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Der '''Fixpunktsatz von Brouwer''' ist eine Aussage aus der [[Mathematik]]. Er ist nach dem niederländischen Mathematiker [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer]] benannt und besagt, dass die [[Einheitskugel]] <math>D^n</math> die [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkteigenschaft]] hat. Mit Hilfe dieser Aussage kann man Existenzaussagen über Lösungen reeller, nichtlinearer Gleichungssysteme treffen.

== Aussage ==
Mit <math>D^n = \{x \in \R^n : \|x\| \leq 1 \}</math> wird die <math>n</math>-dimensionale Einheitskugel bezeichnet. Dann besitzt jede [[Stetige Funktion|stetige]] Abbildung <math>f: D^n \to D^n</math> mindestens einen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]].

In [[Quantor]]enschreibweise lässt sich die Aussage durch
:<math> \forall f \in C(D^{n},D^{n}): \exists x \in D^n : f(x) = x</math>
darstellen.

Oft wird Brouwers Fixpunktsatz anschaulich dadurch erklärt, dass man nach beliebig langem Umrühren eines Kaffees stets einen Punkt findet, der nach dem Rührvorgang wieder an der ursprünglichen Stelle (wie vor dem Rühren) ist, d. h. ein Fixpunkt ist.<ref>{{Literatur |Autor=Tristan Needham |Titel=Visual Complex Analysis |Verlag=Oxford University Press |Datum=1999-02 |ISBN=978-0198534464 |Seiten=354-355}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher |Titel=Mathematische Methoden für Ökonomen |Verlag=Springer |Datum=2017-11 |ISBN=9783662542460 |Seiten=105}}</ref> Dabei wird vereinfachend die [[brownsche Molekularbewegung]] vernachlässigt, d. h. die Kaffeemoleküle sind vor und nach dem Umrühren vollständig in Ruhe. Weiterhin sollen die Moleküle nicht diskret sein, sondern ein Kontinuum bilden. Der Inhalt der Tasse (d. h. der Kaffee) soll überdies [[Konvexe Menge|konvex]] geformt und homöomorph zur Einheitskugel <math>D^3</math> sein.<ref>{{Literatur |Autor=Fridtjof Toenniessen |Titel=Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie |Verlag=Springer |Datum=2017 |ISBN=978-3662549636 |Seiten=139-140}}</ref>

== Beweisidee ==
Mittels des [[Satz von Stone-Weierstraß|Approximationssatzes von Stone-Weierstraß]] kann man sich auf <math>\mathcal C^1</math>-Funktionen beschränken.

Nun nimmt man an, <math>f</math> habe keinen Fixpunkt. Dann ist <math>F\colon D^n\to S^{n-1}</math>, gegeben durch
:<math>F(x):=x + \left( \sqrt{1-|x|^2 + \left\langle x,\frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle^2 } - \left\langle x, \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} \right\rangle \right) \frac{x-f(x)}{|x-f(x)|} </math>,
[[Datei:Brouwer fixed point theorem retraction.svg|mini|Illustration von ''F'' in ''D<sup>2</sup>'']]
eine [[Wohldefiniertheit|wohldefinierte]] und [[glatte Abbildung]], die jedem Punkt in der Vollkugel den Schnittpunkt der Halb-Geraden von <math>f(x)</math> durch <math>x</math> mit der Sphäre zuordnet. <math>F</math> ist insbesondere eine Retraktion, d. h., für alle <math>x\in S^{n-1}</math> gilt <math>F(x)=x</math>.

Dies führt man auf einen Widerspruch, indem man zunächst zeigt, dass für <math>\omega^{n-1}:= F^1\, \mathrm dF^2\wedge\cdots\wedge \mathrm dF^n </math> gilt: <math>\mathrm d\omega^{n-1} = 0</math>. Dies sieht man leicht ein, da die [[Determinante]] der [[Jacobi-Matrix]] von F nach dem [[Satz von der inversen Funktion]] 0 sein muss.

Also gilt:
:<math> 0 = \int_{D^n} \mathrm d\omega^{n-1} = \int_{S^{n-1}} \omega^{n-1} </math>

nach dem [[Satz von Stokes]]. Auf der Sphäre ist <math>F</math> aber die Identität. Damit gilt also (wieder nach dem Satz von Stokes):
:<math> = \int_{S^{n-1}} x_1 \mathrm dx^2 \wedge \cdots \wedge \mathrm dx^n = {\rm vol}(D^n) \neq 0 </math>.

Andere Beweise benutzen das [[Lemma von Sperner]] (siehe Aigner, Ziegler, [[Das Buch der Beweise]], Kapitel 25) oder den [[Satz von Borsuk-Ulam]].

