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2025-11-01T00:32:35Z

Als vollständigen Satz umformuliert (ist so flüssiger)

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[[Datei:Fixpunkt.svg|mini|Darstellung eines Fixpunktes. Dieser ist – nach den im Text wiedergegebenen Kriterien – ''anziehend'', das heißt ''stabil''.]]
In der [[Mathematik]] versteht man unter einem '''Fixpunkt''' einen Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird. Beispielsweise sind die Fixpunkte einer [[Achsenspiegelung]] die Punkte der Spiegelachse. Eine [[Punktspiegelung]] hat nur einen Fixpunkt, nämlich deren Zentrum.

== Definition ==
Sei <math>X</math> eine Menge und <math>f \colon X \to X</math> eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. Dann heißt ein Punkt <math>x \in X</math> Fixpunkt, falls er die [[Gleichung]] <math>f(x) = x</math> erfüllt.

== Anmerkungen ==
* Ist <math>f \colon X \to X</math> eine [[lineare Abbildung]] auf dem [[Vektorraum]] <math>X</math>, dann nennt man die Fixpunkte von <math>f</math> auch ''Fixvektoren''. Da jede lineare Abbildung den [[Nullvektor]] auf sich selbst abbildet, ist der Nullvektor immer ein Fixvektor. Wenn es neben dem Nullvektor noch weitere Fixvektoren gibt, so sind diese [[Eigenwertproblem|Eigenvektoren]] von <math>f</math> bezüglich des [[Eigenwertproblem|Eigenwerts]] 1.
* Für eine nichtlineare Abbildung ist die dazugehörige Fixpunktgleichung ein Beispiel für eine [[nichtlineare Gleichung]].
* Jede Fixpunktgleichung <math> f(x)=x </math> lässt sich in eine [[Nullstelle]]ngleichung <math>g(x)=0</math> umschreiben, indem man beispielsweise <math>g(x)=f(x)-x</math> setzt. Ebenso lässt sich jede Nullstellengleichung <math>g(x)=0</math> in eine Fixpunktgleichung <math>f(x)=x</math> überführen, indem man z. B. <math>f(x)=x+g(x)</math> setzt. So lassen sich zumindest theoretisch Verfahren zum Lösen einer der beiden Gleichungsformen auch für die jeweils andere verwenden.

== Fixpunkte in der Numerik ==
Darüber hinaus gilt folgendes: Der Fixpunkt ist [[Stabilität (Numerik)|stabil]] bzw. [[Stabilität (Numerik)|instabil]], wenn <math>\left|f{}'(x)\right|</math>, der Betrag der Ableitung der betrachteten Funktion, im Schnittpunkt <math><1</math> bzw. <math>>1</math> ist. Dies bedeutet, dass man die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] auf den Punkt selbst anwenden kann, ohne ihn zu verändern, wobei eine Störung wenig (bzw. viel) ändert, indem sie zum Fixpunkt hinführt (bzw. vom Fixpunkt wegführt).

Mit dem Fixpunktproblem verwandt ist das Problem der „iterierten Abbildungen“, das in der [[Numerik]] und der [[Chaosforschung]] wichtig ist. Mit einem vorgegebenen Anfangswert <math>x_1</math> beginnend, springt man hier nach dem Schema <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> treppenartig zwischen der Funktion <math> f(x)</math> und der Diagonale hin und her, und zwar zum Fixpunkt hin oder weg von ihm, je nachdem ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist. Einzelheiten sind u. a. dem unten angegebenen Buch von H.G. Schuster<ref>Heinz Georg Schuster: ''Deterministisches Chaos. Eine Einführung.'' VCH, Weinheim u. a. 1994, ISBN 3-527-29089-3.</ref> zu entnehmen.

== Verbandstheorie ==

Auch in der [[Verbandstheorie]] spielen Fixpunkte eine Rolle. Ist <math>(M,\leq)</math> eine partielle Ordnung und <math>f: (M,\leq) \to (M,\leq)</math> eine [[Monotone Abbildung|ordnungserhaltende Abbildung]], so interessiert man sich auch für die Menge aller Fixpunkte <math>\mathrm{Fix}(f)</math>. Diese Menge ist eine [[Teilmenge]] von <math>M</math> und wird selbst durch <math>\leq</math> geordnet.

