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2025-06-22T10:57:31Z

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'''Forcing''' (deutsch auch '''Erzwingung''' oder '''Erzwingungsmethode''') ist in der [[Mengenlehre]] eine Technik zur Konstruktion von [[Modelltheorie|Modellen]], die hauptsächlich verwendet wird, um [[Widerspruchsfreiheit|relative Konsistenzbeweise]] zu führen. Sie wurde zuerst 1963 von [[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul Cohen]] entwickelt und verwendet, um die Unabhängigkeit des [[Auswahlaxiom]]s und der [[Kontinuumshypothese]] zu beweisen. Diese Leistung ist 1966 durch die Verleihung der [[Fields-Medaille]] gewürdigt worden. Die Forcing-Methode ist von verschiedenen Mathematikern vielfach weiterentwickelt worden.

== Grundidee ==
Die Grundidee der Forcing-Methode besteht darin, einem gegebenen Modell der Mengenlehre (dem Grundmodell <math>M</math>) eine bestimmte Menge <math>G</math> derart hinzuzufügen, dass wieder ein Modell von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]] entsteht (die generische Erweiterung <math>M[G]</math>). Die Konstruktion verläuft so, dass <math>G</math> in dem Grundmodell approximiert werden kann; dies ermöglicht, Eigenschaften von <math>M[G]</math>, wie z. B. die Ungültigkeit der Kontinuumshypothese, durch eine in dem Grundmodell <math>M</math> definierbare Sprache auszudrücken und so nachzuweisen.

== Beschreibung ==
Im Folgenden sei <math>M</math> ein [[Abzählbarkeit|abzählbares]], [[Transitive Klasse|transitives]] Modell von [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]]. Für die Rechtfertigung dieser Annahme siehe unten unter [[#Forcing und relative Konsistenzbeweise|Forcing und relative Konsistenzbeweise]].

=== Bedingungsmengen und generische Filter ===
Unter einer Bedingungsmenge versteht man ein in <math>M</math> definiertes Tripel <math>\langle P,\leq_P,1_P\rangle</math>, wobei <math>\leq_P</math> eine [[Quasiordnung]] auf <math>P</math> ist, die <math>1_P</math> als größtes Element besitzt. Die Elemente von <math>P</math> heißen Bedingungen. Eine Bedingung <math>p</math> ist stärker als eine Bedingung <math>q</math>, falls <math>p\leq q</math>. In der Anwendung sind die meisten Bedingungsmengen antisymmetrisch, also [[Halbordnung]]en. Für die Theorie muss dies allerdings nicht gefordert werden.

Eine Menge <math>D\subseteq P</math> heißt dicht, falls
:<math>\forall p\in P\ \exists q\in D \ q\leq p,</math>
falls also für jede Bedingung eine stärkere Bedingung in <math>D</math> existiert, bzw. <math>D</math> [[konfinal]] in <math>P</math> liegt. Ein [[Filter (Mathematik)|Filter]] <math>G\subseteq P</math> heißt generisch, falls er jede dichte Teilmenge aus <math>M</math> trifft, falls also <math>D\cap G\neq\emptyset</math> für alle dichten <math>D\in M</math> gilt.

Aus dem [[Lemma von Rasiowa-Sikorski]] folgt, dass für jedes <math>p\in P</math> ein generischer Filter <math>G</math> existiert, der <math>p</math> enthält. Für alle interessanten Bedingungsmengen liegt <math>G</math> nicht in <math>M</math>.

=== Namen ===
Mit transfiniter Rekursion wird nun die Klasse <math>M^P</math> aller <math>P</math>-Namen in <math>M</math> definiert:
:<math>\tau\in M^P\leftrightarrow \tau\subset M\times M\wedge\forall (\sigma,p)\in\tau\,(\sigma\in M^P\wedge p\in P)</math>
Demnach gehört die leere Menge <math>\emptyset</math> zu <math>M^P</math>, denn die rechte Bedingung ist für <math>\tau = \emptyset</math> trivialerweise erfüllt. Weiter gehören alle <math>\{(\emptyset,p)\}</math> mit <math>p\in P</math> zu den Namen, denn wegen <math>\emptyset \in M</math> und <math>P\subset M</math> (M ist transitiv!) ist <math>\{(\emptyset,p)\}\subset M\times M</math> und der zweite Teil der Bedingung gilt, weil wir ja bereits wissen (Rekursion!), dass <math>\emptyset \in M^P</math> usw.

Die Gesamtheit der Namen bildet für <math>M</math> eine echte Klasse.

