imported>Ulanwp: Fehlenden Sprachparameter eingefügt; 1 Datumsparameter konvertiert

2026-03-04T16:17:54Z

Fehlenden Sprachparameter eingefügt; 1 Datumsparameter konvertiert

Neue Seite

[[Datei:FokkerPlanck.gif|mini|Lösung der [[1D]] Fokker-Planck-Gleichung mit Drift- und Diffusionsterm. Die [[Anfangsbedingung]] ist eine [[Deltafunktion]] bei <math>x=1</math>, und die Verteilung driftet nach links.]]

Die '''Fokker-Planck-Gleichung''' (FPG, nach [[Adriaan Daniël Fokker]] (1887–1972) und [[Max Planck]] (1858–1947)) ist eine [[partielle Differentialgleichung]]. Sie beschreibt die [[Zeitentwicklung|zeitliche Entwicklung]] einer [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math>P(x)</math> unter der Wirkung von Drift <math>A(x,t)</math> und [[Diffusion]] <math>B(x,t)</math>. In ihrer [[eindimensional]]en Form lautet die Gleichung:

:<math>\frac{\partial}{\partial t}P(x,t) = -\frac{\partial}{\partial x}\Big[ A(x,t) \, P(x,t)\Big] + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big[ B(x,t) \, P(x,t)\Big]</math>

In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] ist diese Gleichung auch bekannt als '''Kolmogorov-Vorwärtsgleichung''' und in diesem Fall nach dem Mathematiker [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]] benannt. Sie ist eine [[Lineare Gleichung|lineare]] [[parabolische partielle Differentialgleichung]], die sich nur für einige Spezialfälle (einfache Körpergeometrie; Linearität der [[Randbedingung]]en, des Drift- und des Diffusionskoeffizienten) [[Gleichung#Analytische Lösung|analytisch exakt lösen]] lässt.

Für verschwindende Drift <math>A(x,t)=0</math> und konstante Diffusion <math>B(x,t)=B</math> geht die FPG in die [[Diffusionsgleichung|Diffusions]]- (oder auch Wärmeleitungs-) Gleichung über.

In <math>D</math> Dimensionen lautet die Fokker-Planck-Gleichung

:<math>\frac{\partial}{\partial t} P(\mathbf{x},t) = -\sum_{i=1}^{D} \frac{\partial}{\partial x_i} \Big[ A_i(x_1, \ldots, x_D) P(\mathbf{x},t) \Big] + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{D} \sum_{j=1}^{D} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \Big[ B_{ij}(x_1, \ldots, x_D) P(\mathbf{x},t) \Big]</math>

Von der '''[[Marian Smoluchowski|Smoluchowski]]-Gleichung''' spricht man, wenn <math>x</math> die Positionen der Teilchen im System beschreibt.

Für [[Markow-Kette|Markovsche Prozesse]] geht die FPG aus der [[Kramers-Moyal-Entwicklung]] hervor, die nach der zweiten Ordnung abgebrochen wird.

Von großer Bedeutung ist die äquivalente Beschreibung von Problemen durch [[Langevin-Gleichung]]en, die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik [[Stochastisches System|stochastischer Systeme]] beschreiben und – im Gegensatz zur FPG – im Allgemeinen [[Nichtlineare Gleichung|nichtlinear]] sind.

== Herleitung ==
Die FPG lässt sich aus der kontinuierlichen [[Chapman-Kolmogorow-Gleichung]], einer allgemeineren Gleichung für die Zeitentwicklung von [[Wahrscheinlichkeit]]en bei [[Markow-Prozess]]en, herleiten, falls <math>x</math> eine kontinuierliche Variable ist und die Sprünge in <math>x</math> klein sind. In diesem Fall ist eine [[Taylor-Entwicklung]] (in diesem Fall wird sie auch als [[Kramers-Moyal-Entwicklung]] bezeichnet) der Chapman-Kolmogorow-Gleichung

:<math>P(x,t)= \int{ P\left(x-\Delta x, t- \Delta t \right) \Psi \left(x-\Delta x, \Delta x \right) \mathrm d^D\! \left( \Delta x \right) }</math>
möglich und ergibt die FPG.
Dabei ist <math>\Psi\left(x-\Delta x, \Delta x \right)</math> die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand von <math>\left(x-\Delta x\right)</math> übergeht zum Zustand <math>x</math>. Man kann die Entwicklung auch direkt von der [[Mastergleichung]] starten, dann ist die Taylorentwicklung nach der Zeit nicht mehr nötig.

