imported>Saehrimnir: /* Fluxon in der Magnetohydrodynamik */ BKL Fix

2026-01-31T08:48:25Z

Fluxon in der Magnetohydrodynamik: BKL Fix

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{{Infobox Physikalische Konstante
| Name = Magnetisches Flussquant
| Formelzeichen = <math>\Phi_0</math>
| Art = [[Magnetischer Fluss]]
| WertSI = {{ZahlExp|2,067833848|-15|suffix=…|post=Wb}}
| Genauigkeit = (exakt)
| WertPlanck =
| Formel = <math>\Phi_0 = \frac{h}{2 e} = \frac{1}{K_\mathrm J}</math> ''K''J = [[Josephson-Konstante]]
| Anmerkung = Als „magnetisches Flussquant“ wird manchmal auch die doppelt so große Konstante ''h/e'' bezeichnet.<ref name="VKK" />
}}

Als '''Flussquantisierung''' bezeichnet man den Effekt, dass der [[Magnetischer Fluss|magnetische Fluss]] durch einen Ring aus [[Supraleiter|supraleitendem]] Material nur ganzzahlige Vielfache des '''Flussquants''' betragen kann.<ref name="kittel">Ch. Kittel: ''Einführung in die Festkörperphysik''. Oldenbourg, ISBN 978-3-486-57723-5, S. 306. Zitat: „Wir zeigen nun, dass der gesamte magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring nur quantisierte Werte annehmen kann, und zwar nur ganzzahlige Vielfache des Flussquants“.</ref> Die Flussquantisierung ist eine Folge des [[Meißner-Ochsenfeld-Effekt]]es.
Statt '''Flussquant''' sind auch die Bezeichnungen '''Fluxon''' und '''Fluxoid''' gebräuchlich.

Der Begriff '''Fluxon''' wird auch in der Diskretisierung der [[Magnetohydrodynamik]] mittels [[Finite-Elemente-Methode]] verwendet.

== Entdeckung und Nachweis ==
[[Datei:Detection of flux quantization (test setup).svg|mini|Versuchsaufbau von Doll und Näbauer: Ein auf einen Quarzstab (A) aufgedampfter Hohlzylinder aus Blei (B) hängt an einem Quarzfaden (D) und wird von einem externen Messfeld <math>H_x</math> zu Torsionsschwingungen angeregt. Die Resonanz des Stabes in Abhängigkeit vom eingefrorenen Feld <math>H_y</math> wird über einen Spiegel (C) mit einem Lichtzeiger vermessen.]]

Bereits 1957 wurde in der [[BCS-Theorie]] die Existenz von [[Cooper-Paar]]en vorausgesagt: Der experimentelle Beweis der Flussquantisierung wurde jedoch erst 1961 erbracht. An der [[Walther-Meißner-Institut für Tieftemperaturforschung|Kommission für Tieftemperaturforschung]] der [[Bayerische Akademie der Wissenschaften|Bayerischen Akademie der Wissenschaften]] beschäftigten sich [[Robert Doll]]<ref name="Doll" /> und [[Martin Näbauer (Physiker)|Martin Näbauer]] mit der Flussquantisierung,<ref name="Näbauer" /> an der [[Stanford University]] [[Bascom Deaver]] und [[William Fairbank Sr.]]<ref name="Deaver" /> Beide Gruppen kühlten Hohlzylinder aus [[Blei]]- bzw. [[Zinn]] mit Durchmessern im Bereich von 10 μm unter die [[Sprungtemperatur]] ab. Die Gruppe um Doll und Näbauer vermaß über eine Resonanzmethode das zum magnetischen Fluss und äußeren Feld proportionale Drehmoment des an einem Quarzfaden befestigten Hohlzylinders. Ihr Aufbau ist in der Abbildung rechts zu sehen.

Die Gruppe an der Stanford University versetzte den Zylinder in Schwingung und vermaß das Feld mit Pickup-Spulen. Die Ergebnisse beider Gruppen zeigten diskrete Werte für den eingefangenen Fluss.<ref>{{Literatur | Autor=Rudolf Gross, Achim Marx | Titel=Festkörperphysik | Verlag=De Gruyter | Ort=Berlin/Boston | Jahr=2014 | ISBN=9783110358698 | Auflage=2 | Seiten=785ff.}}</ref>