=== Die generische Erweiterung ===
Auf <math>M^P</math> definiert man die zweistellige Relation <math>\in_G</math> durch:
:<math>\sigma\in_G\tau\leftrightarrow\exists p\in G\,(\sigma,p)\in\tau</math>
Da diese Definition den Filter <math>G</math> verwendet, ist sie im Allgemeinen nicht in <math>M</math> durchführbar. Sei nun <math>i_G \colon M^P\to V</math> rekursiv definiert durch
:<math>i_G (\tau)=\{i_G(\sigma)|\sigma\in_G\tau\}.</math>
Die generische Erweiterung <math>M[G]</math> wird definiert als das [[Bild (Mathematik)|Bild]] von <math>M^P</math> unter <math>i_G</math>. Das Modell <math>\langle M[G],\in\rangle</math> ist also der [[Mostowski-Kollaps]] von <math>\langle M^P,\in_G\rangle</math>.

=== Die Forcing-Relation ===
Für eine Formel <math>\varphi(x_1,\dots ,x_n)</math> und <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n\in M^P</math> definiert man nun
:<math>p\Vdash\varphi(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math> (lies: „<math>p</math> erzwingt <math>\varphi</math> für <math>\sigma_1,\dots,\sigma_n</math>“),
falls für alle <math>M</math>-generischen <math>G</math> mit <math>p\in G</math> gilt:
:<math>M[G]\vDash\varphi(i_G(\sigma_1),\dots,i_G(\sigma_n))</math>
Die Definition von <math>\Vdash</math> verwendet den Filter <math>G</math>, der im Allgemeinen nicht in <math>M</math> liegt. Es zeigt sich jedoch (Definierbarkeitslemma), dass sich eine äquivalente Definition von <math>\Vdash</math> in <math>M</math> durchführen lässt:
:<math>\{(p,\varphi,\sigma_1,\dots,\sigma_n)\mid p\Vdash\varphi(\sigma_1,\dots,\sigma_n)\}</math> ist eine definierbare Klasse in <math>M</math>

Weitere Eigenschaften von <math>\Vdash</math> sind:
* Gilt <math>p\Vdash\varphi(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math> und ist <math>q\leq p</math>, so auch <math>q\Vdash\varphi(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math> (Erweiterungslemma).
* <math>M[G]\vDash\varphi(i_G(\sigma_1),\dots,i_G(\sigma_n))\Leftrightarrow\exists p\in G\ p\Vdash\varphi(\sigma_1,\dots,\sigma_n)</math> (Wahrheitslemma).

Mittels dieser Relation lassen sich also alle Eigenschaften von <math>M[G]</math> als Eigenschaften von <math>M</math> auffassen. Nun kann man zeigen, dass <math>M[G]</math> für jede Bedingungsmenge <math>P</math> und jeden <math>M</math>-generischen Filter <math>G</math> ein Modell von ZFC ist. Während grundlegende Axiome wie das [[Paarmengenaxiom]], das [[Vereinigungsaxiom|Vereinigungsmengenaxiom]] oder die [[Leermengenaxiom|Existenz der leeren Menge]] direkt nachzuprüfen sind, benötigt man für die stärkeren Axiome wie das [[Ersetzungsschema]], das [[Aussonderungsschema]] oder das [[Potenzmengenaxiom]] die Forcing-Relation.

Will man beispielsweise eine Menge <math>i_G(\sigma)\in M[G]</math> nach <math>\varphi(x)</math> aussondern, so ist
:<math>\tau=\{(\pi,p)\in \operatorname{dom}\ \sigma\times P\mid p\Vdash\pi\in\sigma\wedge\varphi(\pi) \} \in M^P</math>
ein Name für die gesuchte Menge. Darüber hinaus gilt für das Modell <math>M[G]</math>:
* <math>M[G]</math> ist transitiv;
* <math>M\subseteq M[G]</math>;
* <math>G\in M[G]</math>;
* <math>M[G]</math> enthält keine neuen Ordinalzahlen: <math>{\operatorname{Ord}} \cap M = {\operatorname{Ord}} \cap M[G]</math>;
* <math>M[G]</math> ist das kleinste transitive Modell mit <math>M\subseteq M[G]</math> und <math>G\in M[G]</math>.

=== Antikettenbedingung ===
Eine Schwierigkeit besteht bei der Betrachtung von [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]] in <math>M[G]</math>: Jede Kardinalzahl in <math>M[G]</math>, die in <math>M</math> liegt, ist auch dort eine Kardinalzahl. Die Umkehrung gilt allerdings im Allgemeinen nicht. Dies hat zur Folge, dass in <math>M</math> überabzählbare Mengen in <math>M[G]</math> abzählbar werden können. Wählt man allerdings die Bedingungsmenge <math>P</math> so, dass jede [[Antikette]] von <math>P</math> in <math>M</math> abzählbar ist („Abzählbare-Antiketten-Bedingung“, oft auch c.c.c. genannt nach der englischen Bezeichnung ''countable chain condition''), so ist für jeden <math>M</math>-generischen Filter <math>G</math> jede Kardinalzahl <math>\kappa\in M</math> auch Kardinalzahl im Sinne von <math>M[G]</math>.

