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2025-10-20T18:47:24Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''Filter''' eine [[Leere Menge|nichtleere]] [[Gerichtete Menge|nach unten gerichtete]] [[Oberhalb-Menge]] innerhalb einer umgebenden [[Ordnungsrelation|halbgeordneten Menge]]. Der Begriff des Filters geht auf den französischen Mathematiker [[Henri Cartan]]<ref name="Compt.Rend" /> zurück.

Anschaulich betrachtet enthält ein Filter Elemente, die ''zu groß'' sind, als dass sie den Filter ''passieren'' könnten. Ist ''x'' ein Filterelement, so ist auch jedes in der gegebenen Ordnungsrelation größere Element ''y'' ein Filterelement, und je zwei Filterelemente ''x'' und ''y'' haben einen gemeinsamen ''Kern'' ''z'', der selbst schon ''zu groß'' ist, als dass er den Filter ''passieren'' könnte.

Filter in der umgekehrten Halbordnung heißen ''Ideale der Ordnung'' oder ''Ordnungsideale''.

== Anwendungen ==
Filter treten in der Theorie der Ordnungen und [[Verband (Mathematik)|Verbände]] auf. Ein wichtiger Spezialfall sind ''Mengenfilter,'' d. h. Filter in der durch die Mengeninklusion halbgeordneten [[Potenzmenge]] einer Menge. Mengenfilter werden besonders in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] verwendet und erlauben dort die Verallgemeinerung des Begriffs der [[Folge (Mathematik)|Folge]] für topologische Räume ohne abzählbare [[Umgebungsbasis]]. So bildet das System der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] <math>\mathcal{U}(x)</math> eines Punktes <math>x</math> in einem topologischen Raum einen speziellen Filter, den ''Umgebungsfilter.'' Umgebungsfilter können in Räumen, die kein [[Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllen, zur Definition von [[Netz (Topologie)|Netzen]] verwendet werden, die die Rolle der [[Folge (Mathematik)|Folgen]] aus der elementaren [[Analysis]] teilweise übernehmen. Man fasst dazu einen Filter als [[gerichtete Menge]] auf und betrachtet Netze auf dieser gerichteten Menge.

Mit einem [[Ultrafilter]] (der kein Hauptfilter ist) auf den natürlichen Zahlen lassen sich die [[Hyperreelle Zahl|hyperreellen Zahlen]] der [[Nichtstandardanalysis]] ''konstruieren''. Allerdings wird die Existenz solcher Filter selbst nur durch das [[Auswahlaxiom]] – also nicht konstruktiv – gesichert.

== Allgemeine Definitionen ==
Eine nichtleere Teilmenge <math>F</math> einer [[Quasiordnung]] <math>\boldsymbol P = (P,\leq)</math><ref>d. h. einer Menge <math>P</math> mit einer reflexiven und transitiven Relation <math>\leq</math>, auch ''Präordnung'', ''schwache Halbordnung'' oder ''schwache partielle Ordnung'' genannt. Insbesondere fällt jede [[Halbordnung|halbgordnete]] Menge unter diese Voraussetzung.<math>\leq</math></ref> heißt ''Filter'', wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

# <math>F</math> ist eine Oberhalb-Menge: <math>\forall x\in F\, \forall y\in P\colon x\leq y\Rightarrow y\in F</math>,
#:<small>(Das heißt, alle (mit <math>x</math> in Relation stehenden) Elemente, die größer als <math>x</math> sind, sind Teil des Filters.)</small>
# <math>F</math> ist nach unten gerichtet: <math>\forall x,y\in F\,\exists z\in F\colon z\leq x \wedge z\leq y</math>.
#:<small>(Das heißt, <math>F</math> ist bzgl. der Umkehrrelation der betrachteten Halbordnung gerichtet.)</small>

Der Filter <math>F</math> heißt ''eigentlicher'' (oder ''echter'') ''Filter'', wenn er nicht gleich <math>P</math> ist, sondern eine echte Teilmenge <math> F \sub P</math>.<ref name=Bold2002>Stefan Bold: [https://www.math.uni-bonn.de/ag/logik/Data/Diplomarbeiten/Finaldiplom.pdf AD und Superkompaktheit], Mathematisches Institut der Rheinischen Friedrich-Wilhelm-Universität Bonn, April 2002, Seite 2–3</ref>

