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2024-09-27T08:13:32Z

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Im mathematischen Teilgebiet der [[Kategorientheorie]] ist ein '''filtrierter Kolimes''' (auch '''direkter Limes''' oder '''induktiver Limes''') ein spezieller [[Kolimes]]. Er kann in gewissen Fällen als Verallgemeinerung der [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung]] betrachtet werden.

== Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen) ==
Die Indexmenge <math>(I,\le)</math> sei eine feste [[gerichtete Menge]].

Ein '''induktives System''' <math>(X_i,f_{ij})</math> besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] oder [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]]) <math>X_i</math> für die Indizes <math>i\in I</math> sowie Übergangsabbildungen
:<math>f_{ij}\colon X_i\to X_j</math> für <math>i\le j</math>,
die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen
#<math>f_{ii} = \operatorname{id}_{X_i}</math> für alle <math>i</math> die identische Abbildung auf <math>X_i</math> und
#<math>f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij}</math> für alle <math>i \le j \le k</math>.

Der '''induktive Limes''' eines induktiven Systems <math>(X_i,f_{ij})</math> ist ein Objekt <math>\mathrm{colim}_nX_n</math> zusammen mit Abbildungen
:<math>u_i\colon X_i\to\mathrm{colim}_n\,X_n</math>,
die mit den <math>f_{ij}</math> kompatibel sind, d. h.
:<math>u_i = u_j\circ f_{ij}</math> für <math>i\le j</math>
mit der folgenden universellen Eigenschaft:
:Kompatible Systeme von Abbildungen der <math>X_i</math> in ein beliebiges Testobjekt <math>T</math> entsprechen Abbildungen von <math>\mathrm{colim}_nX_n</math> nach <math>T</math>.
:[[Datei:Diagramm zum Kolimes.png]]
Das bedeutet: Wann immer Abbildungen <math>t_i\colon X_i\to T</math> gegeben sind, für die
:<math>t_i=t_j \circ f_{ij}</math> für <math>i\le j</math>
gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung
:<math>c\colon\mathrm{colim}_n\,X_n\to T</math>,
von der die Abbildungen <math>t_i</math> „herkommen“, d. h.
:<math>t_i = c\circ u_i</math>.

Der '''induktive Limes''' eines induktiven Systems (''X''<sub>''i''</sub>, ''f''<sub>''i'',''j''</sub>) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von [[Äquivalenzklasse]]n
:<math>\coprod_i X_i/\sim</math>
in der disjunkten Vereinigung <math>\coprod_i X_i</math>. Hierbei
sollen Elemente <math>x \in X_i</math> und <math>y \in X_j</math> äquivalent sein, wenn ein <math>k\in I</math> existiert, für das <math>f_{ik}(x) = f_{jk}(y) \in X_k</math> gilt.

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Filtrierter Kolimes - Versionsgeschichte

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