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2016-08-31T11:11:44Z

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Der '''Fockraum''' (nach dem russischen Physiker [[Wladimir Alexandrowitsch Fock]]) dient in der [[Quantenphysik]], insbesondere in der [[Quantenfeldtheorie]], zur mathematischen Beschreibung von [[Vielteilchentheorie|Vielteilchensystemen]] mit variabler [[Teilchenanzahl]]. Je nachdem, ob es sich bei den Teilchen um [[Boson]]en oder um [[Fermion]]en handelt, spricht man vom '''bosonischen''' oder vom '''fermionischen Fockraum'''. Seiner Struktur nach ist der Fock-Raum ein [[Quantenmechanik|quantenmechanischer]] [[Hilbertraum]].

Die Basis[[Zustand (Quantenmechanik)|zustände]] (eines Fock-Raumes) mit fester Teilchenzahl (also Elemente von bzw. [[Dichteoperator]]en über ihm, jeweils vom Betrag 1, oder auch die [[Eigenzustand|Eigenzustände]] des [[Teilchenzahloperator]]s) heißen [[Fock-Zustand|Fock-Zustände]].
Man spricht in diesem Zusammenhang auch von [[Zweite Quantisierung|Zweiter Quantisierung]] oder Besetzungszahldarstellung.

Mathematisch gesehen ist
* der bosonische Fock-Raum <math>\mathcal{F}_+(\mathcal{H})</math> die symmetrische [[Tensoralgebra]] über einem Ein-Teilchen-Hilbertraum <math>\mathcal{H},</math> genauer gesagt deren [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] bezüglich des [[Skalarprodukt]]s
* der fermionische Fockraum <math>\mathcal{F}_-(\mathcal{H})</math> die [[Graßmann-Algebra]] über dem Ein-Teilchen-Hilbertraum, genauer gesagt deren Vervollständigung.

Das geeignet normierte symmetrisierte [[Tensorprodukt]] (im bosonischen Fall) bzw. das [[Keilprodukt]] (im fermionischen Fall)
induzieren [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]]

:<math>a^*:\mathcal H\times \mathcal F_\pm(\mathcal{H})\to \mathcal F_\pm(\mathcal{H}),\quad (\psi,\Phi)\mapsto a_\psi^*\Phi.</math>

mit <math>\psi \in \mathcal{H}, \Phi \in \mathcal F_\pm(\mathcal{H}).</math>

Die Abbildungen

:<math>a_\psi^*: \qquad \mathcal F_\pm(\mathcal{H}) \to \mathcal F_\pm(\mathcal{H})</math>

werden '''Erzeugungsoperatoren''' genannt,

die [[Adjungierter Operator|adjungierten Operatoren]] dazu

:<math>a_\psi: \qquad \mathcal F_\pm(\mathcal{H}) \to \mathcal F_\pm(\mathcal{H})</math>

heißen '''Vernichtungsoperatoren'''.

Für sie gelten die [[Kanonische Vertauschungsrelationen|kanonischen (Anti-)Vertauschungsrelationen]]

:<math>a_\psi a_\phi\mp a_\phi a_\psi=0</math>
:<math>a_\psi^* a_\phi^*\mp a_\phi^* a_\psi^*=0</math>
:<math>a_\psi a^*_\phi\mp a^*_\phi a_\psi=\langle \psi,\phi\rangle_{\mathcal{H}}\operatorname{id}_{\mathcal{F}_{\pm}(\mathcal{H})},</math>

wobei das obere Vorzeichen ([[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]) im bosonischen Fall und das untere Vorzeichen (Antikommutator) im fermionischen Fall gilt.

== Literatur ==
*Kehe Zhu: ''Analysis on Fock spaces.'' Graduate Texts in Mathematics, 263. Springer, New York, 2012. ISBN 978-1-4419-8800-3
* {{Literatur|Autor=Ola Bratteli, Derek W. Robinson|Titel=Operator algebras and quantum statistical mechanics|Band=2. Equilibrium states, Models in quantum statistical mechanics"|Jahr=1981|Ort=Berlin/Heidelberg|Verlag=Springer|ISBN=3-540-10381-3|Sprache=en|Umfang=505}}
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Fockraum - Versionsgeschichte

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