imported>Mathze am 11. August 2025 um 01:45 Uhr

2025-08-11T01:45:40Z

Neue Seite

Der '''Fixpunktsatz von Banach''', auch als '''banachscher Fixpunktsatz''' bezeichnet, ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] aus der [[Funktionalanalysis]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Er gehört zu den [[Fixpunktsatz|Fixpunktsätzen]] und liefert neben der Existenz und der Eindeutigkeit eines [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunktes]] auch die Konvergenz der [[Fixpunktiteration]]. Somit ist die Aussage [[Beweis (Mathematik)#Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise|konstruktiv]]. Es wird also ein Verfahren zur Bestimmung des Fixpunktes sowie eine Fehlerabschätzung für ebendieses angegeben.

Mit dem Fixpunktsatz von Banach lässt sich beispielsweise die Konvergenz von iterativen Verfahren wie dem [[Newton-Verfahren]] zeigen und der [[Satz von Picard-Lindelöf]] beweisen, der Grundlage der Existenztheorie [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] ist.

Der Satz ist nach [[Stefan Banach]] benannt, der ihn 1922 in seiner Dissertation zeigte.<ref> Werner: ''Funktionalanalysis.'' 2011, S. 197.</ref>

== Aussage ==
Gegeben seien ein [[vollständiger metrischer Raum]] <math> (X, d) </math>, beispielsweise ein [[Banach-Raum]] mit der Metrik <math>d(x,y)=\Vert x-y\Vert</math>, und eine nichtleere, [[abgeschlossene Menge]] <math> M \subset X </math>. Sei
:<math> \varphi \colon M \to M </math>

eine [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktion]] mit Kontraktionszahl <math> k \in [0,1)</math>. Das bedeutet, es gilt
:<math>d\left(\varphi(x),\varphi(y) \right) \leq k \cdot d(x,y)</math> für alle <math> x,y \in M </math>.

Außerdem sei die Folge <math> (x_n)_{n \in \N} </math> iterativ definiert durch
:<math> x_{n+1}= \varphi(x_n) </math>

für einen beliebigen Startwert <math> x_0 </math> aus <math> M </math>.

Unter den obigen Voraussetzungen gilt nach dem Fixpunktsatz von Banach:
:Es existiert genau ein <math> \tilde x \in M</math>, so dass
::<math> \varphi (\tilde x )= \tilde x </math>

:ist. Für alle <math> x_0 \in M </math> gilt außerdem
::<math> \lim_{n \to \infty} x_n = \tilde x </math>

Die Abbildung <math> \varphi </math> besitzt also einen eindeutig bestimmten [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]] und dieser stimmt für alle Startwerte der oben angegebenen Iterationsvorschrift mit dem Grenzwert der Iteration überein.

== Veranschaulichung ==
[[Datei:Landkarte Banach.png|mini|220x220px|Veranschaulichung des Fixpunktsatzes von Banach]]
Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als ''Kontraktion'' (lat. con- „zusammen-“ und trahere „ziehen“) der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.<ref>{{Literatur |Autor=Michael Merz, Mario V. Wüthrich |Titel=Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler |Verlag=Vahlen |Datum=2013 |ISBN=9783800644834 |Seiten=433}}</ref> Es ist egal, wie groß die Landkarte ist; sie muss nur kleiner als die abgebildete Realität sein. Es ist ebenso unerheblich, wo genau sich die Landkarte befindet, solange sie innerhalb des kartografierten Bereichs liegt. In der nebenstehenden Abbildung befindet sich in der kleineren Landkarte also nach dem Fixpunktsatz von Banach genau ein Punkt, der mit dem in der realen Welt zusammenfällt.<ref>{{Internetquelle |autor=Edmund Weitz |url=https://www.youtube.com/watch?v=utvSi9SYn8E&t=399 |titel=Der Fixpunktsatz von Banach |werk=YouTube |datum=2020 |abruf=2022-12-14}}</ref>

== Fehlerabschätzung der Fixpunktiteration ==
Für die Iterationsvorschrift
:<math> x_{n+1}= \varphi(x_n) </math>

gelten folgende Fehlerabschätzungen:
*''[[A priori|A-priori]]-Fehlerabschätzung'': Es ist
:<math> d(x_n, \tilde x ) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_1, x_0) </math>
*''[[A posteriori|A-posteriori]]-Fehlerabschätzung'': Es ist
:<math> d(x_{n+1}, \tilde x ) \leq \frac{k}{1-k} d(x_{n+1}, x_n) </math>

Außerdem gilt die Abschätzung
:<math> d(x_{n+1}, \tilde x ) \leq k \cdot d(x_n, \tilde x ) </math>,

die [[Konvergenzgeschwindigkeit]] ist also linear.

== Bemerkung ==
In der Literatur finden sich teils von der oben angegebenen Aussage abweichende Formulierungen. Mögliche Unterschiede sind:
* Die Eigenschaft der Abbildung <math> \varphi </math>, eine Kontraktion zu sein, wird stattdessen über die [[Lipschitz-Stetigkeit]] formuliert. Dann muss <math> \varphi </math> auf <math> M </math> Lipschitz-stetig sein mit einer Lipschitz-Konstante <math> L=k < 1 </math>.
* Der zugrunde liegende Raum ist ein anderer. So wird der Satz teils auf [[Banachraum|Banachräumen]] (das heißt auf vollständigen [[Normierter Raum|normierten Räumen]]) formuliert oder auf <math> \R </math>. Die Aussage wie auch der Beweis bleiben identisch, es ist dann lediglich <math> d(x,y)= \| y-x \| </math> im Falle eines normierten Raumes <math> (X, \| \cdot \|) </math> beziehungsweise <math> d(x,y)= |y-x| </math> im reellen Fall zu setzen.