== Flussquant im Supraleiter ==
Die Quantisierung des magnetischen Flusses kann man durch die [[Quantenmechanik|quantenmechanische]] Betrachtung des im Supraleiter ''verteilten'' Stromflusses feststellen:
:<math>\Phi_n = n\,\frac{h}{2\,e}\;</math> mit <math>n \in \mathbb{N}\,</math>,
wobei ''h'' die [[Planck-Konstante]] und ''e'' die [[Elementarladung]] ist. Der magnetische Fluss ist also immer ein ganzzahliges Vielfaches des Flussquants
: <math>\Phi_0 = \frac{h}{2\,e} = 2{,}067\,833\,848\dotso\,\cdot 10^{-15}\,\mathrm{Wb}\,,</math>
wobei Wb für die Einheit [[Weber (Einheit)|Weber]] steht. Da für die [[Internationales Einheitensystem#Neudefinition2019|Definition des Internationalen Einheitensystems (SI)]] die Konstanten ''h'' und ''e'' exakt festgelegt wurden,<ref name="CGPM-26-1" /> hat auch Φ0 einen exakten Wert.<ref name="NIST" />

Der Faktor <math>2\,e</math> im Nenner der Formel bezeichnet eine doppelte Elektronenladung. Dies ist in Übereinstimmung mit dem [[BCS-Theorie|BCS]]-Modell, welches Elektronenpaare ([[Cooper-Paare]]) als Ursache der [[Supraleitung]] ansieht.<ref name="VKK" />

Die Verteilung des Betrags des magnetischen Feldes <math>\vec{B}</math> eines einzelnen [[Flussschlauch]]s im Raum wird durch die Gleichung
:<math>B(r) = \frac{\Phi_0}{2\,\pi\,\lambda^2}\,K_0\left(\frac{r}{\lambda}\right)
\approx\sqrt{\frac{\lambda}{r}}\,\mathrm e^{-\frac{r}{\lambda}}</math>
beschrieben, wobei das Feld in Richtung der Achse des Flussschlauchs zeigt und <math>K_0(z)</math> die [[Bessel-Funktion#Modifizierte Bessel-Funktionen: Iν, Kν|modifizierte Bessel-Funktion]] ist.

=== Abrikossow-Turbulenz ===
Ein Flussquant im Sinne der '''[[Alexei Alexejewitsch Abrikossow|Abrikossow]]-Turbulenz''' ist ein [[Whisker (Kristallographie)|nadelförmiger Einkristall]] (Kern) in einem [[Supraleiter#Supraleiter 2. Art|Supraleiter 2. Art]], der von Supraströmen umgeben ist.

Das [[Magnetisches Feld|magnetische Feld]] durch solch einen Einkristall und dessen Nachbarschaft hat eine Größenordnung von etwa <math>\lambda_L \approx 100\,\mathrm{nm}</math> und ist durch die Phaseneigenschaften des [[Magnetisches Vektorpotential|magnetischen Vektorpotentials]] in der [[Quantenelektrodynamik]] quantisiert.

=== Josephson-Turbulenz ===
Die '''Josephson-Turbulenz''' ist das Gegenstück zur Abrikossow-Turbulenz in kreisenden Supraströmen ohne physikalischen Kern in einem Supraleiter 2. Art. Der Kern ist in diesem Fall der mathematische Mittelpunkt des Kreises.

Das Inverse des Flussquants ist hierbei die '''Josephson-Konstante''':<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=pMnxuA2ljwc CGPM 2018, Video der open session, 0:24:00.] Abgerufen am 30. Dezember 2018</ref>
:<math>K_J = \frac{1}{\Phi_0} = \frac{2\,e}{h} = 4{,}835\;978\;484\;4... \cdot 10^{14}\,\frac{\mathrm{Hz}}{\mathrm{V}}</math>.
Ihr Wert ist ebenfalls exakt.<ref>{{internetquelle | url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kjos | hrsg=National Institute of Standards and Technology | titel=Fundamental Physical Values | zugriff=2019-07-08}} Wert für das Quantum der Josephson-Konstante.</ref>

== Herleitung der Flussquantisierung ==
Der supraleitende Zustand ist ein quantenmechanischer Zustand, der sich über makroskopische Längenskalen erstreckt. Er kann daher durch eine [[Makroskopischer Quantenzustand|makroskopische Wellenfunktion]] beschrieben werden:
: <math>\psi(\vec{r})=\psi_0\,\mathrm e^{\mathrm{i}\,S(\vec{r})}</math>

Dabei wird (in quasiklassischer, also makroskopischer Näherung) davon ausgegangen, dass <math>\psi</math> eine konstante Amplitude <math>\psi_0</math> hat und nur die Phase ''S'' ortsabhängig ist. Für diese Wellenfunktion gilt die [[London-Gleichung]]
: <math>\vec\jmath = \frac{n\,q\,\hbar}{m} \operatorname{grad} S-\frac{n\,q^2}{m}\vec{A}.</math>