Allgemeiner gilt: Ist <math>\mu</math> in <math>M</math> eine [[Konfinalität|reguläre Kardinalzahl]] und hat jede Antikette in <math>M</math> kleinere Mächtigkeit als <math>\mu</math> („P erfüllt die <math>\kappa</math>-Antiketten-Bedingung“), so ist jede Kardinalzahl <math>\kappa\geq\mu</math> in <math>M</math> auch Kardinalzahl in <math>M[G]</math>.

== Forcing und relative Konsistenzbeweise ==
Um die Widerspruchsfreiheit einer mathematischen Theorie <math>T</math> zu zeigen, genügt es nach dem [[Gödelscher Vollständigkeitssatz|Gödelschen Vollständigkeitssatz]], ein Modell anzugeben, das alle Aussagen aus <math>T</math> erfüllt (dies entspricht dem Modell <math>M[G]</math>). Da nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Existenz eines solchen Modells für „starke“ Theorien <math>T</math> (d. h. insbesondere für <math>T\supset ZFC</math>) nicht bewiesen werden kann, muss man sich auf relative Konsistenzbeweise beschränken, sprich, die Existenz eines Modells für ZFC zusätzlich voraussetzen (dies entspricht dem Modell <math>M</math>). Aufgrund der Sätze von [[Satz von Löwenheim-Skolem|Löwenheim-Skolem]] und [[Mostowski-Kollaps|Mostowski]] ist es keine Einschränkung, dieses Modell als abzählbar und transitiv anzunehmen.

Dieses Verfahren liefert allerdings nur einen relativen Konsistenzbeweis innerhalb von ZFC selbst (das heißt, die Formel <math>\operatorname{Con}\ ZFC\rightarrow\operatorname{Con}\ T</math> ist in ZFC beweisbar). Für einen streng [[Finitismus|finitistischen]] Beweis, der in der Angabe eines Verfahrens besteht, das den Beweis eines Widerspruchs von <math>T</math> konkret in einen solchen von <math>ZFC</math> umwandelt, muss man weiter ausholen: Sei ein Widerspruchsbeweis von <math>T</math> gegeben. Nach dem [[Kompaktheitssatz (Logik)|Kompaktheitssatz]] gibt es bereits eine endliche widersprüchliche Teiltheorie <math>T_\text{fin}\subset T</math>. Da für den Beweis von <math>M[G]\models ZFC</math> pro Axiom nur endlich viele Axiome verwendet werden, lässt sich nun eine Theorie <math>S\subset ZFC</math> finden, sodass gilt:
*Ist <math>M</math> ein abzählbares, transitives Modell von <math>S</math>, so gilt für ein <math>M</math>-generisches <math>G</math>: <math>M[G]\models T_\text{fin}</math>
*<math>S\supset T_\text{fin}</math>, <math>S</math> ist aber immer noch endlich.
Nach dem [[Reflexionsprinzip (Mengenlehre)|Reflexionsprinzip]] gibt es ein (wieder ohne Einschränkung abzählbares, transitives) Modell <math>M</math> mit <math>M\models S</math>. Es gilt also in der generischen Erweiterung <math>M[G]\models T_\mathrm{fin}</math>. Da ZFC beweist, dass <math>T_\text{fin}</math> ein Modell besitzt, <math>T_\text{fin}</math> aber widersprüchlich ist, ist ZFC selbst widersprüchlich.

Da es auf die konkret verwendeten Teilsysteme <math>S</math> bzw. <math>T_\text{fin}</math> nicht ankommt, hat es sich in der Praxis durchgesetzt, von <math>M</math> als einem Modell von ganz ZFC zu sprechen, wie wir es hier auch getan haben.