Unter der Annahme, dass die Übergangswahrscheinlichkeit <math>\Psi</math> bei großen Abständen <math>\Delta x</math> klein ist (eben nur kleine Sprünge stattfinden) kann man folgende Taylor-Entwicklung verwenden (unter Benutzung der [[Summenkonvention]]):
:<math> \begin{align}
P(x,t) \approx
\int P(x,t) \Psi\left(x, \Delta x \right) - \Delta t \, \Psi\left(x, \Delta x \right) \frac{ \partial P(x,t) }{ \partial t} &- \Delta x_{i} \, \frac{\partial }{\partial x_{i}} P(x,t) \Psi\left(x, \Delta x \right) \\
&+ \frac{1}{2} \Delta x_{i} \Delta x_{j} \, \frac{\partial^2}{\partial x_{i} \partial x_{j} } P(x,t) \Psi\left(x, \Delta x \right) \; \, \mathrm d^D \! \left( \Delta x \right)
\end{align}</math>
Durch Ausführen der Integration (da <math>P</math> nicht von <math>\Delta x</math> abhängt kann es aus den Integralen herausgezogen werden) erhält man dann
:<math>
\frac{ \partial P }{ \partial t } = - \frac{ \partial }{ \partial x_i } \left\langle \Delta x_i \right\rangle P +
\frac{1}{2} \frac{ \partial^2 }{ \partial x_i \partial x_j } \left\langle \Delta x_i \Delta x_j \right\rangle P </math>

mit

:<math>A_i=\left\langle \Delta x_i \right\rangle = \frac{1}{\Delta t} \int \Delta x_i \Psi \, \mathrm d^D \Delta x </math>

:<math>B_{ij}=\left\langle \Delta x_i \Delta x_j \right\rangle = \frac{1}{\Delta t} \int{\Delta x_i \Delta x_j \Psi \, \mathrm d^D \Delta x } </math>

== Stationäre Lösung ==
Die stationäre Lösung <math> P_s(x,t) </math> der eindimensionalen FPG, d. h. <math> \frac{\partial}{\partial t}P_s(x,t) = 0</math> für alle <math>t</math>, ist gegeben durch

:<math>P_s(x,t) = P_s(x) = \frac{n}{B(x)} \exp\left(2 \int_{x_0}^x \frac{A(x')}{B(x')}\mathrm dx'\right),</math>

wobei die Normierungskonstante <math>n</math> mit Hilfe der Bedingung <math>\int_{-\infty}^\infty P_s(x) \mathrm dx = 1</math> bestimmt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass das Integral für den unteren Rand <math>x_0</math> verschwindet.

Im Fall höherer Dimensionen lässt sich im Allgemeinen keine stationäre Lösung mehr finden; hier ist man auf verschiedene [[Näherungsverfahren]] angewiesen.

== Zusammenhang mit stochastischen Differentialgleichungen ==
Sei für die Funktionen <math>\mathbf{U}\colon \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}^n </math> und <math>\mathbb{V}\colon \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}^{n \times m} </math>. Dann ist die [[stochastische Differentialgleichung]] für den [[Ito-Prozess]] <math>\{\mathbf{X}_t\}_{t \in \mathbb{R}_{+}}</math> (in der [[Stochastische Integration|Ito-Interpretation]]) gegeben durch

:<math> \mathrm d\mathbf{X_t} = \mathbf{U}(\mathbf{X_t},t) \mathrm dt + \mathbb{V}(\mathbf{X_t},t) \mathrm d\mathbf{W_t} </math>,

wobei <math>(\mathbf{W_t})</math> einen <math>m</math>-dimensionalen [[Wiener-Prozess]] ([[Brownsche Bewegung]]) bezeichnet. Dann erfüllt die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math>P(\mathbf{X_t}=\mathbf{x},t)=:P(\mathbf{x},t)</math> der Zufallsvariablen <math>\mathbf{X}_t</math> eine FPG, bei der Drift- bzw. Diffusionskoeffizienten gegeben sind durch <math>\mathbf{A} = \mathbf{U} </math> und <math> \mathbb{B} = (B_{ij}) = \mathbb{V} \mathbb{V}^T</math>.