Dann kann man sich fragen, welche Aussagen man über <math> (\mathrm{Fix}(f),\leq) </math> treffen kann. Eines der Hauptresultate ist der [[Fixpunktsatz von Tarski und Knaster]], mit dem man auch den [[Satz von Cantor-Bernstein-Schröder]] beweisen kann.<ref>Rudolf Berghammer: ''Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen'', 2. Auflage, Springer, 2012, S. 65–94</ref>

== Beispiele ==
* Die Parabelfunktion <math>f \colon \R \to \R</math>, die durch <math>f(x) = x^2</math> gegeben ist, hat die zwei Fixpunkte 0 (stabil) und 1 (instabil).
* Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] und <math>\operatorname{Id} \colon V \to V</math> die [[identische Abbildung]], also die Abbildung mit <math>\operatorname{Id} x = x</math>, dann sind alle <math>x \in V</math> Fixpunkte (bzw. Fixvektoren).
* Sei <math>\mathcal{S}</math> der [[Schwartz-Raum]] und <math>\mathcal{F} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{S}</math> die [[kontinuierliche Fourier-Transformation]]. Für die [[Dichtefunktion]] <math>\varphi(x)=\tfrac {1}{\sqrt{2\pi}^n} \cdot e^{-\tfrac {1}{2} x^2}</math> der <math>n</math>-dimensionalen [[Normalverteilung]] gilt <math>\mathcal{F}(\varphi) = \varphi</math>. Daher ist die Dichtefunktion der Normalverteilung ein Fixpunkt der Fourier-Transformation.
* Das [[Newton-Verfahren]] <math>x_{n+1} = x_n - \tfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}</math> entspricht der Fixpunktgleichung <math>g(x) = x - \tfrac{f(x)}{f'(x)} \,</math>.

== Raum mit Fixpunkteigenschaft ==
{{Hauptartikel|Fixpunkteigenschaft}}
=== Definition ===
Ein [[topologischer Raum]] <math>X</math> besitzt die Fixpunkteigenschaft, falls jede [[Stetige Funktion|stetige Abbildung]] <math>f \colon X \to X</math> einen Fixpunkt hat.<ref>[[Ilka Agricola]], [[Thomas Friedrich (Mathematiker)|Thomas Friedrich]]: ''Vektoranalysis. Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik.'' 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1016-8, S. 36.</ref>

=== Beispiele ===
* Die [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] <math>S^n</math> besitzt die Fixpunkteigenschaft nicht, denn die [[Punktspiegelung]] am Mittelpunkt hat keinen Fixpunkt.
* Eine Vollkugel <math>D^n</math> hat die Fixpunkteigenschaft. Dies besagt der [[Fixpunktsatz von Brouwer]].

== Fixpunktsätze ==
{{Hauptartikel|Fixpunktsatz}}

Die [[Existenzbeweis|Existenz]] von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Sätze. Der [[Fixpunktsatz von Banach|Banachsche Fixpunktsatz]] besagt, dass eine [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktion]] eines vollständigen [[metrischer Raum|metrischen Raumes]] genau einen Fixpunkt besitzt.
Wenn eine [[Selbstabbildung]] nur [[Stetige Funktion|stetig]] ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der [[Fixpunktsatz von Schauder]] die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des [[Fixpunktsatz von Brouwer|Fixpunktsatzes von Brouwer]], der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen [[Einheitskugel]] in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im <math>\mathbb{R}^n</math> oder im <math>\Complex^n</math>.

Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] und eine Fehlerabschätzung der [[Fixpunktiteration|Fixpunkt-Iteration]] <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> im betrachteten Raum. Dieser Satz ergibt somit ein konkretes [[Numerische Mathematik|numerisches]] Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

== Siehe auch ==

* [[Fixgerade]]
* [[Fixpunktgerade]]
* [[Autonome Differentialgleichung]] für Fixpunkte in der qualitativen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
* [[Hyperbolischer Fixpunkt]]

== Literatur ==
* Vasile I. Instrăţescu: ''Fixed Point Theory. An Introduction'' (= ''Mathematics and its Applications.'' Bd. 7). D. Reidel, Dordrecht u. a. 1981, ISBN 90-277-1224-7.
* {{cite book | last=Shashkin | first=Yuri A. |title=Fixed Points | publisher=American Mathematical Society | edition=1. | isbn=0-8218-9000-X | year=1991 | url=https://books.google.com.gi/books?id=Kf8TiuXgNYQC |language=en }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Verbandstheorie]]

Fixpunkt (Mathematik) - Versionsgeschichte

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