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2025-06-06T20:15:42Z

Bezug zur Mathematik

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'''Floer-Homologien''' (FH) bezeichnen in den mathematischen Teilgebieten [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und [[Differentialgeometrie]] eine Gruppe ähnlich konstruierter [[Homologie (Mathematik)|Homologie]]-Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von [[Andreas Floer]] und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer erweiterte die Morse-Homologie ([[Morse-Theorie]]) endlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf Fälle, in denen die [[Morse-Funktion]] nicht mehr endliche, sondern nur noch „relativ endliche“ Indizes hat, insbesondere in symplektischen Mannigfaltigkeiten, wo die „Differentiale“ der Homologie-Konstruktion [[pseudoholomorphe Kurve]]n abzählen.

== Symplektische Floer-Homologie (SFH) ==
In diesem Fall ist die Floer-Homologie für eine [[Symplektische Mannigfaltigkeit|symplektischen Mannigfaltigkeit]] (wie die Phasenräume der klassischen Mechanik) <math>M</math> mit einem auf ihr operierenden nicht-entarteten [[Symplektomorphismus]] (sie erhält insbesondere das Volumen) <math>F</math> definiert. „Nicht entartet“ bedeutet, dass die Eigenwerte der Ableitung <math>dF</math> in den [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]] von <math>F</math> alle von 1 verschieden sind, die Fixpunkte also [[Isolierter Punkt|isolierte Punkte]] sind.

Falls <math>F</math> durch einen [[Hamiltonscher Fluss|Hamiltonschen Fluss]] definiert wird, kann auf dem Raum <math>\Omega M</math> der geschlossenen Wege von <math>M</math> (loop space) ein Wirkungsfunktional (action functional) definiert werden, und die SFH ergibt sich aus dem Studium dieses Funktionals. SFH ist invariant unter einer Hamiltonschen Isotopie von <math>F</math>.

Die SFH ist dann als [[Homologie (Mathematik)|Homologie]] des durch diese Fixpunkte definierten [[Kettenkomplex]]es (chain complex) definiert. Das „Differential“ in diesem Kettenkomplex („Differential“ im Sinn der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], so auch in den folgenden Kapiteln) zählt dabei bestimmte [[pseudoholomorphe Kurve]]n im Produkt <math>\R\times T</math>, wobei <math>T</math> der sogenannte [[Abbildungs-Torus]] von <math>F</math> ist. <math>T</math> ist selber eine symplektische Mannigfaltigkeit mit einer um 2 größeren Dimension als <math>M</math>. Für eine geeignete Wahl der [[Fast-komplexe Mannigfaltigkeit|fast-komplexen Struktur]] haben punktierte [[pseudo-holomorphe Kurve]]n in <math>\R\times T</math> asymptotisch zylindrische Enden, die den Fixpunkten von <math>F</math> entsprechen. Die zentrale Idee von Floer war es, einen relativen Index zwischen Paaren von Fixpunkten zu definieren, und das „Differential“ zählt die Zahl pseudo-holomorpher Zylinder mit relativem Index 1.

Die SFH eines hamiltonschen Symplektomorphismus F ist isomorph zur [[Singuläre Homologie|singulären Homologie]] der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Daher liefern die Summen der [[Betti-Zahl]]en von <math>M</math> eine untere Grenze für die Anzahl der Fixpunkte eines nicht-entarteten Symplektomorphismus <math>F</math> ([[Arnold-Vermutung]]). Die SFH eines hamiltonschen Symplektomorphismus <math>F</math> haben außerdem ein „[[Hose (Mathematik)|pair of pants]]“-Produkt, das ein deformiertes [[Cup-Produkt]] äquivalent zur [[Quantenkohomologie]] ist.

== Floer-Homologie von 3-Mannigfaltigkeiten ==
Die verschiedenen (vermutlich äquivalenten) Floer-Homologien für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten liefern Homologiegruppen, die ein [[exaktes Dreieck]] (exact triangle) bilden. Die Heegaard-Floer-Homologie liefert außerdem [[Knoteninvariante]]n und ähnelt formal der kombinatorisch definierten [[Khovanov-Homologie]].<ref>Eine Variante der Khovanov-Homologie ist nach Ozsvath-Szabo (2005) über eine [[Spektralsequenz]] mit der Heegaard-Floer-Homologie einer entlang eines Knotens [[Verzweigte Überlagerung|verzweigten Überlagerung]] verbunden.</ref>

Eine Besonderheit der FH von [[3-Mannigfaltigkeit]]en tritt ein, falls diese Mannigfaltigkeiten [[Kontakt-Struktur]]en haben, denn dann lassen sich „eingebettete Kontakt-Homologien“ definieren.

