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{{Dieser Artikel|behandelt Flachpunkte von Funktionsgraphen. Für Flachpunkte von regulären Flächen siehe [[Hauptkrümmung]].}}
[[Datei:Flachpunkte.svg|mini|Links im Bild ist ein Wendepunkt zu sehen, rechts ein (echter) Flachpunkt.]]
Ein '''Flachpunkt''' ist ein Punkt <math>(x_0|f(x_0))</math> auf dem Graphen einer reellen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], an dem die zweite [[Differentialrechnung|Ableitung]] der (an dieser Stelle mindestens zweimal differenzierbaren) Funktion null ist.<ref>Mathematische Formeln und Definitionen. Friedrich Barth u. a. (Herausgeber), Bayerischer Schulbuch-Verlag, S. 64.</ref><ref>Elemente der Mathematik 11/12 Niedersachsen, Schroedel Verlag, Braunschweig, 2009, ISBN 978-3-507-87920-1, S. 29.</ref> Flachpunkte umfassen also sowohl [[Wendepunkt]]e (bei denen die zweite Ableitung von <math>f</math> einen [[Vorzeichenwechsel]] hat, also eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt; siehe in der Grafik den Punkt mit der grünen Tangente bei <math>x = -1</math>) als auch Punkte, an denen das Krümmungsverhalten sich nicht ändert. Letztere werden manchmal auch als ''echte'' Flachpunkte bezeichnet (siehe in der Grafik den Punkt mit der blauen Tangente bei <math>x = 2</math>). Bei echten Flachpunkten ist außer der zweiten auch noch (mindestens) die dritte Ableitung gleich 0 mit Vorzeichenwechsel (sofern die Funktion an dieser Stelle mindestens dreimal differenzierbar ist).

Besitzen Flachpunkte einen Anstieg, so kann man sie nach ihrer Art in ''Flachstieg'' und ''Flachfall'' unterscheiden.

== Andere Definition ==

Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass sich das Krümmungsverhalten nicht ändert und der Anstieg ungleich Null ist;<ref name="books-Qc7xAAAAMAAJ-">''[http://books.google.de/books?id=Qc7xAAAAMAAJ&q=flachpunkt+definition&dq=flachpunkt+definition Praxis der Mathematik].'' Band 37, Aulis Verlag Deubner, 1995, S. 57 ({{Google Buch|BuchID=Qc7xAAAAMAAJ|Seite=57}}).</ref> Flachpunkte sind dann die Nullstellen gerader Ordnung der 2. Ableitung. Die Flachpunkte nach dieser alternativen Definition (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der blauen Tangente bei <math>x = 2</math>) wären also genau die ''echten'' Flachpunkte nach der ersten Definition. Insbesondere sind Wendepunkte (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der grünen Tangente bei <math>x = -1</math>) nach dieser Definition nun ''keine'' Flachpunkte. Auch Extrempunkte mit vielfachen Nullstellen sind dann ''keine'' Flachpunkte.

Gleichbedeutend ist dann folgendes: <math>f''(x_0)=0</math> und <math>f''</math> hat eine [[Nullstelle]] gerader Vielfachheit bei <math>x_0</math>. Dann hat <math>f''</math> nämlich an der Stelle <math>x_0</math> ein Extremum, da kein Vorzeichenwechsel von <math>f''</math> bei <math>x_0</math> erfolgt; somit erfolgt keine Änderung der Krümmungsrichtung, und es liegt ein Flachpunkt vor und kein [[Wendepunkt]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Flachpunkt - Versionsgeschichte

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