== Beweisskizze ==
Der Beweis der Aussage basiert darauf, zu zeigen, dass die Folge <math> (x_n)_{n \in \N} </math> eine [[Cauchy-Folge]] ist, die dann aufgrund der [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] des zugrundeliegenden Raumes konvergiert.

Zuerst gilt aufgrund der Kontraktivität
:<math> d(x_{n}, x_{n+1}) = d(\varphi(x_{n-1}), \varphi(x_{n})) \leq k\cdot d(x_{n-1}, x_{n}) </math>

Durch wiederholtes Anwenden dieser Abschätzung erhält man
:<math> d(x_{n}, x_{n+1}) \leq k^n d(x_{0}, x_{1}) </math> (1)

Des Weiteren folgt durch wiederholtes Abschätzen mit der [[Dreiecksungleichung]]
:<math> d(x_n, x_{n+m}) \leq d(x_n, x_{n+1})+ d(x_{n+1}, x_{n+2})+ \dots + d(x_{n+m-1}, x_{n+m})</math> (2)

Schätzt man die einzelnen Summenglieder der rechten Seite von (2) durch (1) ab, so erhält man
:<math> d(x_n, x_{n+m}) \leq k^n (1+k+k^2+ \dots + k^{m-1} )\,d(x_0,x_1) \leq \frac{k^n}{1-k} \,d(x_0,x_1) </math>

Die letzte Abschätzung folgt hier mithilfe der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]], da <math> k < 1 </math>. Aus der Abschätzung folgt direkt, dass <math> (x_n)_{n \in \N} </math> eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit existiert dann der Grenzwert
:<math> \tilde x := \lim_{n \to \infty} x_n </math>

der Folge. Da <math> \varphi </math> eine Abbildung von <math> M </math> in sich selbst ist, und <math> M </math> abgeschlossen ist, ist <math> \tilde x </math> in der Menge <math> M </math> enthalten.

Da <math> \varphi </math> stetig ist (da kontraktiv), folgt
:<math> \tilde x = \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \varphi(x_{n-1}) = \varphi(\tilde x ) </math>,

der Grenzwert <math> \tilde x </math> ist also Fixpunkt.

Angenommen, es existieren zwei Fixpunkte <math> \tilde x, \tilde y </math>. Dann ist
:<math> \varphi( \tilde x )= \tilde x </math> und <math> \varphi( \tilde y )= \tilde y </math>.

Aus der Kontraktivität folgt dann
:<math> d(\tilde x, \tilde y)= d(\varphi( \tilde x ),\varphi( \tilde y )) \leq k \cdot d (\tilde x, \tilde y ) </math>.

Da aber <math> k < 1 </math> ist, muss <math> d (\tilde x, \tilde y ) = 0 </math> sein. Daher ist <math> \tilde x = \tilde y </math>.

== Anwendungen ==

Dieser Satz wird in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt, die wichtigsten sind:
* das [[Satz von der impliziten Funktion|inverse- und implizite-Funktionen-Theorem]]
* der [[Satz von Picard-Lindelöf|Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf]] für gewöhnliche Differentialgleichungen

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] spielt die Fixpunktiteration eine wichtige Rolle. Beispiele hierfür sind die Konvergenztheorien numerischer Verfahren, wie das [[Newton-Verfahren]] oder das [[Splitting-Verfahren]].

== Umkehrung ==
Die folgende, auch als ''Satz von [[Czesław Bessaga|Bessaga]]'' bekannte Aussage stellt eine Umkehrung des Fixpunktsatzes dar:
* Ist <math>\varphi\colon M\rightarrow M</math> eine Funktion auf einer nichtleeren Menge, so dass <math>\varphi</math> und alle Iterierten <math>\varphi^n</math> genau einen Fixpunkt haben, so gibt es zu jedem <math>k \in (0,1)</math> eine vollständige Metrik <math>d_k</math> auf <math>M</math>, so dass <math>\varphi</math> bzgl. <math>d_k</math> eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten <math>k</math> ist.<ref>William A. Kirk, Brailey Sims (Hrsg.): ''Handbook of Metric Fixed Point Theory.'' Kluwer, Dordrecht u. a. 2001, ISBN 0-7923-7073-2, Theorem 8.1.</ref>

== Literatur ==
* Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: ''Numerische Mathematik.'' 5., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.
* {{Literatur |Autor = [[Otto Forster]] |Titel = Analysis 2 |TitelErg = Differentialrechnung im <math> \mathbb{R}^n </math>, gewöhnliche Differentialgleichungen |Auflage = 10., verbesserte |Verlag = Springer Spektrum |Ort = Wiesbaden |Jahr = 2013 |ISBN = 978-3-658-02356-0 |DOI = 10.1007/978-3-658-02357-7}}
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Auflage=7., korrigierte und erweiterte Auflage|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21016-7|DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Banach fixed-point theorem|Fixpunktsatz von Banach}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Satz (Topologie)|Banach, Fixpunktsatz von]]

Fixpunktsatz von Banach - Versionsgeschichte

imported>Mathze am 11. August 2025 um 01:45 Uhr