== Fokker-Planck-Gleichung und Pfadintegral ==
Jede Fokker-Planck-Gleichung ist äquivalent zu einem [[Pfadintegral]]. Dies folgt z. B. daraus, dass die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung für <math>D</math> Variablen <math>\mathbf{q}=\{q_i\}</math>

:<math>\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}P(\mathbf{q},t) &= F\left(\frac{\partial}{\partial\mathbf{q}},\mathbf{q},t\right)P(\mathbf{q},t), \\
F\left(\frac{\partial}{\partial\mathbf{q}},\mathbf{q},t\right) &= -\sum_{i=1}^{D}\frac{\partial}{\partial q_{i}}A_{i}(\mathbf{q})+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{D}\sum_{j=1}^{D}\frac{\partial^{2}}{\partial q_{i}\,\partial q_{j}}B_{ij}(\mathbf{q}),
\end{align}</math>

dieselbe Struktur wie die [[Schrödingergleichung]] hat. Der Fokker-Planck-Operator <math>F</math> entspricht dem [[Hamiltonoperator|Hamilton-Operator]], die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <math>P</math> entspricht der [[Wellenfunktion]]. Das zur Fokker-Planck-Gleichung äquivalente Pfadintegral lautet entsprechend (siehe [[Pfadintegral#Quantenmechanik von Punktteilchen|Pfadintegral]])
:<math>
Z=N\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{D}\mathbf{q}\int_{-i\infty}^{i\infty}\mathcal{D}\mathbf{\tilde{q}}e^{\int L\mathrm dt},
\;\; L=F\left(-\mathbf{\tilde{q}},\mathbf{q},t\right)-\mathbf{\tilde{q}}\cdot\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{q},
</math>

wobei <math>N</math> ein konstanter Normierungsfaktor ist. Pfadintegrale dieser Art sind in der kritischen Dynamik Ausgangspunkt für Störungsrechnung und [[Renormierungsgruppe]].<ref name="Janssen1976">{{cite journal |first=H. K. |last=Janssen |date=1976 |title=Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties |journal=Z. Phys. B |volume=23 |pages=377 |language=en}}</ref> Die Variablen <math>\mathbf{q}</math> stehen dabei z. B. für die Fourierkomponenten des Ordnungsparameters. Die Variablen <math>\mathbf{\tilde{q}}</math> heißen Responsevariablen<ref name="Janssen1976" />. Die [[Lagrangian|Lagrange-Funktion]] <math>L</math> enthält die Responsevariablen nur in quadratischer Form. Im Unterschied zur Quantenmechanik ist es hier jedoch nicht zweckmäßig, die <math>\mathbf{\tilde{q}}</math>-Integrationen auszuführen.

== Fokker-Planck-Gleichung in der Plasmaphysik ==
Die Fokker-Planck-Gleichung ist in der [[Plasmaphysik]] vor allem deshalb von Bedeutung, da der [[Stoß (Physik)|Stoß]]<nowiki/>term der [[Boltzmann-Gleichung]] für [[Plasma (Physik)|Plasmen]] als Fokker-Planck-Term geschrieben werden kann. Der Grund hierfür ist, dass die Bewegung der Teilchen im Plasma von den vielen Stößen mit weit entfernten Partnern dominiert wird, welche nur kleine Änderungen der Geschwindigkeit bewirken (Drift, Diffusion); starke Stöße mit nahen Teilchen sind dagegen vergleichsweise selten und deshalb oft vernachlässigbar.

Die Gleichung wird auch als '''Landau-Gleichung''' bezeichnet, da sie erstmals von [[Lew Dawidowitsch Landau]] aufgestellt wurde, allerdings nicht in ihrer Fokker-Planck-Form, die im Folgenden beschrieben wird.

