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{{Mathematische Zeichen|<small>⇒ ⇔ ⇐</small>}}

Der '''Folgepfeil''' ist ein doppelter [[Pfeil (Symbol)|Pfeil]] nach rechts, links oder auf beide Seiten. Er ist die [[mathematische Notation]] für einen [[Logischer Schluss|logischen Schluss]].

== Verwendung ==
Der Folgepfeil ist das [[Mathematisches Symbol|mathematische Symbol]] für „daraus folgt“, die logische [[Schlussfolgerung]].<ref>{{Internetquelle |url=https://www.mathe-online.at/symbole.html |titel=Liste mathematischer Symbole |hrsg=mathe-online.at |abruf=2012-03-03}}</ref> Er stellt eine [[logische Verknüpfung]] dar: Das Symbol wird eingesetzt, wenn aus etwas Richtigem ein richtiger, aus etwas Falschem ein falscher oder aus etwas Falschem ein richtiger Schluss gezogen wird.
Niemals darf er jedoch verwendet werden, um aus etwas Richtigem etwas Falsches zu folgern.

:<code>x ist durch 4 teilbar ⇒ x ist durch 2 teilbar ⇒ x ist gerade</code>
:: (hier ein [[Transitive Relation|transitiver Schluss]], daraus folgt auch direkt <code>x ist durch 4 teilbar ⇒ x ist gerade</code>)

Natürlich kann man die Folgerungen jederzeit umstellen („folgt aus“), und verwendet dann ⇐ (Folgepfeil links). Außerdem kann man für wechselseitige Schlussfolgerungen ([[Äquivalenzrelation]]en) den Pfeil ⇔ setzen, und spricht „folgt wechselseitig“ oder „folgt äquivalent“:

:<code>4 mal x ist 8 ⇔ 8 durch 4 ist x</code>
:: Beide Aussagen beschreiben denselben Sachverhalt, nur anders formuliert: Sie sind austauschbar.

Folgt eine Aussage aus einer anderen nicht, verwendet man „daraus folgt nicht“ ⇏ durchgestrichen. Auch hier gibt es ⇎ „daraus folgt nicht äquivalent“ – was aber keine Aussage trifft, ob nicht die Schlussfolgerung in einer Richtung korrekt ist:
:<code>x ist durch 4 teilbar ⇎ x ist durch 2 teilbar</code>
:: mit dem ersten Beispiel, weil man aus x gerade nicht folgern kann, dass x durch 4 teilbar ist, sondern nur, dass es durch 2 teilbar ist: Die Aussagen „gerade“ und „durch 2 teilbar“ sind äquivalent.

In den verschiedenen Teilgebieten und für präzisere Aussagen gibt es zahlreiche speziellere Abwandlungen dieser Pfeilsymbolik.

== Textverarbeitung und Satz ==
Der Pfeil kann auch mit <code>=></code> ([[Gleichheitszeichen]] und [[Vergleichszeichen|Größerzeichen]]) dargestellt werden, und wird in einigen [[Editor (Software)|Editoren]] nach der Eingabe umgewandelt.

In [[Unicode]] befinden sich die mathematischen Folgepfeile im [[Unicodeblock Pfeile]] (Pfeile, 2190–21FF), und zwar an den Codepoints:

{| class="wikitable"
|-
! Bezeichnung !! Zeichen !! HEX-Code
|-
| RIGHTWARDS DOUBLE ARROW || ⇒ || <code>0x21d2</code> U+21D2
|-
| LEFTWARDS DOUBLE ARROW || ⇐ || <code>0x21d0</code> U+21D0
|-
| LEFT RIGHT DOUBLE ARROW || ⇔ || <code>0x21d4</code> U+21D4
|-
| RIGHTWARDS DOUBLE ARROW WITH STROKE || ⇏ || <code>0x21d0</code> U+21CF
|-
| LEFTWARDS DOUBLE ARROW WITH STROKE || ⇍ || <code>0x21d2</code> U+21CD
|-
| LEFT RIGHT DOUBLE ARROW WITH STROKE || ⇎ || <code>0x21d4</code> U+21CE
|}
Außerdem gibt es dieselben Pfeile nach oben und unten, was man in Flussdiagramm-artigem Satz verwenden kann (im selben Block), sowie in verlängerter Form, wenn das im Satz notwendig ist (im [[Unicodeblock Zusätzliche Pfeile-A]] 27F0–27FF)

