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2025-01-06T15:38:41Z

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Das '''Fluktuations-Dissipations-Theorem''' stellt in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] den Zusammenhang zwischen spontanen Schwankungen eines Systems im Gleichgewicht und der Reaktion des Systems auf externe Störungen her.<ref>{{Literatur |Autor=Yehuda B. Band, Yshai Avishai |Titel=Quantum Mechanics with Applications to Nanotechnology and Information Science |Hrsg= |Sammelwerk= |Band= |Nummer= |Auflage= |Verlag=Academic Press |Ort= |Datum=2012 |ISBN=978-0-444-53786-7 |Seiten=}}</ref> Es handelt sich um eines der grundlegendsten und schwierigsten Ergebnisse der Quantenstatistik.

Das Theorem leitet sich im Rahmen der sogenannten „linear response“-Theorie quantitativ-rigoros aus dem statistischen Operator des Systems ab, zum Beispiel mit Hilfe der sogenannten [[LSZ-Reduktionsformel|LSZ-Reduktion]] oder der damit zusammenhängenden [[Gunnar Källén|Källén]]-[[Harry Lehmann (Physiker)|Lehmann]]-Darstellung.

== Übersicht ==
Inhaltlich besagt das Theorem, dass die Reaktion eines Systems im [[Thermodynamisches Gleichgewicht#Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]] auf eine kleine äußere [[Störungstheorie|Störung]] die gleiche ist wie seine Reaktion auf spontane [[Fluktuation]]en und dass speziell der sogenannte „dissipative Anteil“ dieser Reaktion (d. h. der „Reibungsanteil“) direkt zu den Fluktuationen proportional ist.

Dies kann genutzt werden, um eine explizite Beziehung zwischen Molekulardynamik im thermischen Gleichgewicht und der makroskopischen Reaktion auf kleine zeitabhängige Störungen herzustellen, die in dynamischen Messungen beobachtet werden können. Dadurch erlaubt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, mikroskopische Modelle der Gleichgewichts-Statistik zu benutzen, um quantitative Vorhersagen über Materialeigenschaften zu machen, auch wenn diese Abweichungen vom Gleichgewicht beschreiben. 


Dissipativer und reaktiver Anteil der Reaktionsfunktion (gerader und ungerader Anteil im Frequenzspektrum) sind über sogenannte [[Kramers-Kronig-Beziehungen]] miteinander verknüpft.

In seiner ursprünglichen Form besagt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, dass die [[Reibung]] eines in einem Lösungsmittel suspendierten Teilchens in quantitativem Zusammenhang mit den von den Flüssigkeitsmolekülen hervorgerufenen Teilchen-Fluktuationen steht.

Das genannte Theorem ist aber u. a. in folgender Hinsicht eine wesentliche Verschärfung: Es betrifft nicht nur thermische, sondern auch Quanten-Fluktuationen, und zwar in ganz präziser, aber sehr komplexer Weise. Es sei nur vermerkt, dass nach dem Theorem, das aus zwei quantenmechanisch messbaren Größen <math>A</math> und <math>B</math> in bestimmter Art gebildete Fluktuationsspektrum <math>\phi_{A,B}</math> und das zugehörige Dissipationsspektrum <math>\chi''_{A,B}</math> als Funktion von Kreisfrequenz <math>\omega</math> und Temperatur <math>T</math> (in [[Kelvin]]) folgendermaßen zusammenhängen

:<math>\phi_{A,B}(\omega )={\hbar}\cdot \coth \left(\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B} T} \right)\cdot \chi''_{A,B}(\omega )\,,</math>

d. h. die beiden Größen <math>\phi</math> und <math>\chi''</math> sind in präziser Weise zueinander proportional.
Dabei wird [[Ergodizität]] vorausgesetzt (d. h. das Theorem gilt z. B. ''nicht'' für [[Glas]]-Systeme). Die Funktion <math>\coth(x)</math> ist der [[Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus|hyperbolische Cotangens]], <math>k_\mathrm{B}</math> die [[Boltzmann-Konstante]] und <math>\hbar</math> ist die [[Plancksche Konstante]], geteilt durch <math>2\pi</math>. Für hohe Temperaturen, niedrige Frequenzen bzw. allgemein unter klassischen Bedingungen (<math>\hbar\to 0</math>) vereinfacht sich der Vorfaktor vor <math>\chi''</math> zu <math>\frac{2 k_\mathrm{B} T}{\omega}\,.</math>

