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2024-12-21T16:55:40Z

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Eine '''Folgentransformation''' ist in der [[Mathematik]] eine Transformation, die dazu verwendet wird, den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] einer langsam konvergenten [[Folge (Mathematik)|Folge]] oder [[Reihe (Mathematik)|Reihe]], oder den [[Antilimes]] einer [[Reihe (Mathematik)|divergenten Reihe]] numerisch zu berechnen.

Für eine gegebene [[Folge (Mathematik)|Folge]]

:<math>S=\{ s_n \}_{n\in N_0}</math>

ist die '''transformierte Folge'''

:<math>T(S)=S'=\{ s'_n \}_{n\in N_0}</math>.

Die Elemente <math>s'_n</math> der transformierten Folge werden normalerweise als Funktion einer endlichen Anzahl von Elementen der ursprünglichen Folge berechnet. Es gibt also eine Abbildung <math>F</math> der Form

:<math>F:(s_n,s_{n+1},\dots,s_{n+k}) \to s'_n</math>

mit einem endlichen <math>k</math>. Im einfachsten Fall sind die <math>s_n</math> und die <math>s'_n</math> reelle oder komplexe [[Zahl]]en. Im Allgemeinen handelt es sich um Elemente eines [[Vektorraum]]es oder einer [[algebraische Struktur|Algebra]].

Man sagt, die transformierte Folge ''konvergiert schneller'' als die ursprüngliche Folge, falls

:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{s'_n-s}{s_n-s} = 0</math>

wobei <math>s</math> der (Anti-)Limes von <math>S</math> ist. Ist die ursprüngliche Folge langsam konvergent, spricht man in diesem Fall von [[Konvergenzbeschleunigung]].

Ist die Abbildung <math>F</math> [[Linearität (Mathematik)|linear]] in jedem Argument, d. h., falls

:<math>s'_n=\sum_{m=0}^{k} c_m s_{n+m}</math> für Konstanten <math>c_0,\dots,c_k</math>

gilt, so nennt man die Folgentransformation
<math>T</math> eine ''lineare Folgentransformation'', sonst eine [[nichtlineare Folgentransformation]].

Eine Folgentransformation kann man zur [[Konvergenzbeschleunigung]] einer konvergenten [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] oder als [[Extrapolation|Summationsverfahren]] für eine [[Reihe (Mathematik)|divergente Reihe]] einsetzen:
Für eine Reihe

:<math>R=\sum_{i=0}^\infty a_i</math>

betrachtet man dazu einfach die Folge

:<math>S=\{s_n\}_{n=0}^\infty</math>

der [[Partialsumme]]n

:<math>s_n= \sum_{i=0}^n a_i</math>

und wendet auf diese eine geeignete Folgentransformation an.

Wichtige Beispiele nichtlinearer Folgentransformationen sind [[Pade-Approximation|Padé-Approximanten]] für [[Potenzreihe]]n und [[Levin-artige Folgentransformationen]].

Besonders nichtlineare Folgentransformationen ergeben oft hocheffiziente [[Extrapolation]]sverfahren.

== Literatur ==

*C. Brezinski und M. Redivo Zaglia: ''Extrapolation Methods. Theory and Practice.'' North-Holland, 1991.
*G. A. Baker, Jr. und P. Graves-Morris: ''Padé Approximants.'' Cambridge U.P. 1996.

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Transformation]]

[[es:Transformación de sucesiones]]

Folgentransformation - Versionsgeschichte

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