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2023-10-23T10:31:20Z

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In der [[Mathematik]] sind '''flache Mannigfaltigkeiten''' [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]]en mit [[Schnittkrümmung]] konstant null.

== Definition ==

Eine flache Mannigfaltigkeit ist eine [[Geodätisch vollständige Mannigfaltigkeit|vollständige]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] mit [[Schnittkrümmung]] konstant <math>0</math>.
(Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant <math>0</math> heißt ''flache Metrik''. Eine flache Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen flachen Metrik.)

== Andere Charakterisierungen ==
Es gibt zwei weitere Möglichkeiten, den Begriff der flachen Mannigfaltigkeit zu definieren. So wird festgelegt,

* eine <math>n</math>-dimensionale flache Mannigfaltigkeit ist eine [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]], deren [[universelle Überlagerung]] isometrisch zum [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\mathbb E^n</math> (das heißt dem <math>\mathbb R^n</math> mit der euklidischen Metrik <math>\mathrm{d}x_1^2+\ldots+\mathrm{d}x_n^2</math>) ist.

* eine flache Mannigfaltigkeit ist eine [[Riemannsche Mannigfaltigkeit]] der Form <math>\Gamma\backslash\mathbb E^n</math>, wobei <math>\Gamma\subset\operatorname{Isom}(\mathbb E^n)\cong O(n)\ltimes \mathbb R^n </math> eine [[Gitter (Mathematik)#Gitter in Lie-Gruppen|diskrete Untergruppe]] der Gruppe der Isometrien des euklidischen Raumes ist.

Diese beiden Definitionen sind zueinander und zur Definition im Abschnitt darüber äquivalent. Die Äquivalenz zwischen der ursprünglichen Definition und der ersten Definition in diesem Abschnitt folgt aus dem [[Satz von Cartan-Ambrose-Hicks#Satz von Cartan|Satz von Cartan]]; die Äquivalenz der beiden Definitionen aus diesem Abschnitt ergibt sich aus der [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerungstheorie]].

Insbesondere ist eine [[einfach zusammenhängend]]e flache Mannigfaltigkeit isometrisch zum euklidischen Raum.

== Bieberbach-Gruppen ==

Wenn <math>M=\Gamma\backslash \mathbb E^n</math> eine flache Mannigfaltigkeit ist, dann muss <math>\Gamma\subset \operatorname{Isom}(\mathbb E^n)</math> torsionsfrei sein.
Die Gruppe <math>\Gamma</math> ist dann isomorph zur [[Fundamentalgruppe]] von <math>M</math>.

Wenn <math>M</math> zusätzlich kompakt ist, dann ist <math>\Gamma</math> eine kristallographische Gruppe vom Rang <math>n</math>, eine sogenannte [[Raumgruppe]]. Weil <math>\Gamma</math> torsionsfrei sein muss, ist es dann eine [[Bieberbachgruppe]].

Nach dem [[Bieberbachsche Sätze|1. Bieberbachschen Satz]] gibt es eine Untergruppe <math>A\subset \Gamma</math> von endlichem [[Index (Gruppentheorie)|Index]] mit <math>A\cong \mathbb Z^n</math>.
Der Quotient <math>H:=\Gamma/A</math> wird als ''Holonomiegruppe'' der flachen Mannigfaltigkeit bezeichnet.

== Beispiele ==

Aus dem [[Satz von Gauß-Bonnet#Satz von Gauß-Bonnet-Chern|Satz von Chern-Gauß-Bonnet]] folgt, dass die [[Euler-Charakteristik]] einer flachen Mannigfaltigkeit immer null sein muss.

=== Zweidimensionale Beispiele ===

Jede zweidimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit ist [[homöomorph]] zum [[Torus]] oder der [[Kleinsche Flasche|Kleinschen Flasche]].

=== Dreidimensionale Beispiele ===

Bis auf [[Homöomorphie]] gibt es zehn kompakte flache [[3-Mannigfaltigkeit]]en, davon sechs orientierbare und vier nicht-orientierbare. Die sechs orientierbaren Beispiele haben die Holonomiegruppen <math>H=1</math> (der 3-Torus), <math>H=\mathbb Z/k\mathbb Z</math> für <math>k=2,3,4,6</math> und <math>H=\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z</math> (die Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit).<ref>[https://link.springer.com/article/10.1007/BF01448045?LI=true#page-2 Hantzsche-Wendt: "Dreidimensionale euklidische Raumformen"]</ref>

=== Verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeiten ===

Eine <math>n</math>-dimensionale kompakte flache Mannigfaltigkeit heißt ''verallgemeinerte Hantzsche-Wendt-Mannigfaltigkeit'', wenn die Holonomiegruppe <math>H</math> isomorph zu <math>(\mathbb Z/2\mathbb Z)^{n-1}</math> ist.

== Weblinks ==

* [https://mat.ug.edu.pl/~aszczepa/Olsztyn.pdf Hantzsche-Wendt flat manifolds] (PDF; 456 kB)

== Literatur ==

* Wolf, Joseph A.: ''Spaces of constant curvature.'' Sixth edition. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2011. ISBN 978-0-8218-5282-8

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Riemannsche Mannigfaltigkeit]]
[[Kategorie:Theorie geometrischer Strukturen]]

Flache Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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