Jeder Filter auf einer quasi- oder halbgeordneten Menge <math>P</math> ist Element der Potenzmenge von <math>P</math>. Die Menge der auf derselben (schwach)<ref>''schwach halbgeordnet'' syn. ''quasigeordnet''</ref> halbgeordneten Menge definierten Filter wird durch die Inklusionsrelation <math>\sube</math> ihrerseits halbgeordnet. Sind <math>F_1</math> und <math>F_2</math> Filter auf derselben (schwach) halbgeordneten Menge <math>P</math>, so heißt <math>F_2</math> ''feiner'' als <math>F_1</math> (<math>F_1</math> ''gröber'' als <math>F_2</math>), wenn <math>F_1 \subseteq F_2</math>. Ein maximal feiner echter Filter heißt [[Ultrafilter]].

=== Filter in Verbänden ===
Während diese Definition von ''Filter'' die allgemeinste für beliebige quasi- oder halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für [[Verband (Mathematik)|Verbände]] definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge <math>F</math> des Verbandes <math>(P,\leq)</math>, die eine Oberhalb-Menge und abgeschlossen unter endlichen [[Infimum|Infima]] ist, d. h., für alle <math>x,y\in F</math> ist auch <math>x\wedge y\in F</math>.

=== Hauptfilter ===
Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element <math>p</math> enthält, ist <math>\{x\in P\mid p\leq x\}</math>. Filter dieser Form heißen ''Hauptfilter'' und <math>p</math> heißt ein Hauptelement des Filters. Der zu <math>p</math> gehörende Hauptfilter wird als <math>\operatorname\uparrow p</math> geschrieben.

=== Primfilter ===
Ein ''echter'' Filter <math>F</math> in einem Verband <math>P</math> mit der Zusatzeigenschaft
: <math>a\vee b \in F \iff (a\in F \vee b\in F)</math>
heißt ''Primfilter''.

=== Ideale ===
Der zum Filter duale Begriff ist der des ''Ideals'': Ein Ideal (auch ''[[Ordnungsideal]]'') ist eine gerichtete Unterhalb-Menge in einer Quasi- oder Halbordnung.<ref name=Bold2002 />

Betrachtet man in einer halbgeordneten Menge <math>\boldsymbol P = (P,\leq)</math> die [[Umkehrrelation]] <math>\leq^{-1}={\geq}</math>, so ist auch <math>(P,\geq)</math> wieder eine halbgeordnete Menge.
Die so durch [[Dualität (Mathematik)|Dualisierung]] entstehende Struktur wird als <math>\boldsymbol P^{\text{opp}} = (P,\geq)</math> notiert.

Ein Filter in <math>\boldsymbol P^{\text{opp}}</math> ist ein Ideal in <math>\boldsymbol P</math> und umgekehrt.

Ebenso erhält man aus einem (distributiven) Verband <math>(P,\vee,\wedge)</math> durch Vertauschen der beiden Verbandsverknüpfungen ''Supremum'' <math>\vee</math> und ''Infimum'' <math>\wedge</math> wieder einen (distributiven) Verband. Sind in <math>P</math> ein kleinstes Element 0 und ein größtes Element 1 vorhanden, so werden sie ebenfalls vertauscht.

== Beispiele ==
=== Teilbarkeit ===
In <math>(\N,\mid)</math>, dem beschränkten Verband der natürlichen Zahlen unter Teilbarkeit, ist für alle <math>n\in\N</math> die [[Teilermenge]] <math>T_n</math> von <math>n</math> ein Ideal. <math>T_n \!\! \setminus \! \{n\}</math> ist genau dann ein Ideal, wenn <math>n=0</math>.