So sollten sich auch für Invarianten für 4-Mannigfaltigkeiten ergeben über die Floer-Homologien der 3-dimensionalen [[Mannigfaltigkeit mit Rand|Ränder]] dieser Mannigfaltigkeiten. Damit verbunden ist der Begriff der [[topologische Quantenfeldtheorie|topologischen Quantenfeldtheorie]].

=== Instanton-Floer-Homologie ===
Das ist eine Invariante von 3-Mannigfaltigkeiten <math>M</math>, die mit einer Theorie von [[Simon Donaldson]] verbunden ist. Sie ergibt sich aus der Betrachtung des [[Chern-Simons-Funktional]]s auf dem Raum der [[Zusammenhangsform]]en (connections) des [[SU(2)]]-[[Hauptfaserbündel]]s über <math>M</math>. Seine kritischen Punkte sind [[Flacher Zusammenhang|flache Zusammenhänge]] (flat connections), und seine Flusslinien sind [[Instanton]]en („anti-self dual connections“ auf <math>\R\times M</math>).

=== Seiberg-Witten-Floer-Homologie (SWF) ===
[[Seiberg-Witten-Floer-Homologie]], auch als Monopol-FH bekannt, ist eine Homologietheorie [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|glatter]] 3-Mannigfaltigkeiten, versehen mit einer [[Spinc-Struktur|Spin<sup>''c''</sup>-Struktur]], deren Kettenkomplex durch die Lösungen der [[Seiberg-Witten-Theorie|Seiberg-Witten]]-Gleichungen auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math> gegeben ist und deren „Differential“ Lösungen der Seiberg-Witten-Gleichungen auf dem Produkt <math>M\times\R</math> zählt.

Die exakte Konstruktion dieser Homologie in einigen Spezialfällen und in endlichdimensionaler Näherung erfolgt in einigen Arbeiten von [[Ciprian Manolescu]] und [[Peter Kronheimer]]. Ein konventionellerer Weg wird in einem Buch von Kronheimer und [[Tomasz Mrowka]] eingeschlagen.<ref>Peter Kronheimer, Tomasz Mrowka: ''Monopoles and Three-Manifolds'' (= ''New Mathematical Monographs.'' Bd. 10). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-511-54311-1, [http://www.zentralblatt-math.org/portal/en/zmath/search/?q=an:1158.57002&format=complete Besprechung im Zentralblatt].</ref>

=== Heegaard-Floer-Homologie ===
{{Hauptartikel|Heegaard-Floer-Homologie}}
[[Heegaard-Floer-Homologie]] ist eine Invariante einer [[Geschlossene Mannigfaltigkeit|geschlossenen]] 3-Mannigfaltigkeit <math>Y</math> mit einer [[Spinc-Struktur|Spinᶜ-Struktur]]. Sie wird mittels [[Heegaard-Zerlegung]] von <math>Y</math> durch Lagrange-Floer-Homologie konstruiert. Man erhält mehrere Homologiegruppen, die durch exakte Sequenzen miteinander in Beziehung stehen. Auf ähnliche Weise kann man jedem 4-dimensionalen [[Kobordismus]] <math>W</math> zwischen zwei 3-Mannigfaltigkeiten <math>Y</math> und <math>Y^\prime</math> einen Morphismus zwischen den Floer-Homologien zuordnen. Die exakten Sequenzen transformieren natürlich unter den assoziierten Morphismen. Mittels Konstruktion geeigneter [[Filtrierungen]] lassen sich Invarianten konstruieren. Ein Beispiel hierfür ist die zu einem [[Knotentheorie|Knoten]] <math>K</math> in einer 3-Mannigfaltigkeit <math>Y</math> assoziierte Knotenhomologie. Ein weiteres Beispiel ist die sogenannte Kontakthomologie, eine Invariante von Kontaktstrukturen.

Die Heegaard-Floer-Homologie wurde in einer langen Serie von Arbeiten von [[Peter Ozsváth]] und [[Zoltán Szabó (Mathematiker)|Zoltán Szabó]] entwickelt, die zugehörige Knoteninvariante wurde auch unabhängig von Jacob Rasmussen entdeckt.

