\}</math> und einem <math>m \ge 1</math>.
Es folgt <math>f' = (X-r)^m g + (X-r) ((X-r)^m g)'</math>, also <math>f'(r) = 0</math>.

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lehrbuch der Algebra.'' Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, S. 275 ff. ({{Google Buch|BuchID=6R9b27imDC8C|Seite=275}}).
* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 253 ff

[[Kategorie:Ringtheorie]]

Formale Ableitung - Versionsgeschichte

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