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2026-03-04T14:14:34Z

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{{Dieser Artikel| beschreibt das Verhalten der mittleren Arbeit in Bezug auf die Freie Energie. Das Fluktuationstheorem sollte nicht mit dem sogenannten [[Fluktuations-Dissipations-Theorem]] verwechselt werden: Letzteres ist zwar selbst für große Ensembles nützlich, in verschiedener Hinsicht etwas allgemeiner und ebenfalls rigoros, aber nur bei linearem Antwortverhalten gültig.}}

Beim '''Fluktuationstheorem''' handelt es sich um ein [[Theorem]] aus der [[Statistische Physik|statistischen Physik]], und zwar um eine der wenigen heutzutage bekannten exakten Relationen, die für beliebig weit aus dem [[Thermodynamisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] getriebene Systeme gültig sind. Das Fluktuationstheorem setzt für solch ein System die Wahrscheinlichkeit von [[Entropieproduktion|entropieerzeugenden]] zu entropievernichtenden [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] in Beziehung. Dies ist insbesondere von Bedeutung für mikroskopisch kleine Systeme.

In makroskopischen Systemen hingegen entsprechen typischen Trajektorien große Entropieänderungen, und das Theorem liefert eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit für entropievernichtende Trajektorien (in Übereinstimmung mit dem [[2. Hauptsatz der Thermodynamik]]).

== Nicht-Gleichgewichtssysteme ==
[[Datei:Workdistribution.png|mini|300px|Arbeitsverteilung von 1000 Trajektorien]]
Gegenstand des Fluktuationstheorems sind Systeme in Kontakt mit einem [[Wärmebad]], die durch Ändern von Parametern den Gleichgewichtszustand verlassen. Die Parameter ändern sich dabei bei jeder Wiederholung des Experiments in gleicher Weise, und von Interesse ist dabei u. a. die zu leistende Arbeit <math>W</math>.

Ein ''Beispiel'' ist ein mikrometergroßes Kügelchen, das von einem Kraftfeld <math>F\left(\textbf{x}\right)</math> durch eine Flüssigkeit gezogen wird. Das Kraftfeld wird zu einem gegebenen Zeitpunkt eingeschaltet und wirkt über ein Zeitintervall gegebener Dauer, d. h. der Parameter ist hier die Stärke des Kraftfeldes. Die zu leistende Arbeit ergibt sich als Integral der Kraft entlang der Trajektorie. Wiederholt man das Experiment, so ergeben sich aufgrund thermischer Fluktuationen mehr oder weniger unterschiedliche Werte – es resultiert eine Verteilung von Arbeitswerten.
Die Abbildung rechts zeigt eine solche Verteilung für 1000 Trajektorien.
Neben vielen entropieerzeugenden Trajektorien (also solchen, bei denen Reibungsarbeit aufzuwenden ist) gibt es auch einige entropievernichtende Trajektorien. Diese kommen durch Fluktuationen des umgebenden Mediums zustande. Für das Beispiel bedeutet das, dass die [[Brownsche Molekularbewegung]] das Kügelchen zufällig in Ziehrichtung stößt. Solche entropievernichtenden Trajektorien wurden in der Literatur teilweise als „den 2. Hauptsatz verletzend“ bezeichnet. Dies ist falsch, da der 2. Hauptsatz nur für Mittelwerte gilt.

== Fluktuationstheorem von Crooks ==
Das [[Crooks-Fluktuationstheorem|Fluktuationstheorem von Crooks]]<ref name="Cro99">{{cite journal |author=Gavin E. Crooks |date=1999 |title=Entropy production fluctuation theorem and the nonequilibrium work relation for free energy differences |journal=[[Physical Review E]] |volume=60 |pages=2721–2726 |doi=10.1103/PhysRevE.60.2721 |language=en}}</ref> verknüpft die Wahrscheinlichkeit <math>P_F(W)</math> externer Arbeit <math>W</math> in einem Prozess mit der Wahrscheinlichkeit <math>P_R(-W)</math> externer Arbeit <math>-W</math> im zeitumgekehrten Prozess (mit vertauschtem Start- und Endpunkt). Es muss jeweils im Gleichgewicht gestartet werden, während der Endpunkt beliebig weit im Nichtgleichgewicht liegen kann. Das Crooks-Fluktuationstheorem lautet
:<math> \frac{P_F(W)}{P_R(-W)}=e^{\beta W_\text{diss}} = e^{\Delta S/k_\text{B}},</math>
wobei <math>W_\text{diss}=W- \Delta F</math> die dissipative Arbeit ist, also der Teil der Gesamtarbeit, die während des Änderns der Parameter in Wärme umgewandelt wird. Das Symbol <math>\beta</math> steht für <math>\beta=1/(k_\text{B} T)</math>, mit der [[Temperatur]] <math>T</math> und der [[Boltzmannkonstante]] <math>k_\text{B}</math>.

Die zweite Gleichung ist Folge der Proportionalität von dissipativer Arbeit und [[Entropieproduktion]] <math>\Delta S=W_\text{diss}/{T}</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=E. M. Sevick, R. Prabhakar, S. R. Williams, D. J. Searles |Titel=Fluctuation Theorems |Sammelwerk=Annual Review of Physical Chemistry |Band=59 |Datum=2008 |Sprache=en |Seiten=603-633 |arXiv=0709.3888 |DOI=10.1146/annurev.physchem.58.032806.104555}}
* {{Literatur |Autor=Klaus Stierstadt |Titel=Thermodynamik |TitelErg=Von der Mikrophysik zur Makrophysik |Verlag=Springer |Datum=2010 |Kapitel=Kapitel 13.2 |DOI=10.1007/978-3-642-05098-5 |Sprache=de}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtgleichgewichtsthermodynamik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]

Fluktuationstheorem - Versionsgeschichte

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