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2025-05-02T08:07:18Z

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Eine '''flexible Algebra''' ist eine [[Algebra_über_einem_Körper#Nicht-assoziative Algebren|nicht-assoziative Algebra über einem Körper]] (<math>K</math>-Algebra), für deren Multiplikation das Flexibilitätsgesetz gilt.

== Beispiele ==

*Jede [[Lie-Algebra]] ist eine flexible Algebra, da deren Multiplikation die Lie-Klammer (siehe oben) ist.
*Die Multiplikation der [[Oktonionen]] und [[Sedenionen]] erfüllt das Flexibilitätsgesetz.
* {{Anker|M2}} Eine ''Alternativalgebra'' (also eine nicht-assoziative <math>K</math>-Algebra, deren Multiplikation [[Alternativität|alternativ]] ist), ist eine flexible Algebra. Hier folgt die Flexibilität der Multiplikation aus der Alternativität zusammen mit der <math>K</math>-Bilinearität der Multiplikation (auf die Darstellung des Verknüpfungssymbols für die Multiplikation wird im Folgenden verzichtet):
** Für <math>a + b</math> gilt wegen der Linksalternativität der Multiplikation:
*** <math>((a + b)(a + b))b = (a+b)((a+b)b)</math>
** mehrmalige Anwendung der <math>K</math>-Bilinearität der Multiplikation (in der Schule oft als ''Ausmultiplizieren'' bezeichnet) ergibt
*** <math>\Leftrightarrow (aa)b + (ab)b + (ba)b + (bb)b = a(ab) + a(bb) + b(ab) + b(bb)</math>
*** <math>\Leftrightarrow (ba)b = ( a(ab) - (aa)b ) + ( a(bb) - (ab)b ) + b(ab) + ( b(bb) - (bb)b )</math>
** die erste und dritte Differenz verschwindet wegen der Linksalternativität der Multiplikation, die zweite Differenz verschwindet wegen der Rechtsalternativität der Multiplikation. Damit folgt:
*** <math>\Leftrightarrow (ba)b = b(ab)</math>

== Flexibilitätsgesetz ==
Unter dem '''Flexibilitätsgesetz''' versteht man in der Mathematik die folgende Regel für eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] <math>\circ</math>
:<math>a \circ \left( b \circ a \right) = \left( a \circ b \right) \circ a</math>.

Das Flexibilitätsgesetz wird automatisch von [[Kommutativgesetz|kommutativen]] oder [[Assoziativgesetz|assoziativen]] Verknüpfungen erfüllt:

* Aus <math>a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c</math> (Assoziativität) folgt mit <math>c = a</math> direkt <math>a \circ \left( b \circ a \right) = \left( a \circ b \right) \circ a</math>.
* Mit dem zweifach angewandten Kommutativgesetz gilt <math>a \circ \left( b \circ a \right) \;\stackrel{1.}=\, \left( b \circ a \right) \circ a \;\stackrel{2.}=\, \left( a \circ b \right) \circ a</math>.
*# wegen <math>a \circ x = x \circ a </math> mit <math> x = b \circ a </math>
*# wegen <math>b \circ a = a \circ b \Rightarrow \left( b \circ a \right) \circ a = \left( a \circ b \right) \circ a</math>

Das Flexibilitätsgesetz wird dann bedeutsam, wenn eine Verknüpfung nicht mehr assoziativ und nicht mehr kommutativ ist und so noch ein „Um-Klammern“ in bescheidenem Rahmen erlaubt.

[[Alternativität|Alternative]] Verknüpfungen erfüllen das Flexibilitätsgesetz in der Regel nicht, siehe [[#M1|Gegenbeispiel unten]].

=== Beispiele ===

*Die [[Lie-Klammer]] erfüllt das Flexibilitätsgesetz:

:Es gilt aufgrund ihrer Antisymmetrie und ihrer Linearität:
: <math>\left[a, [b, a]\right]=-[[b, a], a] = [-[b, a], a] = [[a, b], a]</math>.

* Die Multiplikation eines [[Alternativkörper|Alternativkörpers]] erfüllt das Flexibilitätsgesetz. Hier folgt die Flexibilität der Multiplikation aus ihrer Alternativität, den Gruppenaxiomen der Addition und den Distibutivgesetzen. Der Beweis erfolgt analog zu dem Beweis der Flexibilität der Multiplikation in einer ''[[#M2|Alternativalgebra]]'' unter Nutzung der Distributivgesetze statt der Bilinearität.

== Flexible Magmen ==

Ein [[Magma (Mathematik)|Magma]], für deren Verknüpfung das Flexibilitätsgesetz gilt, nennt man auch ein '''flexibles Magma'''.

