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2025-01-07T18:25:20Z

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Der '''Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski''', benannt nach [[Czesław Ryll-Nardzewski]], ist ein Satz aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunktes]] einer Familie gewisser Abbildungen einer [[kompakter Raum|kompakten]], [[konvexe Menge|konvexen Menge]] in sich.

== Formulierung des Satzes ==
Sei <math>E</math> ein [[lokalkonvexer Raum]], zum Beispiel ein [[normierter Raum]], und <math>C\subset E</math> sei eine nicht-leere [[schwache Topologie|schwach]]-[[kompakter Raum|kompakte]] konvexe Menge. Weiter sei <math>\mathcal S</math> eine nicht-leere Familie von Abbildungen <math>T:C\rightarrow C</math> mit folgenden Eigenschaften:
# <math>\mathcal S</math> ist eine [[Halbgruppe]], das heißt: Für alle <math>T_1,T_2\in \mathcal S </math> gilt <math>T_1\circ T_2\in \mathcal S</math>.
# Jedes <math>T\in \mathcal S</math> ist schwach-stetig und [[Affine Abbildung|affin]], Letzteres heißt für <math>x,y\in C</math> und <math>\alpha \in [0,1]</math> gilt <math>T(\alpha x+(1-\alpha)y) = \alpha T(x)+(1-\alpha)T(y)</math>.
# <math>\mathcal S</math> ist ''nicht-kontrahierend'', das heißt für zwei verschiedene Punkte <math>x,y\in C</math> liegt 0 nicht im Abschluss von <math>\{T(x)-T(y); T\in {\mathcal S}\}</math>.

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von <math>\mathcal S</math>, das heißt: Es gibt ein <math>x_0\in C</math>, so dass <math>T(x_0)=x_0</math> für alle <math>T\in \mathcal S</math>.

== Bemerkungen ==
* Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus <math>\mathcal S</math> einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
* Die Voraussetzung, dass <math>\mathcal S</math> nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus <math>\mathcal S</math> [[Isometrie]]n eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den ''Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski'': Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

== Anwendung ==
Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des [[Haar-Maß]]es auf einer kompakten [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math>. Der Raum <math>E=M(G)</math> der endlichen [[Borel-Maß]]e auf <math>G</math> ist der [[Dualraum]] des Raumes <math>C(G)</math> der stetigen Funktionen auf <math>G</math> und trägt daher die [[schwach-*-Topologie]], die <math>M(G)</math> zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist.
Als konvexe Menge nimmt man <math>C:=\{\mu\in M(G); \mu \ge 0, \mu(1)=1\}</math>.
Für <math>f\in C(G)</math> und <math>x\in G</math> seien <math>\tilde{f}, {}_xf,f_x \in C(G)</math> durch die Formeln <math>\tilde{f}(y):=f(y^{-1}), {}_xf(y):=f(xy), f_x(y):=f(yx)</math> erklärt. Definiere weiter <math>S_0,S_1,L_x,R_x:M(G)\rightarrow M(G)</math> durch
* <math>S_0\, :=\, id_{M(G)}</math>
* <math>S_1(\mu)(f)\, :=\, \mu(\tilde{f})</math>
* <math>L_x(\mu)(f)\, :=\, \mu({}_xf)</math>
* <math>R_x(\mu)(f)\, :=\, \mu(f_x)</math>
Dann ist <math>{\mathcal S}:=\{S_iL_xR_y; i\in\{0,1\}, x,y\in G\}</math> eine Halbgruppe von Isometrien, die <math>C</math> in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als [[Haar-Maß]] nachgewiesen werden kann.

== Quellen ==
* [[John B. Conway]]: ''A Course in Functional Analysis'', Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
* C. Ryll-Nardzewski: ''On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces'', Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Ryll-Nardzewski, Fixpunktsatz von]]

Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski - Versionsgeschichte

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