Infolge des [[Meißner-Ochsenfeld-Effekt]]s verschwindet die [[magnetische Induktion]] <math>\vec{B}</math> im Inneren eines Supraleiters. Für den statischen Fall gilt <math>\operatorname{rot} \vec{B}= \mu \vec\jmath</math> (eine der [[Maxwellgleichung]]en), womit auch <math>\vec\jmath = 0</math> für das Innere des Supraleiters folgt. Es gilt demzufolge
: <math>\frac{n\,q\,\hbar}{m} \operatorname{grad} S = \frac{n\,q^2}{m}\vec{A}.</math>

Fasst man die Konstanten zusammen und integriert beide Seiten entlang eines geschlossenen Weges C durch das Innere des Supraleiters, so erhält man

:<math>\oint_C \operatorname{grad} S \cdot\text{d}\vec{l} = \frac{q}{\hbar} \oint_C \vec{A} \cdot\text{d}\vec{l}.</math>

Die linke Seite beschreibt die Änderung der Phase <math>S</math> beim Durchlaufen des geschlossenen Weges <math>C</math>. Da die Wellenfunktion eindeutig ist, kann die Phasenänderung nur ganzzahlige Vielfache von 2 <math>\pi</math> betragen. Es gilt also
: <math>\oint_C \operatorname{grad} S \cdot\text{d}\vec{l} = 2\pi s, \quad s\in \mathbb{Z}.</math>

Nach dem [[Satz von Stokes]] gilt
: <math>\oint_C \vec{A} \cdot\text{d}\vec{l} = \iint_F \text{rot}\, \vec{A} \cdot \text{d} \vec F = \iint_F \vec{B} \cdot\text{d} \vec F = \Phi,</math>

wobei <math>F</math> eine durch <math>C</math> begrenzte Fläche ist und <math>\Phi</math> der magnetische Fluss durch diese Fläche. <math>\mathrm d\vec F</math> ist der Vektor mit dem Betrag <math>\mathrm dF</math> und der Richtung der äußeren [[Normalenvektor|Normale]] <math>\vec n</math> auf dem jeweils betrachteten Flächenelement. Es ergibt sich insgesamt
: <math>\Phi = \frac{h}{q}s.</math>

Der Fluss durch einen supraleitenden Ring ist also quantisiert. Experimentell ergibt sich <math>q = -2e</math>, was darauf hindeutet, dass die Elektronen Paare, die sogenannten [[Cooper-Paar]]e, bilden.<ref>Rechnung nach Ch. Kittel: ''Einführung in die Festkörperphysik''. Oldenbourg, ISBN 978-3-486-57723-5, S. 299–300, 306-308.</ref>

== Fluxon in der Magnetohydrodynamik ==
In der [[Magnetohydrodynamik]] (MHD) bezeichnet man mit Fluxon eine diskretisierte magnetische [[Feldlinie]] endlichen Betrags in einem [[Finite-Elemente-Methode|Finite-Elemente-Modell]]. Hierbei wird versucht die [[Topologische Quantenfeldtheorie|Topologie]] des untersuchten Sachverhalts unter der Berücksichtigung begrenzter Rechenkapazitäten möglichst zu erhalten.

== Siehe auch ==
* [[Magnetisches Flussquant]]
* [[Fluxtronik]]
* [[Flussschlauch]]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="CGPM-26-1">
{{Internetquelle
|url=https://www.bipm.org/en/committees/cg/cgpm/26-2018/resolution-1
|titel=Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI)
|titelerg=
|werk=
|hrsg=[[Internationales Büro für Maß und Gewicht|Bureau International des Poids et Mesures]]
|datum=2018
|sprache=en
|abruf=2021-04-12
}}
</ref>
<ref name="Deaver">{{cite journal|doi=10.1103/PhysRevLett.7.43|title=Experimental Evidence for Quantized Flux in Superconducting Cylinders|journal=Physical Review Letters|language=en}}, Band 7, 1961, S. 43
</ref>
<ref name="Doll">
[https://www.badw.de/fileadmin/pub/akademieAktuell/2008/24/14_Einzel.pdf Biogramm]
</ref>
<ref name="Näbauer">
{{cite journal|doi=10.1103/PhysRevLett.7.51|title=Experimental Proof of Magnetic Flux Quantization in a Superconducting Ring|journal=Physical Review Letters|language=en}}, Phys. Rev. Lett., Band 7, 1961, S. 51
</ref>
<ref name="NIST">
{{internetquelle | url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?flxquhs2e | hrsg=National Institute of Standards and Technology | titel=Fundamental Physical Values | zugriff=2019-07-08}} Wert für das Quant des magnetischen Flusses.
</ref>
<ref name="VKK">
Im Zusammenhang mit dem [[Quanten-Hall-Effekt]] tritt als elementarer Fluss eine ähnlich gebildete Größe ΦJ := h/e (=2Φ0) auf, die direkt mit der Elementarladung ''e'' des Elektrons gebildet wird.
</ref>
</references>

[[Kategorie:Supraleitung]]

Flussquantisierung - Versionsgeschichte

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