=== Nullstrahlen ===
Wir betrachten in der sogenannten ''punktierten komplexen Ebene'' <math>\Complex^\times := \Complex{\setminus}\{0\}</math> die Teilmengen <math>s_\alpha = \{z\in\Complex^\times \mid \operatorname{Arg}(z)=\alpha\},</math> für <math>0 \leq \alpha < 2\pi,</math> der ''(offenen) Strahlen aus der Null'' (kurz: ''Nullstrahlen).'' Auf <math>\Complex^\times</math> definieren wir nun eine Halbordnung <math>\trianglelefteq</math>, indem wir <math>z_1\in\Complex^\times</math> als kleiner-gleich <math>z_2\in\Complex^\times</math> betrachten, falls <math>z_1</math> und <math>z_2</math> auf demselben Strahl liegen und <math>z_1</math> betraglich kleiner oder gleich <math>z_2</math> ist. Das heißt

: <math>\begin{align}
z_1 \trianglelefteq z_2 & :\Leftrightarrow & \operatorname{Arg}(z_1) = \operatorname{Arg}(z_2) & \ \ \text{und} & \left| z_1 \right| \leq \left| z_2 \right|
\end{align}</math>
für <math>z_1, z_2 \in \Complex^\times</math>.

In der halbgeordneten Menge <math>\left(\Complex^\times, \trianglelefteq\right)</math> sind nun ''alle'' Filter gegeben durch die Nullstrahlen und deren offene und abgeschlossene Teilstrahlen

: <math>s(z) := \{z'\in\Complex^\times \mid z \trianglelefteq z', z \neq z'\} \subset \bar s(z) := \{z'\in\Complex^\times \mid z \trianglelefteq z'\} \subset s_\alpha</math>

für alle <math>z\in\Complex^\times</math> mit <math>\alpha = \operatorname{Arg}(z).</math> Jeder dieser Filter ist echt. Außerdem folgt aus <math>z_1 \trianglelefteq z_2</math>, dass <math>\bar s(z_1)</math> feiner <math>s(z_1)</math> feiner <math>\bar s(z_2)</math> feiner <math>s(z_2)</math>; insbesondere ist <math>s_\alpha</math> (<math>0 \leq \alpha < 2\pi</math>) ein maximal-feiner echter Filter und damit ein Ultrafilter. Für jede komplexe Zahl <math>z\in\Complex^\times</math> ist der abgeschlossene Strahl <math>\bar s(z)</math> ihr Hauptfilter <math>\operatorname\uparrow z</math> mit <math>z</math> als (einzigem) Hauptelement.

Die Ordnungsideale in <math>\left(\Complex^\times, \trianglelefteq\right)</math> entsprechen den fehlenden Strahlenabschnitten zwischen der Null und dem Beginn jedes Teilstrahls. Ist der Teilstrahl offen, enthält er also nicht seinen Aufpunkt, so fehlt auch im entsprechenden Ordnungsideal der Aufpunkt – analog ist er im abgeschlossenen Fall in Teilstrahl und Ideal jeweils enthalten. (Filter und Ordnungsideal sind also nicht [[disjunkt]]!) Aus dem Nullstrahl ergibt sich kein entsprechendes Ordnungsideal, da der „fehlende“ Strahlenabschnitt durch die leere Menge gegeben wäre (die kein Filter sein kann). Die Ideale haben also die Form:
: <math>s^{-1}(z) = (s_\alpha \setminus s(z))\setminus\{z\} = \{z'\in\Complex^\times \mid z \trianglerighteq z', z \neq z'\}</math> und
: <math>\bar s^{-1}(z) = (s_\alpha \setminus \bar s(z))\cup\{z\} = \{z'\in\Complex^\times \mid z \trianglerighteq z'\}</math>
für alle <math>z\in\Complex^\times</math> und <math>\alpha = \operatorname{Arg}(z)</math>.

== Mengenfilter ==
=== Definition ===
Ein wichtiger Spezialfall eines Filters – vor allem in der Topologie – sind Mengenfilter. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion [[Halbordnung|halbgeordneten]] Potenzmenge <math>\left(\mathcal{P}(X),\subseteq\right)</math> einer beliebigen nichtleeren Menge <math>X</math> aus. Eine echte Teilmenge <math>\mathcal{F}\subset\mathcal{P}(X)</math> ist genau dann ein ''Mengenfilter'' oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

# <math>\emptyset\notin\mathcal{F}</math> und <math>X\in\mathcal{F}</math>,
# <math>F,G\in\mathcal{F}\ \Rightarrow\ F\cap G\in\mathcal{F}</math>,
# <math>F\in\mathcal{F},\;G\supset F\ \Rightarrow\ G\in\mathcal{F}</math>.

