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2026-04-24T14:36:13Z

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Die '''Finanzmathematik''' ist eine Disziplin der [[Angewandte Mathematik|angewandten Mathematik]], die sich mit Themen aus dem Bereich von Finanzdienstleistern, wie etwa Banken oder Versicherungen, beschäftigt. Im engeren Sinne wird mit Finanzmathematik meist die bekannteste Unterdisziplin, die Bewertungstheorie, bezeichnet, d. h. die Ermittlung theoretischer [[Barwert]]e von Finanzprodukten. Sowohl von der Art der betrachteten Geschäfte als auch der methodischen Grundlagen ist die Finanzmathematik von der [[Versicherungsmathematik]] zu unterscheiden. Letztere befasst sich mit der Bewertung von Versicherungsdienstleistungen.

Die Finanzmathematik fußt maßgeblich auf der [[Stochastik]], wobei auch Ergebnisse aus der [[Funktionalanalysis]], der [[Numerik]] und der [[Kombinatorik]] von Gebrauch sind. Insbesondere modelliert man [[Finanzinstrument]]e durch [[stochastische Prozesse]] und besonders relevant ist für die Bewertung (unter einem [[Martingalmaß]]) solcher die Theorie der ([[Semimartingal|Semi-]])[[Martingal]]e. Man unterscheidet zwischen der Theorie in diskreter und in stetiger Zeit. Für die fortgeschrittene Finanzmathematik ist des Weiteren die Theorie der ([[Stochastische partielle Differentialgleichung|stochastischen]]) [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und das [[Malliavin-Kalkül]]<ref>{{Literatur |Autor=Eric Fournié, Jean-Michel Lasry, Jérôme Lebuchoux und Pierre-Louis Lions |Titel=Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance |Sammelwerk=Finance and Stochastics |Band=3 |Datum=1999 |Seiten=391–412 |DOI=10.1007/s007800050068}}</ref> relevant.

Die Finanzmathematik stellt die mathematische Grundlage zur [[Kapitalmarkttheorie]].

== Geschichte ==
{{Siehe auch|Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung}}Als Geburtsstunde der modernen Finanzmathematik gilt das Jahr 1900, in dem der Franzose [[Louis Bachelier]] seine [[Dissertation]] ''Théorie de la spéculation'' veröffentlichte. Allerdings fand sie erst über 50 Jahre später Verbreitung, nachdem sie 1964 ins Englische übersetzt worden war.<ref>{{Literatur |Autor=Ernst Eberlein |Titel=Grundideen moderner Finanzmathematik |Sammelwerk=Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |Band=6 |Nummer=3 |Datum=1998-01-01 |ISSN=0942-5977 |DOI=10.1515/dmvm-1998-0307 |Online=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/dmvm-1998-0307/html |Abruf=2025-08-09}}</ref> Viele der heute üblichen Techniken wurden hier zum ersten Mal beschrieben und zu Ehren Bacheliers trägt die internationale finanzmathematische Gesellschaft heute den Namen [[Bachelier Society]].

In den 1950er Jahren wurde die moderne [[Portfoliotheorie]] durch [[Harry Markowitz]] begründet.<ref>{{Literatur |Autor=Harry Markowitz |Titel=Portfolio Selection |Sammelwerk=The Journal of Finance |Band=7 |Nummer=1 |Datum=1952 |ISSN=0022-1082 |DOI=10.2307/2975974 |Seiten=77–91 |JSTOR=2975974 }}</ref> Auf ihr beruhend wurden in der finanzmathematischen Forschung verschiedene Wege zur Lösung des Problems der [[Portfoliooptimierung]] entwickelt. Zur selben Zeit führten verschiedene Wirtschaftswissenschaftler wie [[Harry Roberts (Wirtschaftswissenschaftler)|Harry Roberts]], [[Maurice Fontaine Maury Osborne|Maurice Osborne]], [[Paul Cootner]], [[Benoît Mandelbrot]] oder [[Paul A. Samuelson|Paul Samuelson]] stochastische Konzepte in der [[Kapitalmarkttheorie]] ein.