=== Eingebettete Kontakt-Homologie (embedded contact homology, ECH) ===
Sie wurde durch [[Michael Hutchings]] und [[Michael Sullivan (Mathematiker)|Michael Sullivan]] eingeführt als Invariante von 3-Mannigfaltigkeiten mit einer zusätzlich definierten 2. Homologieklasse (analog der Spin-c-Struktur bei Seiberg-Witten-FH). Es wird vermutet, dass sie äquivalent zu Seiberg-Witten-FH und Heegaard-FH ist. Sie kann als Erweiterung von Taubes’ Gromov-Invariante aufgefasst werden, von der bekannt ist, dass sie zur Seiberg-Witten Invariante äquivalent ist, und die eine Invariante von Abbildungen von geschlossenen symplektischen 4-Mannigfaltigkeiten zu bestimmten nicht-kompakten 4-Mannigfaltigkeiten ist.

Die Konstruktion dieser FH ist analog der symplektischen Feldtheorie, bezieht aber nur eingebettete pseudoholomorphe Kurven ein (mit ein paar technischen Zusatzbedingungen). Für Mannigfaltigkeiten mit nicht trivialen ECH gibt es eine Vermutung von Weinstein, die von Taubes mit Techniken, die eng mit ECH verwandt sind, bewiesen wurde.

== Lagrange-Schnitt-FH (Lagrangian intersection Floer homology) ==
Der Kettenkomplex der Lagrange-FH zweier [[Lagrangesche Untermannigfaltigkeit|Lagrangescher Untermannigfaltigkeiten]] einer symplektischen Mannigfaltigkeit <math>M</math> wird durch die Schnittpunkte der beiden Untermannigfaltigkeiten erzeugt. Ihr „Differential“ zählt pseudoholomorphe [[Whitney-Scheibe]]n. Sie ist mit der SFH verbunden, da der [[Funktionsgraph|Graph]] eines Symplektomorphismus von <math>M</math> eine Lagrange-Untermannigfaltigkeit von <math>M\times M</math> ist, und die Fixpunkte den Schnitten des Graphen mit der Diagonale, die ebenfalls eine Lagrange–Untermannigfaltigkeit ist, entsprechen. Sie hat schöne Anwendungen in der Heegaard-FH (s. u.) und in Arbeiten von [[Paul Seidel (Mathematiker)|Seidel]]-Smith und Manolescu, die Teile der kombinatorisch definierten Khovanov-Homologie als Lagrange-Schnitt-FH ausdrücken.

Es seien drei Lagrange-Untermannigfaltigkeiten <math>L_0,L_1</math> und <math>L_2</math> einer symplektischen Mannigfaltigkeit gegeben. Dann gibt es eine Produktstruktur auf der Lagrange-FH:

:<math>HF(L_0, L_1) \otimes HF(L_1,L_2) \rightarrow HF(L_0,L_2) </math>,

die durch das Zählen von pseudo-holomorphen Dreiecken (d. h. pseudo-holomorphe Abbildungen von Dreiecken, deren Ecken und Kanten auf die entsprechenden Schnittpunkte und Lagrange-Untermannigfaltigkeiten abgebildet werden) definiert ist.

Arbeiten hierzu sind von [[Kenji Fukaya]], Y. Oh, [[Kaoru Ono]] und H. Ohta, oder in einem anderen Zugang in den Arbeiten zur „[[cluster Homologie]]“ von [[François Lalonde]] und Octav Cornea. Die FH von Paaren von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten muss nicht immer existieren, aber wenn sie existiert, liefert sie eine Obstruktion für eine „[[Isotopiegruppe|Isotopie]]“ der einen Untermannigfaltigkeit in die andere mittels einer Hamiltonschen Isotopie.

=== Die Atiyah-Floer-Vermutung ===
Die '''Atiyah-Floer-Vermutung''' verbindet die Instanton-Floer-Homologie mit der Lagrange-Schnitt-Floer-Homologie: Sei M eine 3-Mannigfaltigkeit mit einer [[Heegaard-Zerschneidung]] entlang einer Fläche <math>\Sigma</math>. Dann ist der Raum der „[[Flaches Bündel|flachen Bündel]]“ (flat connections, d. h. verschwindende [[Krümmungsform]]) auf <math>\Sigma</math> modulo Eichtransformationen eine symplektische Mannigfaltigkeit der Dimension <math>6g - 6</math>, wobei <math>g</math> das Geschlecht der Fläche <math>\Sigma</math> ist.

