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2026-03-14T15:00:41Z

Ford-Kugeln (3D): So gemeint?

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[[Bild:Ford circles colour.svg|mini|230px|Ford-Kreise bis q = 20]]
[[Bild:Ford circles.png|mini|230px|Ford-Kreise der Farey-Reihe der fünften Ordnung]]
Die '''Ford-Kreise''' sind Kreise in der reellen Ebene, je einer für jede [[rationale Zahlen|rationale Zahl]] und einer zum Punkt unendlich.
Die Kreise sind nach dem amerikanischen Mathematiker [[Lester Randolph Ford senior|Lester R. Ford]] benannt, der sie 1938 entdeckte.

== Definition ==
Der Fordkreis zum Bruch <math>\textstyle\frac{p}{q}</math> mit [[teilerfremd]]en, [[ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>p,q</math> und <math>q\geq 0</math> wird meist mit <math>C[p/q]</math> oder <math>C[p,q]</math> bezeichnet. Er hat für <math>q\not=0</math> den Radius <math>\textstyle\frac{1}{2q^2}</math> und sein Zentrum liegt im Punkt <math>\textstyle\left(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}\right)</math>. Außerdem ist der Fordkreis <math>C[1,0]</math> definiert als die Gerade <math>y=1</math> ([[Projektive Geometrie|projektiv]] gesehen ist dies ein Kreis mit Zentrum im Unendlichen).

== Eigenschaften der Fordkreise ==
Das Innere je zweier verschiedener Fordkreise ist [[disjunkt]], d. h. die Kreise überlappen sich nicht.
Allerdings können sie sich berühren. Außerdem wird jeder rationale Punkt der x-Achse von einem Fordkreis berührt.

Liegt der Bruch <math>\textstyle\frac{p}{q}</math> im offenen Intervall <math>(0;1)</math>, so entsprechen die <math>C[p/q]</math> berührenden Fordkreise gerade den Nachbarn von <math>\textstyle\frac{p}{q}</math> in einer [[Farey-Reihe]].

== Ford-Kugeln (3D) ==
Eine Verallgemeinerung ergibt sich für die [[Gaußsche Zahl|Gaußschen Zahl]]en p=p'+ip<nowiki>''</nowiki> und q=q'+iq<nowiki>''</nowiki>. Die Division von zwei komplexen Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt rationale Koeffizienten: Mit ganzen Zahlen |q|²=q'*q'+q<nowiki>''</nowiki>*q<nowiki>''</nowiki>, n'=p'*q'+p<nowiki>''</nowiki>*q<nowiki>''</nowiki> und n<nowiki>''</nowiki>= p<nowiki>''</nowiki>q'-p'q<nowiki>''</nowiki> lässt sich der Quotient schreiben als p/q=(n'+in<nowiki>''</nowiki>)/|q|². Erstellt man für alle ganzen Zahlen p',p<nowiki>''</nowiki>,q',q<nowiki>''</nowiki> mit teilerfremden p, q Kugeln mit Radius r=<math>\textstyle\frac{1}{2|q|^2}</math> am Punkt ((p/q)<nowiki>',(p/q)''</nowiki>,r) entstehen '''Ford-Kugeln'''.

Zwei Kugeln <math>P/Q</math> und <math>p/q</math> tangieren sich genau dann, wenn <math>|Pq-pQ|=1</math>.<ref>{{Literatur |Autor=L. R. Ford |Titel=Fractions |Sammelwerk=The American Mathematical Monthly |Band=45 |Nummer=9 |Datum=1938-11 |ISSN=0002-9890 |DOI=10.1080/00029890.1938.11990863 |Seiten=586–601 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1938.11990863 |Abruf=2020-05-19}}</ref>
[[Datei:Ford-Kugeln.png|mini|Ford-Kugeln über der komplexen Ebene]]

== Siehe auch ==
*[[Stern-Brocot-Baum]]
*[[Apollonios-Kreisfüllung]]

== Literatur ==
*[[John Horton Conway|John H. Conway]], [[Richard Kenneth Guy|Richard K. Guy]]: ''Zahlenzauber – von natürlichen, imaginären und sonstigen Zahlen''. Birkhäuser Verlag 1997. (engl. Original: ''The Book of Numbers'', New York 1996, ISBN 0-387-97993-X)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreis]]

Ford-Kreis - Versionsgeschichte

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