Nachdem Vorläufer schon länger bekannt waren, bewiesen [[Herbert B. Callen]] und [[Theodore Welton]] 1951 ein allgemeines Fluktuations-Dissipations-Theorem.<ref>{{Literatur |Autor=H. B. Callen, T. A. Welton |Datum=1951 |Titel=Irreversibility and Generalized Noise |Sammelwerk=Phys. Rev. |Band=83 |Seiten=34 |DOI=10.1103/PhysRev.83.34 |bibcode = 1951PhRv...83...34C }}</ref> Einen Überblick über die Komplexität der mathematischen Voraussetzungen bietet der Artikel von [[Ryogo Kubo]].<ref> R. Kubo: ''Statistical Mechanical Theory of Irreversible Processes.'' In: ''JPS Journals.'' 1957, Vol. 12, Issue 6, Seite 570–586, {{DOI|10.1143/JPSJ.12.570}}</ref>

== Anwendungen ==
=== Einstein-Relation ===
Ein früher Vorläufer des Fluktuations-Dissipations-Theorems ist die [[Einstein-Smoluchowski-Beziehung]] zwischen der [[Diffusionskonstante]] einer Flüssigkeit und der [[Beweglichkeit (Physik)|Beweglichkeit]] suspendierter Teilchen. [[Albert Einstein|Einstein]] merkte 1905 in seiner Veröffentlichung zur [[Brownsche Molekularbewegung|Brownschen Molekularbewegung]] an, dass dieselben zufälligen Kräfte, die die ziellose Bewegung eines Teilchens bewirken, den Reibungswiderstand hervorrufen, wenn das Teilchen durch die Flüssigkeit gezogen wird. Anders gesagt: Die Fluktuationen des eigentlich in Ruhe befindlichen Teilchens haben denselben Ursprung wie die dissipative Reibungskraft, gegen die man arbeiten muss, wenn man das Teilchen in eine bestimmte Richtung zieht (Ein ähnliches Resultat erreichte [[Marian Smoluchowski]] 1906).

Aufgrund dieser Beobachtung war es ihnen möglich, mithilfe der [[Statistische Mechanik|Statistischen Mechanik]] eine unerwartete Beziehung herzuleiten:

:<math>D=\mu\, k_\mathrm{B}T</math>
Diese Einstein-Smoluchowski-Beziehung verknüpft die [[Diffusionskonstante]] <math>D</math> (entsprechend der fluktuierenden Kraft) mit der [[Beweglichkeit (Physik)|Mobilität]] <math>\mu</math> der Teilchen (entsprechend der [[Dissipation]]). Hierbei ist <math>\mu = v_\mathrm d/F</math> die [[Beweglichkeit (Physik)|Beweglichkeit]], d. h. das Verhältnis der [[Driftgeschwindigkeit]] <math>v_\mathrm d</math> des Teilchens unter der Wirkung einer äußeren Kraft <math>F</math>. Weiter ist <math>k_\mathrm B</math> die [[Boltzmann-Konstante]] und <math>T</math> die [[absolute Temperatur]].

=== Langevin-Gleichung ===

Für die fluktuierende Kraft <math>n(t)</math> in einer [[Langevin-Gleichung]] gilt das als „weißes Rauschen“ bezeichnete Gesetz:

:<math>\langle n(t)n(t') \rangle = \frac{2 k_\mathrm{B} T}{\mu}\delta(t-t')</math>.

=== Thermisches Rauschen in einem elektrischen Widerstand ===

Fließt bei einem [[Elektrischer Widerstand|Widerstand]] kein Strom, so gilt

:<math> \langle V^2 \rangle = 4R k_\mathrm{B} T\Delta\nu </math>

Hierbei ist <math>V</math> die [[Elektrische Spannung|Spannung]], <math>R</math> der Widerstand und <math>\Delta\nu</math> die Bandbreite, über die die Spannung gemessen wird. Dieses [[Johnson-Nyquist-Rauschen]] wurde 1928 von [[John B. Johnson]] entdeckt und von [[Harry Nyquist]] erklärt.

== Weblinks ==
* [http://www.scholarpedia.org/article/Fluctuations Gallavotti ''Fluctuations'', Scholarpedia]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]

Fluktuations-Dissipations-Theorem - Versionsgeschichte

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