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2020-05-11T19:39:43Z

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Beim '''Fixpunktsatz von Lefschetz''' handelt es sich um einen [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] Satz, gemäß dem bei bestimmten [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]]en die Existenz eines [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkts]] gesichert ist. Grundlage des von [[Solomon Lefschetz]] 1926 bewiesenen<ref>S. Lefschetz: ''Intersections and transformations of complexes and manifolds'', Transactions American Mathematical Society 1926, Bd. 28, S. 1–49 ([http://www.ams.org/journals/tran/1926-028-01/S0002-9947-1926-1501331-3/S0002-9947-1926-1501331-3.pdf Online]; PDF; 4,3 MB)</ref> Satzes ist die sogenannte ''Lefschetz-Zahl'', bei der es sich um eine [[Dimensionslose Kennzahl|Kenngröße]] stetiger Abbildungen handelt, die mit Hilfe relativ abstrakter Konzepte der [[algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] definiert wird und eine [[Homotopie]]-[[Invariante (Mathematik)|Invariante]] ist.

Eine Verschärfung des Fixpunktsatzes ist die ''Fixpunktformel von Lefschetz'', bei welcher die Lefschetz-Zahl als Summe über ''Fixpunktindizes'' ausgedrückt wird. Als Spezialfall des Lefschetz’schen Fixpunktsatzes ergibt sich der [[Fixpunktsatz von Brouwer]] und eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes ist der [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz|Fixpunktsatz von Atiyah und Bott]] aus dem Bereich der [[Globale Analysis|Globalen Analysis]].

== {{Anker|Lefschetz-Zahl}} Lefschetz-Zahl ==
Die Lefschetz-Zahl lässt sich für jede stetige Selbstabbildung
:<math>f\colon X \rightarrow X</math>
auf einem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>X</math> definieren, deren sämtliche [[Bettizahl]]en, das sind die [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] der als [[Vektorraum|Vektorräume]] aufgefassten [[Singuläre Homologie|singulären Homologie-Gruppen]], endlich sind:
:<math>\Lambda_f:=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f_k|H_k(X,\mathbb{Q})),</math>
Bei den Summanden der alternierenden Summe handelt es sich um die [[Spur (Mathematik)|Spuren]] der auf den Homologie-Gruppen durch <math>f</math> induzierten [[Homomorphismus|Homomorphismen]] <math>f_k</math>. Lefschetz-Zahlen sind grundsätzlich ganze Zahlen. Aufgrund ihrer Definition ändern sie sich nicht beim Übergang zu einer [[Homotopie|homotopen]] Abbildung.

Die Lefschetz-Zahl zur identischen Abbildung ist gleich der [[Euler-Charakteristik]]
:<math>\chi(X) = \,\Lambda_{\mathrm{id}}.</math>

== Fixpunktsatz von Lefschetz ==
Beispielsweise im Fall, dass der topologische Raum eine endliche Triangulierung <math>K</math> besitzt (er ist dann insbesondere [[Kompakter Raum|kompakt]]), kann die Lefschetz-Zahl bereits auf dem Niveau des zugeordneten endlichen [[Kettenkomplex|Ketten-Komplexes]] <math>C_*(K,\mathbb{Q})</math> berechnet werden. Konkret gilt für eine simpliziale Approximation <math>f^K</math> der Abbildung <math>f</math> die sogenannte ''Lefschetz-Hopfsche-Spurformel''<ref>[[Heinz Hopf]]: ''A new proof of the Lefschetz formula on invariant points'', Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, Bd. 14 (1928), S. 149–153 ([http://www.pnas.org/content/14/2/149.full.pdf Online]; PDF; 421 kB)</ref>
:<math>\Lambda_f=\sum_{k\geq 0}(-1)^k\mathrm{Tr}(f^K_k|C_k(K,\mathbb{Q})).</math>
Bei einer fixpunktfreien Selbstabbildung <math>f</math>, das heißt einer Abbildung <math>f</math> ohne Punkte <math>x</math> mit <math>f(x)=x</math>, kann dann mittels einer genügend verfeinerten Triangulierung <math>\Lambda_f=0</math> nachgewiesen werden.

Umgekehrt muss damit jede Selbstabbildung <math>f</math> mit einer Lefschetz-Zahl <math>\Lambda_f\neq0</math> mindestens einen Fixpunkt besitzen. Dies ist die Aussage des Fixpunktsatzes von Lefschetz.

== Fixpunktformel von Lefschetz ==
Die Lefschetz-Zahl einer Abbildung hängt nur von deren Verhalten in [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] der Fixpunkt-Komponenten ab. Besitzt die Abbildung <math>f</math> nur isolierte Fixpunkte, kann die Lefschetz-Zahl durch die Formel
:<math>\Lambda_f = \sum_{x \in \operatorname{Fix}(f)} i(f,x)</math>
ausgedrückt werden. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{Fix}(f)</math> die endliche Menge der isolierten Fixpunkte und <math>i(f,x)</math> den Fixpunkt-Index zum Fixpunkt <math>x</math>.

Der Fixpunkt-Index kann als Multiplizität des betreffenden Fixpunktes aufgefasst werden: Ist <math>x</math> ein im [[Innerer Punkt|Inneren]] gelegener Fixpunkt eines [[Polyeder]]s <math>X</math>, dann ist sein Fixpunkt-Index <math>i(f,x)</math> gleich dem [[Abbildungsgrad]] der auf einer kleinen Sphäre um <math>x</math> definierten Abbildung
:<math>g(y) = \frac{y - f(y)}{|| y - f(y) ||}. </math>

== Der Fixpunktsatz von Brouwer als Spezialfall ==
Da bei der [[Abschluss (Topologie)|abgeschlossenen]] <math>n</math>-dimensionalen Einheitskugel <math>D^n</math> für alle <math>k\geq1</math> die Homologie-Gruppen <math>H_k(D^n, \mathbf{Q})</math> verschwinden, ist die Lefschetz-Zahl jeder Selbstabbildung auf <math>D^n</math> gleich 1. Jede solche Abbildung muss also mindestens einen Fixpunkt besitzen.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [http://www.galois-theorie.de/pdf/algebraische-topologie-fixpunkte.pdf Algebraische Topologie und Fixpunkte]. Einführender Überblicksartikel von [[Jörg Bewersdorff]]. (PDF-Datei; 179 kB)

== Literatur ==
* Robert F. Brown: ''Fixed Point Theory.'' In: [[Ioan James|I. M. James]]: ''History of Topology.'' Elsevier, Amsterdam u. a. 1999, ISBN 0-444-82375-1, S. 271–299.

[[Kategorie:Satz (Algebraische Topologie)|Lefschetz, Fixpunktsatz von]]

Fixpunktsatz von Lefschetz - Versionsgeschichte

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