In der Heegaard-Zerschneidung berandet <math>\Sigma</math> zwei Henkelkörper; der Raum der flachen Bündel modulo [[Eichtransformation]]en auf jeder 3-[[Mannigfaltigkeit mit Rand]] (oder äquivalent dazu, der Raum der Zusammenhangsformen auf <math>\Sigma</math> die sich auf jede der beiden 3-Mannigfaltigkeiten fortsetzen lässt) ist eine Lagrange-Untermannigfaltigkeit des Raums der Zusammenhangsformen (connections) auf <math>\Sigma</math>. Man kann also ihre Lagrange-Schnitt-Floer-Homologie betrachten oder alternativ die Instanton-Floer-Homologie der 3-Mannigfaltigkeit M. Die Atiyah-Floer-Vermutung besagt die [[isomorphismus|Isomorphie]] dieser beiden Invarianten. Katrin Wehrheim und Dietmar Salamon arbeiten an einem Programm, diese Vermutung zu beweisen.

=== Verbindungen zur Mirror-Symmetrie ===
Die homologische Mirror-Symmetrie-Vermutung (homologische Spiegel-Symmetrie) von [[Maxim Lwowitsch Konzewitsch|Maxim Konzewitsch]] besagt die Äquivalenz der Lagrange-FH von Lagrange-Untermannigfaltigkeiten in [[Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit]]en <math>X</math> und den [[ext (Mathematik)|Ext-Gruppen]] von [[Kohärente Garbe|kohärenten Garben]] auf der Mirror-Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit voraus. Interessanter als die FH-Gruppen sind hier die Floer-Ketten-Gruppen (chain groups). Ähnlich dem „pair-of-pants-Produkt“ kann man [[Polygon|<math>n</math>-Gone]] aus Aneinanderreihungen pseudoholomorpher Kurven bilden. Diese Gebilde erfüllen die <math>A_{\infty}</math>-Relationen und machen so die Kategorie aller Lagrange-Untermannigfaltigkeiten (ohne Obstruktionen) in einer symplektischen Mannigfaltigkeit zu einer <math>A_{\infty}</math>-Kategorie, genannt [[Fukaya-Kategorie]].

Genauer gesagt müssen zusätzliche Strukturen zu der Lagrangemannigfaltigkeit hinzugefügt werden, nämlich eine Gradierung und eine [[Spinstruktur]] (analog zur Physik „brane“ genannt). Dann besagt die Vermutung, dass eine [[derivierte Morita-Äquivalenz]] zwischen der Fukaya-Kategorie der Calabi-Yau-Räume und der dg-Kategorie der [[derivierte Kategorie|derivierten Kategorie]] (derived category) der kohärenten Garben auf der Spiegel-Mannigfaltigkeit besteht (und umgekehrt).

== Symplektische Feldtheorie (SFT) ==
Dies ist eine Invariante von [[Kontakt-Mannigfaltigkeit]]en (allgemeiner: Mannigfaltigkeiten mit einer stabilen Hamiltonischen Struktur) und der symplektischen Kobordismen zwischen ihnen. Sie stammt ursprünglich von [[Jakow Eliaschberg]], [[Alexander Givental]] und [[Helmut Hofer (Mathematiker)|Helmut Hofer]]. Sie ist – ebenso wie ihre Unterkomplexe, die rationale symplektische Feldtheorie und die Kontakt-Homologie – als Homologie von [[Differentialalgebra|Differentialalgebren]] definiert, die durch [[Periodischer Orbit|geschlossenen Bahnen]] von [[Reeb-Vektorfeld]]ern einer [[Kontaktform]] erzeugt werden. Das „Differential“ zählt hier bestimmte pseudo-holomorphe Kurven im Zylinder <math>\R\times M</math> über der Kontakt-Mannigfaltigkeit <math>M</math>, deren triviale Beispiele die verzweigten Überlagerungen von (trivialen) Zylindern über geschlossenen Reeb-Bahnen sind. Es gibt eine lineare Homologie-Theorie, genannt zylindrische oder linearisierte Kontakt-Homologie, deren Ketten-Gruppen die durch geschlossene Bahnen erzeugten Vektorräume sind und deren Differentiale nur pseudo-holomorphe Zylinder zählen. Aufgrund des Vorhandenseins pseudo-holomorpher Scheiben ist die zylindrische Kontakt-Homologie jedoch nicht immer definiert. Falls sie definiert ist, kann sie als (leicht modifizierte) „Morse-Homologie“ des Wirkungsfunktionals auf dem [[Schleifenraum]] gesehen werden, die einer Schleife das Integral einer Kontaktform über diese Schleife zuordnet. „Reeb-Bahnen“ sind die [[Kritischer Punkt (Mathematik)|kritischen Punkte]] dieses Funktionals.