== Anwendung: Unbeweisbarkeit der Kontinuumshypothese ==
Die [[Kontinuumshypothese]] besagt, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge der Menge der natürlichen Zahlen gleich derjenigen der ersten überabzählbaren Kardinalzahl ist. Diese Aussage ist in ZFC weder widerlegbar noch beweisbar. Ersteres hatte [[Kurt Gödel]] bereits 1939 bewiesen (siehe [[Konstruierbarkeitsaxiom]]), Letzteres hat Paul Cohen 1963 mit Hilfe der dazu von ihm entwickelten Forcing-Methode gezeigt. Es folgt eine Skizze des Beweises:

Die Potenzmenge der Menge <math>\omega</math> der natürlichen Zahlen entspricht umkehrbar eindeutig der Menge der 0-1-Folgen, also der Menge <math>2^\omega</math> der Funktionen von <math>\omega</math> in die Menge <math>\{0,1\}</math>, die in der Mengenlehre als <math>2</math> bezeichnet wird. Ihre Mächtigkeit wird ebenfalls mit <math>2^\omega</math> bezeichnet. Die kleinste überabzählbare Kardinalzahl wird mit <math>\omega_1</math> bezeichnet, die nächstgrößere mit <math>\omega_2</math>. Die Kontinuumshypothese besagt dann <math>2^{\omega}=\omega_1</math>, ihre Verneinung <math>2^{\omega} \ge \omega_2</math>.

Für den Beweis sei das Grundmodell <math>M</math> ein abzählbares, transitives Modell von ZFC, in dem die Kontinuumshypothese gilt. Ziel ist es, eine generische Erweiterung zu konstruieren, in der <math>2^{\omega} \ge \omega_2</math> gilt. Die Idee ist, dem Grundmodell <math>\omega_2</math>-viele paarweise verschiedene 0-1-Folgen hinzuzufügen, sodass die Mächtigkeit von <math>2^\omega</math> in der generischen Erweiterung mindestens <math>\omega_2</math> beträgt. Oder anders ausgedrückt: Man braucht eine injektive Funktion von <math>\omega_2</math> nach <math>2^\omega</math>, die diese <math>\omega_2</math>-vielen 0-1-Folgen „nummeriert“. Aufgrund von <math>(Z^Y)^X\cong Z^{X\times Y}</math> entspricht diese einer Funktion von <math>\omega_2\times\omega</math> nach <math>\{0,1\}</math>.

Man definiert deshalb in <math>M</math> als Bedingungsmenge <math>P</math> die Menge der „endlichen Approximationen“ an so eine Funktion, das heißt die Menge aller partiellen Funktionen von <math>\omega_2\times\omega</math> nach <math>\{0,1\}</math> mit endlichem Definitionsbereich:
:<math>P=\{f\colon A\to 2\,|\,A\subset\omega_2\times\omega,\, \operatorname{dom}(f)\ \text{endlich}\}.</math>
Diese Menge ist geordnet durch die Obermengen-Beziehung <math>\supseteq</math>, es gilt also genau dann <math>q\leq p</math>, wenn <math>p</math> durch <math>q</math> fortgesetzt wird.

Ist dann <math>G</math> ein <math>M</math>-generischer Filter, so betrachtet man <math>f_G := \bigcup G</math>. Wegen <math>G\in M[G]</math> ist auch <math>f_G\in M[G]</math> und aus der Generizität von <math>G</math> folgt:
*<math>f_G</math> ist eine totale Funktion <math>f_G\colon\omega_2\times\omega\to 2.</math>
*Die Komponentenfunktionen <math>f_\alpha (n):=f_G(\alpha,n)</math> sind paarweise verschiedene Funktionen von <math>\omega</math> nach <math>\{0,1\}.</math>
In <math>M[G]</math> gilt damit die Abschätzung
:<math>2^{\omega} \ge |\{f_\alpha \mid \alpha\in\omega_2\}| = |\omega_2|.</math>

Mit Hilfe des [[Delta-Lemma]]s zeigt man schließlich, dass <math>P</math> die abzählbare Antikettenbedingung erfüllt und daher <math>\omega_2</math> in <math>M[G]</math> als zweite überabzählbare Kardinalzahl erhalten bleibt.
Die Kontinuumshypothese ist im Modell <math>M[G]</math> somit verletzt.

Man hat damit gezeigt: Wenn ZFC widerspruchsfrei ist, dann kann die Kontinuumshypothese nicht in ZFC bewiesen werden.

== Weitergehende Methoden ==
* [[Produktforcing]]
* [[Iteriertes Forcing]]

== Literatur ==
* [[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul Cohen]]: ''Wie ich »Forcing« entdeckte'', Lemgo, e-enterprise, 2017, ISBN 978-3-945059-38-8.
* [[Thomas Jech]]: ''Set Theory.'' 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
* [[Kenneth Kunen]]: ''Set Theory. An Introduction to Independence Proofs.'' (= ''Studies in Logic and the Foundations of Mathematics.'' Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0, [https://logic.wikischolars.columbia.edu/file/view/Kunen,+K.+%281980%29.+Set+Theory.pdf online] (PDF; 6,31 MB).

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Modelltheorie]]

Forcing - Versionsgeschichte

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