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2022-11-08T18:54:11Z

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Ein '''Fixpunktsatz''' ist in der [[Mathematik]] ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkten]] einer Abbildung <math>f\colon X\to X</math> garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes <math>x\in X</math> mit <math>f(x)\,=\,x</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-55407-4 |Abruf=2022-11-06}}</ref>

== Überblick ==
In vielen [[Teilgebiet der Mathematik|Teilgebieten der Mathematik]] sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der [[Fixpunktsatz von Banach]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Stefan Banach]] |Titel=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales |Sammelwerk=Fundamenta Mathematicae |Band=3 |Nummer=1 |Datum=1922 |ISSN=0016-2736 |Seiten=133–181 |Online=https://eudml.org/doc/213289 |Abruf=2022-11-06}}</ref> Mit dessen Hilfe kann der [[Satz von Picard-Lindelöf]] bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]] sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Michael Růžička |Titel=Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-62190-5 |DOI=10.1007/978-3-662-62191-2 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-62191-2 |Abruf=2022-11-06}}</ref>

Der [[Fixpunktsatz von Schauder]] ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den [[Satz von Peano]] herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der [[Nichtlineare Funktionalanalysis|nichtlinearen Funktionalanalysis]].<ref name=":0" /> So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] formulieren.

== Liste von Fixpunktsätzen ==
Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

=== Analysis und Funktionalanalysis ===
* [[Fixpunktsatz von Banach]]
* [[Nichtexpansive Abbildung#Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk|Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk]]
* [[Fixpunktsatz für ganze Funktionen]]
* [[Fixpunktsatz von Kakutani]]
* [[Fixpunktsatz von Krasnoselski]]
* [[Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski]]
* [[Fixpunktsatz von Schauder]]
* [[Fixpunktsatz von Weissinger]]

=== Differentialgeometrie ===
* [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz]]

=== Gruppentheorie ===
* [[Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)]]
* [[Borelscher Fixpunktsatz]]

=== Verbandstheorie ===
* [[Fixpunktsatz von Tarski und Knaster]]

=== Logik ===
* [[Fixpunktsatz von Gödel]]

=== Topologie ===
* [[Fixpunktsatz von Brouwer]]
* [[Fixpunktsatz von Lefschetz]]
* [[Leray-Schauder-Alternative]]

=== Informatik ===
* [[Fixpunktsatz von Kleene]]

=== Kategorientheorie ===
* [[Fixpunktsatz von Lawvere]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Topics in Fixed Point Theory |Hrsg=Saleh Almezel, Qamrul Hasan Ansari, Mohamed Amine Khamsi |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Jahr=2014 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-01585-9 |DOI=10.1007/978-3-319-01586-6}}
* {{Literatur |Autor=[[Klaus Deimling]] |Titel=Nonlinear Functional Analysis |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Jahr=1985 |ISBN=978-3-662-00549-1 |DOI=10.1007/978-3-662-00547-7}}
* {{Literatur |Autor=Vittorino Pata |Titel=Fixed Point Theorems and Applications |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Jahr=2019 |Sprache=en |Reihe=UNITEXT |BandReihe=116 |ISBN=978-3-030-19669-1 |DOI=10.1007/978-3-030-19670-7}}
* {{Literatur |Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]] |Titel=Funktionalanalysis |Auflage=8., vollständig überarbeitete Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Jahr=2018 |Reihe=Springer-Lehrbuch |ISBN=978-3-662-55406-7 |DOI=10.1007/978-3-662-55407-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]] |Titel=Applied Functional Analysis |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Jahr=1995 |Sprache=en |Reihe=Applied Mathematical Sciences |BandReihe=108 |HrsgReihe=[[Jerrold Marsden]], L. Sirovich |ISBN=978-1-4612-6910-6 |DOI=10.1007/978-1-4612-0815-0}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Fixpunktsatz - Versionsgeschichte

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