In den 1970er Jahren blühte die Forschung dank des Konzepts der [[Arbitragefreiheit]] auf. [[Stephen Ross]] entwickelte 1976 seine [[Arbitragepreistheorie]]<ref>{{Literatur |Autor=Stephen A Ross |Titel=The arbitrage theory of capital asset pricing |Sammelwerk=Journal of Economic Theory |Band=13 |Nummer=3 |Datum=1976-12-01 |ISSN=0022-0531 |DOI=10.1016/0022-0531(76)90046-6 |Seiten=341–360}}</ref>. Drei Jahre später bewiesen [[J. Michael Harrison|John Michael Harrison]] und [[David Kreps]] den [[Fundamentalsatz der Arbitragepreistheorie]], welcher die nun mathematisch fundierte [[risikoneutrale Bewertung]] von Finanzderivaten ermöglicht.<ref>{{Literatur |Autor=J. Michael Harrison, David M Kreps |Titel=Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets |Sammelwerk=Journal of Economic Theory |Band=20 |Nummer=3 |Datum=1979-06-01 |ISSN=0022-0531 |DOI=10.1016/0022-0531(79)90043-7 |Seiten=381–408}}</ref> Ein Jahr zuvor nutzte [[William F. Sharpe|William Sharpe]] schon ein vereinfachtes [[Binomialmodell]] zur Veranschaulichung der [[Optionspreistheorie]], das 1979 durch [[John C. Cox]], Stephen Ross und [[Mark Rubinstein]] im [[Cox-Ross-Rubinstein-Modell|nach ihnen benannten Modell]] ausgebaut wurde.<ref>{{Literatur |Autor=John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark Rubinstein |Titel=Option pricing: A simplified approach |Sammelwerk=Journal of Financial Economics |Band=7 |Nummer=3 |Datum=1979-09-01 |ISSN=0304-405X |DOI=10.1016/0304-405X(79)90015-1 |Seiten=229–263}}</ref>

Das bekannteste Ergebnis der Finanzmathematik ist das 1973 aufgestellte [[Black-Scholes-Modell]]. Es entwickelte sich sehr schnell zum Standardmodell für die Bewertung von Optionen auf [[Aktie]]n und wurde später unter dem Namen Black'76 auf weitere [[Basiswert]]e erweitert. Das Modell geht davon aus, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Aktien für einen Zeitpunkt in der Zukunft einer [[Logarithmische Normalverteilung|logarithmischen Normalverteilung]] entspricht, und legt den Schwankungen des Aktienkurses einen [[Wiener-Prozess]] zugrunde.

== Anwendungsgebiete ==
Bis heute hat sich das Gebiet der Finanzmathematik stark ausgeweitet. Dies betrifft sowohl die Zahl der Anlageklassen als auch die Zahl der Modelle. Zu den behandelten Anlageklassen gehören Aktien, Wechselkurse, Zinsen, Kreditausfallrisiken (die je nach Modell anders modelliert werden), aber auch Preise von Rohwaren (z. B. Erdöl, Getreide, Kaffee, Zucker), Strom oder wetterabhängige Kenngrößen (z. B. Anzahl der Sonnenstunden über einen gewissen Zeitraum an einer bestimmten Wetterstation). Es werden auch Portfolios verschiedener Anlageklassen (hybride Produkte) kombiniert. Zu den wichtigsten Modellen gehören [[Sprungprozess]]e (''Jump Diffusion''), [[Wurzel-Diffusionsprozess#Heston-Modell für stochastische Volatilität|stochastische]] und lokale Volatilitätsmodelle sowie die Gruppe der [[Zinsstrukturmodell]]e.

=== Bewertung von Finanzderivaten ===
{{Hauptartikel|Optionspreistheorie}}
Ziel der Bewertungstheorie ist es, den [[Barwert]] eines [[Finanzprodukt]]s zu ermitteln.

[[Derivat (Wirtschaft)|Derivative Finanzprodukte]] sind solche, deren Zahlungen von anderen Finanzprodukten, den sogenannten [[Basiswert]]en, abhängen. Beispiele für nicht-derivative Finanzprodukte sind gehandelte [[Aktie]]n und [[Anleihe]]n. Beispiele für derivative Finanzprodukte sind [[Terminkontrakt]]e und [[Option (Wirtschaft)|Optionen]]. Der Preis eines Finanzproduktes, welches in ausreichender Stückzahl (d. h. mit hinreichender [[Liquidität]]) gehandelt wird, bestimmt sich gewöhnlich über Angebot und Nachfrage. Wird ein Finanzprodukt nicht oder mit unzureichender Liquidität gehandelt und ist dieses Finanzprodukt ein derivatives Finanzprodukt, dessen Grundprodukte gehandelt werden, so ist die Bestimmung eines „fairen Wertes“ und damit eine Preisfindung mit finanzmathematischen Methoden möglich. Dabei kommt das Grundprinzip der Replikation zum Einsatz, welches ein mathematisches Modell der (gehandelten) Basiswerte benötigt.