SFT assoziiert auch eine relative Invariante zu einer [[Legendre-Untermannigfaltigkeit]] einer Kontakt-Mannigfaltigkeit, die „relative Kontakt-Homologie“.

In der SFT können die Kontakt-Mannigfaltigkeiten durch Abbildungs-Tori (mapping tori) der symplektischen Mannigfaltigkeiten mit Symplektomorphismen ersetzt werden. Während die zylindrische Kontakt-Homologie wohldefiniert ist (und durch die SFH der Potenzen der Symplektomorphismen gegeben ist), können (rationale) symplektische Feldtheorie und Kontakt-Homologie als verallgemeinerte SFH betrachtet werden.

Ähnlich kann ein Analogon zur „eingebetteten Kontakt-Homologie“ (ECH) für die Abbildungs-Tori von Symplektomorphismen einer Fläche (auch mit Rand) definiert werden, die „Periodische FH“, die die SFH von Flächen-Symplektomorphismen verallgemeinert. Sie ist vermutlich mit der ECH verbunden.

== Floer-Homotopie ==
Ein möglicher Weg, FH-Theorie für ein Objekt zu konstruieren, wäre die Konstruktion eines zugehörigen „[[Spektrum (Topologie)|Spektrums]]“, dessen gewöhnliche Homologie die gesuchte FH wäre. Andere Invarianten würden sich aus der Anwendung anderer Homologietheorien auf dieses Spektrum ergeben. Die Strategie wurde von [[Ralph Cohen]], John D. S. Jones und [[Graeme Segal]] vorgeschlagen und in bestimmten Fällen für die Seiberg-Witten-FH von Kronheimer und Manolescu und für die symplektische FH von [[Kotangentialbündel]]n von Cohen durchgeführt.

== Weiterentwicklung von Techniken ==
Viele dieser FH sind nicht vollständig und streng konstruiert worden, und viele vermutete Äquivalenzen sind noch offen. Probleme ergeben sich aus technischen Schwierigkeiten z. B. in der [[Kompaktifizierung]] der Modulräume der pseudoholomorphen Kurven. Hofer hat zusammen mit Kris Wysocki und Eduard Zehnder neue Techniken mit ihren Theorien der [[Polyfaltigkeit]]en und der „verallgemeinerten Fredholm-Theorie“ entwickelt.

== Berechnung ==
Floer-Homologien (FH) sind im Allgemeinen schwierig explizit zu berechnen. Beispielsweise ist die symplektische FH nicht einmal für alle Flächen-Symplektomorphismen bekannt. Die Heegaard-FH ist die Ausnahme – sie ist für verschiedene Klassen von 3-Mannigfaltigkeiten berechnet worden, und dabei wurde ihr Zusammenhang mit anderen Invarianten beleuchtet.

== Literatur ==
Bücher und Überblicksartikel:
* [[Michael Atiyah]]: ''New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds.'' In: ''The mathematical heritage of Hermann Weyl. (Proceedings of the Symposium on the Mathematical Heritage of Hermann Weyl. Held at the Duke University, Durham, North Carolina, May 12–16, 1987)'' (= ''Proceedings of Symposia in pure Mathematics.'' Bd. 48). American Mathematical Society, Durham NC 1988, ISBN 0-8218-1482-6, S. 285–299.
* Augustin Banyaga, David Hurtubise ''Lectures on Morse Homology'' (= ''Kluwer Texts in the Mathematical Sciences.'' Bd. 29). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht u. a. 2004, ISBN 1-4020-2695-1.
* [[Simon K. Donaldson]], M. Furuta, D. Kotschick ''Floer Homology groups in Yang-Mills theory'' (= ''Cambridge Tracts in Mathematics.'' Bd. 147). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80803-0.
* David A. Ellwood, [[Peter S. Ozsvath]], Andras I. Stipsicz, Zoltan Szabo (Hrsg.): ''Floer Homology, Gauge Theory, and Low-dimensional. Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2004 Summer School, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Budapest, Hungary, June 5–26, 2004'' (= ''Clay Mathematics Proceedings.'' Bd. 5). American Mathematical Society u. a., Providence RI 2006, ISBN 0-8218-3845-8.
* [[Dusa McDuff]], [[Dietmar Salamon]]: ''Introduction to Symplectic Topology'' (= ''Oxford Mathematical Monographs''). 2nd edition. Clarendon Press, Oxford 1998, ISBN 0-19-850451-9.
* Dusa McDuff: ''Floer theory and low dimensional topology.'' In: ''Bulletin of the American Mathematical Society.'' Bd. 43, Nr. 1, 2006, {{ISSN|0273-0979}}, 25–42, [http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01080-3/S0273-0979-05-01080-3.pdf (PDF; 323 kB)].
* Matthias Schwarz: ''Morse Homology'' (= ''Progress in Mathematics.'' Bd. 111). Birkhäuser, Basel u. a. 1993, ISBN 3-7643-2904-1.