In [[TeX]] werden sie als <code>\Leftarrow </code> und <code>\Rightarrow</code> und <code>\Leftrightarrow</code> (mit dem Großbuchstaben in ausdrücklicher Unterscheidung zum einfachen Pfeil) beziehungsweise <code>\nLeftarrow</code>, <code>\nRightarrow</code>, <code>\nLeftrightarrow</code> (mit vorangestelltem kleinen „<code>n</code>“ für [[Negation]]) gesetzt. Auch hier gibt es etliche Varianten:

{| class="toptextcells"
|-
|style="width:50%;"|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Syntax
! Ergebnis
|-
|<code>\circlearrowleft \circlearrowright</code>
|<math>\circlearrowleft \circlearrowright</math>
|-
|<code>\curvearrowleft \curvearrowright</code>
|<math>\curvearrowleft \curvearrowright</math>
|-
|<code>\downarrow \uparrow</code>
|<math>\downarrow \uparrow</math>
|-
|<code>\downdownarrows \upuparrows</code>
|<math>\downdownarrows \upuparrows</math>
|-
|<code>\Downarrow \Uparrow</code>
|<math>\Downarrow \Uparrow</math>
|-
|<code>\hookleftarrow \hookrightarrow</code>
|<math>\hookleftarrow \; \hookrightarrow</math>
|-
|<code>\leftarrow \rightarrow</code>
|<math>\leftarrow \; \rightarrow</math>
|-
|<code>\Leftarrow \Rightarrow</code>
|<math>\Leftarrow \; \Rightarrow</math>
|-
|<code>\leftarrowtail \rightarrowtail</code>
|<math>\leftarrowtail \rightarrowtail</math>
|-
|<code>\leftharpoondown \rightharpoondown</code>
|<math>\leftharpoondown \; \rightharpoondown</math>
|-
|<code>\leftharpoonup \rightharpoonup</code>
|<math>\leftharpoonup \; \rightharpoonup</math>
|-
|<code>\leftleftarrows \rightrightarrows</code>
|<math>\leftleftarrows \rightrightarrows</math>
|-
|<code>\leftrightarrow \Leftrightarrow</code>
|<math>\leftrightarrow \Leftrightarrow</math>
|-
|<code>\leftrightarrows \rightleftarrows</code>
|<math>\leftrightarrows \rightleftarrows</math>
|-
|<code>\leftrightharpoons \rightleftharpoons</code>
|<math>\leftrightharpoons \rightleftharpoons</math>
|}
|
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Syntax
! Ergebnis
|-
|<code>\leftrightsquigarrow \rightsquigarrow</code>
|<math>\leftrightsquigarrow \rightsquigarrow</math>
|-
|<code>\Lleftarrow \Rrightarrow</code>
|<math>\Lleftarrow \Rrightarrow</math>
|-
|<code>\longleftarrow \longrightarrow</code>
|<math>\longleftarrow \longrightarrow</math>
|-
|<code>\Longleftarrow \Longrightarrow</code>
|<math>\Longleftarrow \Longrightarrow</math>
|-
|<code>\longleftrightarrow</code>
|<math>\longleftrightarrow</math>
|-
|<code>\Longleftrightarrow</code>
|<math>\Longleftrightarrow</math>
|-
|<code>\longmapsto \mapsto</code>
|<math>\longmapsto \mapsto</math>
|-
|<code>\looparrowleft \looparrowright</code>
|<math>\looparrowleft \; \looparrowright</math>
|-
|<code>\Lsh \Rsh</code>
|<math>\Lsh \; \Rsh</math>
|-
|<code>\multimap</code>
|<math>\multimap</math>
|-
|<code>\nearrow \nwarrow \searrow \swarrow</code>
|<math>\nearrow \nwarrow \searrow \swarrow</math>
|-
|<code>\nLeftarrow \nRightarrow</code>
|<math>\nLeftarrow \; \nRightarrow</math>
|-
|<code>\nleftrightarrow \nLeftrightarrow</code>
|<math>\nleftrightarrow \nLeftrightarrow</math>
|-
|<code>\restriction</code>
|<math>\restriction</math>
|-
|<code>\twoheadleftarrow \twoheadrightarrow</code>
|<math>\twoheadleftarrow \; \twoheadrightarrow</math>
|-
|<code>\updownarrow \Updownarrow</code>
|<math>\updownarrow \; \Updownarrow</math>
|}
|}

== Siehe auch ==
* [[Implikation]]
* [[Pfeil (Symbol)]]
* [[Bikonditional]] (⇔)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematisches Zeichen]]
[[Kategorie:Logik]]

Folgepfeil - Versionsgeschichte

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