In der Landau-Gleichung gibt die [[Einteilchenproblem|Einteilchen]]-[[Verteilungsdichte]] im Geschwindigkeitsraum für Teilchen vom Typ <math>\alpha</math>, <math> f_{\alpha}(\vec{v}, t)</math> an, wie viele Teilchen es bei einer bestimmten Geschwindigkeit <math>v</math> gibt. In einem Plasma, auf das keine äußeren Kräfte wirken, kann die Änderung der Verteilungsdichte durch Kollisionen mit Teilchen vom Typ <math>\beta</math> näherungsweise beschrieben werden durch die Gleichung:

: <math>\frac{ \partial f_{\alpha} }{ \partial t } = - \frac{ \partial }{ \partial v_i } \left\langle \Delta v_i \right\rangle^{\alpha \beta} f_{\alpha} +
\frac{1}{2} \frac{ \partial^2 }{ \partial v_i \partial v_j } \left\langle \Delta v_i \Delta v_j \right\rangle^{\alpha \beta} f_{\alpha} </math>

mit

::<math>
\left\langle \Delta v_i \right\rangle^{\alpha \beta} = \left(1+\frac{m_{\alpha}}{m_{\beta}} \right) \Lambda_c \left( \frac{4 \pi q_{\alpha} q_{\beta}}{m_{\alpha}} \right)^2 \frac{\partial}{\partial v_i} \left( \frac{1}{4 \pi} \int \frac{f_{\beta}(v')}{ \left| v-v' \right|} \mathrm dv' \right)
</math>

und

::<math>
\left\langle \Delta v_i \Delta v_j \right\rangle^{\alpha \beta} = \Lambda_c \left( \frac{4 \pi q_{\alpha} q_{\beta}}{m_{\alpha}} \right)^2 \frac{\partial^2}{\partial v_i \partial v_j} \left( \frac{1}{4 \pi} \int f_{\beta}(v') \left| v-v' \right| \mathrm dv' \right)
</math>

Dabei ist

* <math>\Lambda_c</math> der [[Coulomb-Logarithmus]]: Je größer sein Wert, umso stärker die Dominanz vieler leichter Kollisionen, und umso besser die Gültigkeit der Landau-Fokker-Planck-Gleichung
* <math>q_{\alpha}</math> und <math>q_{\beta}</math> die [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladungen]] der Teilchensorten
* <math>m</math> ihre Masse.

Da die Teilchen im Plasma auch mit Teilchen der gleichen Spezies kollidieren, ist die Gleichung normalerweise nichtlinear.

Diese Gleichung [[Erhaltungssatz|erhält]] die [[Teilchenzahl]], den [[Impuls]] und die [[Energie]]. Außerdem erfüllt sie das [[H-Theorem]], d. h. Stöße führen zu einer [[Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung]].

== Siehe auch ==
* [[Konvektions-Diffusions-Gleichung]]

== Weblinks ==
* [https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/~lemm/econoWS99/options2/node1.html Übersicht stochastischer Prozesse]
* [https://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/~kree/master/part1.pdf Skript: Stochastische Beschreibung physikalischer Systeme Prof. Kree (pdf; 442 kB)]

== Literatur ==
* Crispin Gardiner: ''Stochastic Methods. A Handbook for the natural and social Sciences.'' 4. edition. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-70712-7 (''Springer series in synergetics'' = ''Springer complexity'').
* Hartmut Haug: ''Statistische Physik. Gleichgewichtstheorie und Kinetik.'' 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-25629-6 (''Springer-Lehrbuch'').
* Linda E. Reichl: ''A Modern Course in Statistical Physics.'' University of Texas Press. 1980, ISBN 0-7131-3517-4
* Hannes Risken: ''The Fokker-Planck Equation. Methods of Solutions and Applications.'' 2. edition., 3. printing, study edition. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61530-X, (''Springer Series in Synergetics'' 18).
* Arthur G. Peeters, Dafni Strintzi: The Fokker-Planck equation, and its application in plasma physics. Ann. Phys. 17, No 2-3, 124 (2008). [[doi:10.1002/andp.200710279]].
* K.-H. Spatschek: ''Theoretische Plasmaphysik. Eine Einführung.'' Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-03041-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Max Planck als Namensgeber]]

Fokker-Planck-Gleichung - Versionsgeschichte

imported>Ulanwp: Fehlenden Sprachparameter eingefügt; 1 Datumsparameter konvertiert