imported>Butäzigä am 30. Oktober 2021 um 12:29 Uhr

2021-10-30T12:29:44Z

Neue Seite

Als '''Finaltopologie''' bezüglich einer Abbildungsfamilie bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] die [[Feinere Topologie|feinste Topologie]] auf einer Menge <math>X</math>, die diese Familie von Abbildungen aus anderen topologischen Räumen nach <math>X</math> [[Stetige Funktion|stetig]] macht. Die Finaltopologie entsteht also durch „Vorwärtsübertragung“ der auf den Urbildräumen vorhandenen topologischen Strukturen auf die Menge <math>X</math>. Dies ist die Anwendung eines allgemeineren Konzepts aus der [[Kategorientheorie]] auf topologische Räume, mit der wichtige „natürliche Räume“ wie Quotienten- und Summenräume in einen gemeinsamen Rahmen gestellt werden können. Je nach Kontext spricht man dann auch von [[Quotiententopologie]] bzw. '''Summentopologie'''.

== Definition ==
Gegeben ist eine Menge <math>X</math>, eine Familie von topologischen Räumen <math>(Y_i, T_i)</math> und eine Familie von Abbildungen <math>f_i \colon Y_i \to X</math>. Eine Topologie <math>S</math> auf <math>X</math> heißt Finaltopologie bezüglich der Familie <math>(Y_i, T_i, f_i)</math> wenn sie eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:
[[Datei:FinalTopology-01.png|rechts|Universelle Eigenschaft der Finaltopologie]]
# <math>S</math> ist die feinste Topologie auf <math>X</math>, bezüglich der alle Abbildungen <math>f_i</math> stetig sind.
# Eine Teilmenge <math>O</math> von <math>X</math> ist offen (also in <math>S</math>) genau dann, wenn alle ihre Urbilder <math>f_i^{-1}(O)</math> in den jeweiligen Urbildräumen offen sind.
# Eine Funktion <math>g</math> von <math>X</math> in einen topologischen Raum <math>Z</math> ist genau dann stetig, wenn <math>g \circ f_i </math> stetig ist für jedes <math>f_i</math> der Familie.

== Bemerkungen ==
Die drei Formulierungen der Definition beleuchten unterschiedliche Aspekte der Finaltopologie:
# Hier wird sie als [[Infimum]] gewisser Topologien im [[Verband (Mathematik)|Verband]] aller Topologien auf <math>X</math> angesehen: Durch jede einzelne Abbildung <math>f_i</math> wird aus dem Urbildraum <math>Y_i</math> eine topologische Struktur <math>S_i</math> auf <math>X</math> übertragen und die Finaltopologie <math>S</math> ist der Durchschnitt all dieser Topologien. Mit dieser Definition lässt sich die Existenz der Finaltopologie beweisen.
# Diese Definition ist konstruktiv. Mit ihr kann man für beliebige Teilmengen von <math>X</math> entscheiden, ob sie in der Finaltopologie offen sind. Hieraus ergibt sich leicht die Eindeutigkeit dieser Topologie.
# Die abstrakte Charakterisierung rechtfertigt die Bezeichnung „Final“-Topologie und gestattet es, diese Strukturen im allgemeineren Rahmen der [[Kategorientheorie]] zu betrachten. Die [[Initialtopologie]] kann durch die hierzu [[Dualität (Mathematik)|duale]] Eigenschaft charakterisiert werden.

== Beispiele ==
* Die [[Quotiententopologie]] ist die Finaltopologie bezüglich der kanonischen Projektion auf den Quotientenraum.
* Der topologische Summenraum einer Familie <math>X_i</math> von topologischen Räumen ist die Finaltopologie auf der disjunkten Vereinigungsmenge der Familie bezüglich der kanonischen Inklusionsabbildungen. In diesem Fall nennt man die Finaltopologie auch die ''Summentopologie''.
* Die Kombination der Summen- und Quotientenraumbildung, also das „Verkleben“ mehrerer topologischer Räume, kann mit der Finaltopologie in einem Schritt vorgenommen werden.

== Literatur ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 2. neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-09799-6 (''Hochschultext'').

[[Kategorie:Topologische Struktur]]
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Finaltopologie - Versionsgeschichte

imported>Butäzigä am 30. Oktober 2021 um 12:29 Uhr