== Topologisch gleichwertige Formulierungen ==
Die Aussage des Brouwerschen Fixpunktsatzes in ihrem topologischen Kerngehalt lässt sich also wie folgt zusammenfassen:<ref name="Harzheim158">Harzheim: S. 158</ref>
* Die <math>(n-1)</math>-dimensionale [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>S^{n-1} </math> ist niemals ein [[Retrakt]] der <math>n</math>-dimensionalen Einheitskugel <math> D^n </math>.
Oder anders gesagt:
* Es gibt keine stetige Abbildung der <math>n</math>-dimensionalen Einheitskugel <math> D^n </math> auf die <math>(n-1)</math>-dimensionale Sphäre <math>S^{n-1} </math>, welche die Punkte der <math>S^{n-1} </math> fix lässt.

Damit gleichwertig ist die folgende Darstellung:<ref name="Harzheim158" />
* Eine Sphäre <math>S^{n-1} </math> ist nie ein [[zusammenziehbarer Raum]].
Oder anders gesagt:
* Die [[identische Abbildung]] <math>id_{S^{n-1}} </math> einer Sphäre <math>S^{n-1} </math> ist nicht [[nullhomotop]].

== Verallgemeinerungen ==
Mittels einer stetigen [[Transformation (Mathematik)|Transformation]] auf das [[Simplex (Mathematik)|Simplex]], das [[homöomorph]] zur Einheitskugel ist, lässt sich die Aussage des Satzes auf beliebige [[Kompakter Raum|kompakte]], [[Konvexe Menge|konvexe]] Mengen in einem endlichdimensionalen [[Banachraum]] übertragen:
: Sei <math>f</math> eine stetige Abbildung von einer [[Leere Menge|nichtleeren]], kompakten, konvexen [[Teilmenge]] eines endlichdimensionalen [[Banachraum]]es in sich selbst. Dann hat <math>f</math> einen Fixpunkt.
Auch diese Aussage wird manchmal als Fixpunktsatz von Brouwer bezeichnet, siehe hierzu auch seine Verallgemeinerung zum [[Fixpunktsatz von Schauder]].

=== Der Ausfüllungssatz ===
Die soeben angegebene Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes kann ihrerseits als Folgerung aus dem folgenden Satz gezogen werden, welcher auch als '''Ausfüllungssatz''' bezeichnet wird:<ref>Harzheim: S. 157–160</ref>
: Ist <math>\Omega </math> eine [[beschränkt]]e [[Offene Menge|offene]] Teilmenge des <math>\R^n </math> und <math>f \colon \overline{\Omega} \rightarrow \R^n</math> eine [[stetige Abbildung]] und dabei
::<math>f(x) = x </math> für alle <math>x \in \partial{\Omega}, </math>
: so gilt <math> f(\overline{\Omega}) \supset \Omega </math>.

Den Zusammenhang mit dem Ausfüllungssatz erhält man, wenn man einbezieht, dass jeder endlichdimensionale Banachraum einem <math> \R^n </math> [[topologisch äquivalent]] ist und dass jede darin enthaltene kompakte, konvexe Teilmenge eine Menge von der Art der obigen <math> \overline{\Omega} </math> darstellt.

Der Ausfüllungssatz selbst ergibt sich aus einer direkten Anwendung der Eigenschaften des [[Abbildungsgrad]]es.<ref>Harzheim: S. 157</ref>

== Literatur ==
* [[Piers Bohl]]: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0127 ''Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage''.] In: ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', 127, 1904, S. 179–276
* [[Jacques Hadamard]]: ''Note sur quelques applications de l’indice de Kronecker''. In: [[Jules Tannery]]: ''Introduction à la théorie des fonctions d’une variable'' (Band 2). 2. Auflage. A. Hermann & Fils, Paris 1910, S. 437–477 (französisch) {{archive.org|introductionla02tannuoft|Blatt=436}}
* [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L. E. J. Brouwer]]: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0071 ''Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten''.] (Juli 1910), Mathematische Annalen 71, 25. Juli 1911, S. 97–115 ([https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0071 ''Berichtigung''.] 23. Januar 1912, S. 598)
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis.'' Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 593.
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Einführung in die Kombinatorische Topologie
|Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-07016-X
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim%2C%20Egbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=24&mx-pid=533264 MR0533264]}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Brouwer fixed point theorem|audio=0|video=0}}
* {{MathWorld |id=BrouwerFixedPointTheorem |title=Brouwer Fixed Point Theorem}}
* [http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Topologie/top.pdf Mengentheoretische Topologie.] (PDF; 1,72 MB) Skript (deutsch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Algebraische Topologie)|Brouwer, Fixpunktsatz von]]

Fixpunktsatz von Brouwer - Versionsgeschichte

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