Die derivativen Finanzprodukte werden nach Art der Optionalität und Basiswert unterschieden. Letztere werden historisch in die Anlageklassen [[Aktie]], [[Zins]], [[Wechselkurs]] und [[Bonität]] unterteilt. Entsprechend existiert für die jeweilige Anlageklasse eine umfangreiche Modellierungstheorie (z. B. [[Aktienmodell]]e und [[Zinsstrukturmodell]]e).

=== Financial Engineering ===
Unter dem Anglizismus ''Financial Engineering'' wird das Entwickeln und Optimieren von numerischen Lösungsverfahren zu finanzmathematischen Problemen sowie ihre Implementierung verstanden.

=== Portfoliooptimierung ===
{{Hauptartikel|Portfoliotheorie}}Im Rahmen der [[Portfoliotheorie]] wird jene [[Handelsstrategie (Finanzmathematik)|Handelsstrategie]] (auch ''Portfolio'' genannt) ermittelt, die das verfügbare Vermögen bestmöglich unter den verfügbaren Anlage verteilt, sodass der höchstmögliche Ertrag erreicht wird.

=== Renten- & Zinsrechnung ===
Die [[Zinsrechnung]] ist das älteste Teilgebiet der Finanzmathematik. Sie wird in Form der [[Rentenrechnung]] in der modernen Forschung weitergeführt.

== Finanzmathematik im Berufsumfeld ==
Die Finanzmathematik wird aufgrund der benötigten Vorkenntnisse in der Stochastik und weiteren mathematischen Disziplinen an Universitäten oder Hochschulen gelehrt.

Die Finanzmathematik wird von allen Handelsteilnehmern auf den je nach Anlageklasse verschiedenen Handelsmärkten gebraucht. [[Großbank]]en und andere [[Institutioneller Anleger|institutionelle Anleger]] betreiben Abteilung zur [[Quantitative Analyse (Finanzen)|quantitativen Analyse]]. Auch im Rahmen der Ausbildung zum [[Aktuar (Versicherungswirtschaft)|Aktuar]] werden finanzmathematische Konzepte gelehrt.

== Literatur ==
=== Übersichtsartikel ===
* [[Wilhelm Lorey]]: ''Finanzmathematik.'' In: ''Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.'' Band 44, Verlag B. G. Teubner, Leipzig / Berlin 1934, S. 10–13 ([https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN37721857X_0044?tify=%7B%22pages%22%3A%5B16%5D%2C%22pan%22%3A%7B%22x%22%3A0.504%2C%22y%22%3A0.754%7D%2C%22view%22%3A%22fulltext%22%2C%22zoom%22%3A0.349%7D uni-goettingen.de]).
* Tim Johnson: ''What Is Financial Mathematics?'' In: ''The Best Writings On Mathematics 2010.'' Princeton University Press, Princeton 2011, S. 43–46.

=== Lehrbücher ===
* Jutta Arrenberg: ''Finanzmathematik.'' 3. Auflage, De Gruyter, Oldenbourg 2015.
* Jürgen Kremer: ''Einführung in die diskrete Finanzmathematik.'' Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-25394-7.
* [[Volker Oppitz (Finanzmathematiker)|Volker Oppitz]], [[Volker Nollau]]: ''Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung.'' Carl Hanser Verlag, München 2003, ISBN 3-446-22463-7.
* Stefan Reitz: ''Mathematik der modernen Finanzwelt. Derivate, Portfoliomodelle und Ratingverfahren.'' Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-0943-8.
* [[Paul Wilmott]]: ''Paul Wilmott on Quantitative Finance.'' John Wiley, Chichester 2000, ISBN 0-471-87438-8.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Mathematical finance|Finanzmathematik}}
* [https://www.gabler-banklexikon.de/definition/finanzmathematik-57930 Eintrag] im [[Gabler Wirtschaftslexikon|Gabler Banklexikon]]
* Studienfachprofil ([https://web.arbeitsagentur.de/berufenet/beruf/94061 grundständig] oder [https://web.arbeitsagentur.de/berufenet/beruf/93616 weiterführend]) der Bundesagentur für Arbeit
* Finanzmathematik mit grafischen und symbolischen Taschenrechnern ([https://rfdz.ph-noe.ac.at/material/t3/t3finanz1.pdf erster] und [https://rfdz.ph-noe.ac.at/material/t3/t3finanz2.pdf zweiter] Teil): Unterrichtsbehelf bereitgestellt durch die [[Pädagogische Hochschule Niederösterreich]]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4017195-4}}

[[Kategorie:Finanzmathematik| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Finanzmathematik - Versionsgeschichte

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