=== Beispiele ===

* Jede [[Halbgruppe]] ist ein flexibles Magma, da aus dem Assoziativgesetz das Flexibilitätsgesetz folgt (siehe oben).
* Das Magma mit der folgenden [[Verknüpfungstafel]] ist '''flexibel''', aber '''nicht alternativ''':
{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efefef;"|<math>\circ</math>
!style="background:#efefef;"|0
!style="background:#efefef;"|1
|-
!style="background:#efefef;"|0
| 1 || 0
|-
!style="background:#efefef;"|1
| 0 || 0
|}
:* nicht alternativ wegen <math>0 \circ ( 0 \circ 1 ) = 1 \ne 0 = ( 0 \circ 0 ) \circ 1</math>
:* flexibel wegen
::* <math>0 \circ ( 0 \circ 0 ) = 0 = ( 0 \circ 0 ) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ ( 1 \circ 0 ) = 1 = ( 0 \circ 1 ) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ ( 0 \circ 1 ) = 0 = ( 1 \circ 0 ) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ ( 1 \circ 1 ) = 0 = ( 1 \circ 1 ) \circ 1</math>
* {{Anker|M1}} Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist '''alternativ''', aber '''nicht flexibel''':
{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efefef;"|<math>\circ</math>
!style="background:#efefef;"|0
!style="background:#efefef;"|1
!style="background:#efefef;"|2
|-
!style="background:#efefef;"|0
| 0 || 0 || 2
|-
!style="background:#efefef;"|1
| 0 || 0 || 2
|-
!style="background:#efefef;"|2
| 0 || 1 || 2
|}
:* nicht flexibel wegen <math>1 \circ ( 2 \circ 1 ) = 0 \ne 1 = ( 1 \circ 2 ) \circ 1</math>
:* linksalternativ wegen
::* <math>0 \circ ( 0 \circ 0 ) = 0 = ( 0 \circ 0 ) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ ( 0 \circ 1 ) = 0 = ( 0 \circ 0 ) \circ 1</math>
::* <math>0 \circ ( 0 \circ 2 ) = 2 = ( 0 \circ 0 ) \circ 2</math>
::* <math>1 \circ ( 1 \circ 0 ) = 0 = ( 1 \circ 1 ) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ ( 1 \circ 1 ) = 0 = ( 1 \circ 1 ) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ ( 1 \circ 2 ) = 2 = ( 1 \circ 1 ) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ ( 2 \circ 0 ) = 0 = ( 2 \circ 2 ) \circ 0</math>
::* <math>2 \circ ( 2 \circ 1 ) = 1 = ( 2 \circ 2 ) \circ 1</math>
::* <math>2 \circ ( 2 \circ 2 ) = 2 = ( 2 \circ 2 ) \circ 2</math>
:* rechtsalternativ wegen
::* <math>0 \circ (0 \circ 0) = 0 = (0 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ (1 \circ 1) = 0 = (0 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>0 \circ (2 \circ 2) = 2 = (0 \circ 2) \circ 2</math>
::* <math>1 \circ (0 \circ 0) = 0 = (1 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 1) = 0 = (1 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ (2 \circ 2) = 2 = (1 \circ 2) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ (0 \circ 0) = 0 = (2 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>2 \circ (1 \circ 1) = 0 = (2 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 2) = 2 = (2 \circ 2) \circ 2</math>
:* Es gibt kein alternatives Magma mit weniger als 3 Elementen, das nicht flexibel ist.
* Das Magma mit der folgenden Verknüpfungstafel ist '''alternativ''' und '''flexibel''', aber '''nicht assoziativ''':
{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efefef;"|<math>\circ</math>
!style="background:#efefef;"|0
!style="background:#efefef;"|1
!style="background:#efefef;"|2
|-
!style="background:#efefef;"|0
| 0 || 0 || 2
|-
!style="background:#efefef;"|1
| 0 || 1 || 1
|-
!style="background:#efefef;"|2
| 0 || 1 || 2
|}
:* nicht assoziativ wegen <math>0 \circ ( 1 \circ 2 ) = 0 \ne 2 = ( 0 \circ 1 ) \circ 2</math>
:* flexibel wegen (ohne Verknüpfungssymbol)
::* <math>0 \circ (0 \circ 0) = 0 = (0 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ (1 \circ 0) = 0 = (0 \circ 1) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ (2 \circ 0) = 0 = (0 \circ 2) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ (0 \circ 1) = 0 = (1 \circ 0) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 1) = 1 = (1 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ (2 \circ 1) = 1 = (1 \circ 2) \circ 1</math>
::* <math>2 \circ (0 \circ 2) = 2 = (2 \circ 0) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ (1 \circ 2) = 1 = (2 \circ 1) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 2) = 2 = (2 \circ 2) \circ 2</math>
:* linksalternativ wegen (ohne Verknüpfungssymbol)
::* <math>0 \circ (0 \circ 0) = 0 = (0 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ (0 \circ 1) = 0 = (0 \circ 0) \circ 1</math>
::* <math>0 \circ (0 \circ 2) = 2 = (0 \circ 0) \circ 2</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 0) = 0 = (1 \circ 1) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 1) = 1 = (1 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 2) = 1 = (1 \circ 1) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 0) = 0 = (2 \circ 2) \circ 0</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 1) = 1 = (2 \circ 2) \circ 1</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 2) = 2 = (2 \circ 2) \circ 2</math>
:* rechtsalternativ wegen (ohne Verknüfungssymbol)
::* <math>0 \circ (0 \circ 0) = 0 = (0 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>0 \circ (1 \circ 1) = 0 = (0 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>0 \circ (2 \circ 2) = 2 = (0 \circ 2) \circ 2</math>
::* <math>1 \circ (0 \circ 0) = 0 = (1 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>1 \circ (1 \circ 1) = 1 = (1 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>1 \circ (2 \circ 2) = 1 = (1 \circ 2) \circ 2</math>
::* <math>2 \circ (0 \circ 0) = 0 = (2 \circ 0) \circ 0</math>
::* <math>2 \circ (1 \circ 1) = 1 = (2 \circ 1) \circ 1</math>
::* <math>2 \circ (2 \circ 2) = 2 = (2 \circ 2) \circ 2</math>

:* Es gibt kein alternatives und flexibles Magma mit weniger als 3 Elementen, das nicht assoziativ ist.

== Siehe auch ==

*[[Alternativkörper]]
*[[Jordan-Algebra]]
*[[Moufang-Identitäten]]

[[Kategorie:Algebra]]

Flexible Algebra - Versionsgeschichte

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