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2026-03-14T09:33:06Z

Typografie, Kleinigkeiten.

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Das Konzept eines '''(Phasen-)Flusses''' in der Mathematik ermöglicht die Beschreibung zeitabhängiger (System-)Zustände. Es ist deshalb vor allem für die Analyse gewöhnlicher [[Differentialgleichung]]en von Bedeutung und findet damit Anwendung in vielen Bereichen der [[Mathematik]] und [[Physik]]. Formal ist der Fluss eine Operation einer Parameterhalbgruppe <math>(\Gamma,+)</math> auf einer Menge <math>X</math>. Meist, insbesondere in der Theorie der [[Gewöhnliche Differentialgleichung|Gewöhnlichen Differentialgleichungen]], wird unter einem Fluss eine Operation des [[Monoid]]s <math>(\R_{\ge0},+)</math> verstanden.

Der Begriff ist nicht mit dem Begriff Fluss in der Netzwerktheorie, [[Graphentheorie]] und Informatik zu verwechseln (siehe [[Flüsse und Schnitte in Netzwerken]]).
== Definition ==
Sei <math>X</math> eine Menge, <math>\Gamma</math> eine Parametermenge. Eine Abbildung
:<math>\varphi \colon X\times\Gamma\to X</math>
heißt ''Fluss'', wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
:<math>\varphi(x,0)=x\ \forall\ x\in X</math>
und
:<math>\varphi(\varphi(x,s),t)=\varphi(x,s+t)\ \forall\ x\in X,\ s,t\in\Gamma</math>

Wir haben also eine [[Halbgruppe]]nwirkung.

Die Menge
:<math>\mathcal{O}(x,\varphi):=\left\{\varphi(x,t)|t\in\Gamma\right\}</math>
heißt [[Gruppenoperation#Bahn|Orbit]] von <math>x</math>.

Falls die Abbildung <math>\varphi \colon X\times\Gamma\to X</math> differenzierbar ist, spricht man auch von einem ''differenzierbaren Fluss''.

Man kann auch Flüsse betrachten, die zu einem anderen Zeitpunkt <math>s</math> starten, das heißt mit Initialbedingung
:<math>\varphi(x,s)=x\ \forall\ x\in X.</math>
Diese notiert man häufig mit <math>\varphi_{s,t}(x)</math> oder <math>\varphi_{s}(x,t)</math>.

== Lokaler Fluss ==
Für <math>\R</math> als Parametermenge ist allgemeiner ein '''lokaler Fluss''' <math>\varphi \colon U\to X</math> für eine offene Teilmenge <math>U=\bigcup\nolimits_{x\in X}\{x\}\times I_x\subseteq X\times\R</math> mit offenen Intervallen <math>0\in I_x\subseteq\R</math> definiert, falls die Bedingungen
:<math>\varphi(x,0)=x\ \forall\ x\in X</math>
und
:<math>\varphi(\varphi(x,s),t)=\varphi(x,s+t)\ \forall\ x\in X,\ s,s+t\in I_x,\ t\in I_{\varphi(x,s)}</math>
erfüllt ist.<ref>{{BibISBN|3540064613|Seite=80|Kommentar=§ 8. Dynamische Systeme}}</ref> Ein lokaler Fluss mit <math>U=X\times\R</math> ist ein (globaler) Fluss mit <math>\Gamma=\R</math>.

== Diskussion ==
Im Hinblick auf die Analyse [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] beschreibt der Fluss die Bewegung im [[Phasenraum]] im Laufe der Zeit. Hierbei spricht man in Abhängigkeit von der Parametermenge <math>\Gamma</math> von einem kontinuierlichen dynamischen System (<math>\Gamma=\mathbb{R}</math>) oder einem [[Diskretes System|diskreten dynamischen System]] (<math>\Gamma=\mathbb{N}</math>).

Betrachten wir ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen
:<math>\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(t,\mathbf{x})</math>
mit <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n</math> oder einer offenen Teilmenge davon, so werden durch den Phasenfluss die Lösungen dieses Systems in Abhängigkeit vom [[Anfangsbedingung|Anfangszustand]] angegeben. Man wählt dann oft auch eine implizite Form der Flussangabe und schreibt
:<math>\mathbf{x}(t)\text{ bzw. }\mathbf{x}(0)</math>.

== Beispiel ==
{{Hauptartikel|Fluss eines Vektorfeldes}}
Beispielsweise kann man jedem [[Vektorfeld]] einen [[Fluss eines Vektorfeldes|Fluss]] zuordnen. Dieser ist durch die [[maximale Integralkurve]] des Vektorfeldes gegeben. Tatsächlich ist jeder Fluss auf einer [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbaren Mannigfaltigkeit]] der Fluss eines Vektorfeldes, welches man durch <Math>F(x)=\frac{d}{dt}\vert_{t=0}\Phi(t,x)</Math> erhält.

Der [[Ricci-Fluss]] spielt eine zentrale Rolle in der inzwischen bewiesenen [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten|Thurston’schen Geometrisierungsvermutung]], welche eine Verallgemeinerung der [[Poincaré-Vermutung|Poincaré'schen Vermutung]] ist.

== Verallgemeinerungen ==
Der [[Stochastischer Fluss|stochastische Fluss]] ist eine probabilistische Verallgemeinerung des Flusses.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Manfred Denker: ''Einführung in die Analysis dynamischer Systeme''. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-20713-9
* Werner Krabs: ''Dynamische Systeme: Steuerbarkeit und chaotisches Verhalten''. B. G. Teubner, Leipzig 1998, ISBN 3-519-02638-4.

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Fluss (Mathematik) - Versionsgeschichte

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