Artikel:
* Andreas Floer: ''The unregularized gradient flow of the symplectic action.'' In: ''Communications on Pure and Applied Mathematics.'' Bd. 41, Nr. 6, 1988, {{ISSN|0010-3640}}, S. 775–813, {{doi|10.1002/cpa.3160410603}}.
* Andreas Floer: ''An instanton-invariant for 3-manifolds.'' In: ''Communications in Mathematical Physics.'' Bd. 118, Nr. 2, 1988, {{ISSN|0010-3616}}, S. 215–240, [http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/Summarize/euclid.cmp/1104161987 Project Euclid].
* Andreas Floer: ''Morse theory for Lagrangian intersections.'' In: ''Journal of Differential Geometry.'' Bd. 28, 1988, {{ISSN|0022-040X}}, S. 513–547.
* Andreas Floer: ''Cuplength estimates on Lagrangian intersections.'' In: ''Communications on Pure and Applied Mathematics.'' Bd. 42, Nr. 4, 1989, S. 335–356, {{doi|10.1002/cpa.3160420402}}.
* Andreas Floer: ''Symplectic fixed points and holomorphic spheres.'' In: ''Communications in Mathematical Physics.'' Bd. 120, Nr. 4, 1989, S. 575–611, {{doi|10.1007/BF01260388}}.
* Andreas Floer: ''Witten's complex and infinite dimensional Morse Theory.'' In: ''Journal of Differential Geometry.'' Bd. 30, 1989, S. 202–221.
* [[Michail Leonidowitsch Gromow|Mikhail Gromov]]: ''Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds.'' In: ''[[Inventiones Mathematicae]].'' Bd. 82, 1985, S. 307–347.
* [[Helmut Hofer (Mathematiker)|Helmut Hofer]], Kris Wysocki, [[Eduard Zehnder]]: ''A General Fredholm Theory I: A Splicing-Based Differential Geometry.'' [http://arxiv.org/abs/math.FA/0612604 online].
* Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: ''On the Heegaard Floer homology of branched double-covers.'' In: ''Advances in Mathematics.'' Bd. 194, Nr. 1, 2005, S. 1–33, {{doi|10.1016/j.aim.2004.05.008}}, [http://arxiv.org/abs/math.GT/0309170 a preprint].

== Weblinks ==
* [http://www.ams.org/bull/1990-23-02/S0273-0979-1990-15928-2/home.html Dusa McDuff ''Elliptic Methods in Symplectic Geometry'', Bulletin AMS, Bd. 23, 1990, S. 311]
* [http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01080-3/home.html Dusa McDuff ''Floer theory and low dimensional topology'', Bulletin AMS, Bd. 43, 2005, S. 25]
* [https://web.math.princeton.edu/~szabo/clay.pdf Peter Ozsváth, Zoltán Szabó: ''An introduction to Heegaard Floer homology'']
* [https://web.math.princeton.edu/~szabo/clay.pdf Ciprian Manolescu: ''An introduction to knot Floer homology'']
* [http://www.math.ucla.edu/~cm/takagi.pdf Ciprian Manolescu: ''Floer theory and its topological applications'']
* [http://arxiv.org/abs/math/0010059 Yakov Eliashberg, Alexander Givental, Helmut Hofer: ''Introduction to symplectic field theory'']

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=109388973X}}

[[Kategorie:Geometrische Topologie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Symplektische Topologie]]
[[Kategorie:Homologietheorie]]

Floer-Homologie - Versionsgeschichte

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