Ein Mengenfilter, für den gilt
: <math>F \sube X \Rightarrow F \in \mathcal{F} \lor X\!\setminus\!{F} \in \mathcal{F}</math>,
der also zu jeder Teilmenge diese selber oder ihr Komplement enthält, heißt Ultrafilter auf <math>X</math>.<ref name=Bold2002 />
{{Hauptartikel|Ultrafilter}}
Diese Definitionen stimmen mit den oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von <math>X</math> einen Verband bildet.

=== Beispiele für Mengenfilter ===
* <math>\mathcal{F}_C:=\{M\subseteq X\mid C\subseteq M\}</math> heißt der ''von <math>C\subseteq X</math> erzeugte Hauptfilter.''
* Ist <math>(X,\tau)</math> ein topologischer Raum mit Topologie <math>\tau</math>, dann heißt <math>\mathcal{U}(x):=\left\{U\subseteq X\mid \exists O\in\tau\colon x\in O \land O\subseteq U\right\}</math> Umgebungsfilter von <math>x</math>.
* Ist <math>S</math> eine [[unendliche Menge]], dann heißt <math>\{M\subseteq S\mid S\setminus M \text{ endlich}\}</math> [[Fréchet-Filter]] der Menge <math>S</math>.
* Ist <math>\mathcal{B}</math> ein nichtleeres [[Mengensystem]] von <math>\mathcal{P}(X)</math> mit folgenden Eigenschaften
*# <math>\emptyset\notin\mathcal{B}</math> und
*# <math>\forall B_1,B_2\in\mathcal{B}\ \exists B_3\in\mathcal{B}\colon B_3\subseteq B_1\cap B_2</math>,
: so heißt <math>\mathcal{B}</math> ''Filterbasis'' in <math>X</math>. Ein solches Mengensystem erzeugt auf natürliche Weise einen Filter mittels
:: <math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}}:=\langle\mathcal{B}\rangle:=\left\{M\subseteq X\mid \exists B\in\mathcal{B}\colon B\subseteq M\right\}</math>.
: Dieser heißt der ''von <math>\mathcal{B}</math> erzeugte Filter.''
* Ist <math>f\colon X\rightarrow Y</math> eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und <math>\mathcal{F}</math> ein Filter auf <math>X</math>, so bezeichnet <math>f(\mathcal{F})</math> den von der Filterbasis <math>\{B\subseteq Y\mid \exists F\in\mathcal{F}\colon f(F)=B\}</math> erzeugten Filter. Dieser heißt ''Bildfilter von <math>\mathcal{F}</math> unter <math>f</math>.''<ref>Analog für Ideale.</ref>

=== Anwendungen in der Topologie ===
{{Hauptartikel|Filterkonvergenz}}
In der Topologie ersetzen ''Filter'' oder ''[[Netz (Topologie)|Netze]]'' die dort für eine befriedigende ''Konvergenztheorie'' unzureichenden ''[[Folge (Mathematik)|Folgen]]''. Insbesondere die Filter als ''sich verengende Mengensysteme'' haben sich hier als gut geeignet zur ''Konvergenzmessung'' erwiesen.<ref>Führer: ''Allgemeine Topologie mit Anwendungen.'' 1977, S. 9.</ref> Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in [[Metrischer Raum|metrischen Räumen]].

Ist <math>(X,\tau)</math> ein topologischer Raum, dann heißt ein Filter <math>\mathcal{F}</math> genau dann ''konvergent gegen <math>x\in X</math>'', wenn <math>\mathcal{U}(x)\subseteq\mathcal{F}</math>, d. h., wenn <math>\mathcal{F}</math> ''feiner'' ist als der [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungsfilter]] <math>\mathcal{U}(x)</math> von <math>x</math>, d. h., alle (es genügen offene) Umgebungen von <math>x</math> enthält. Schreibweise: <math>\mathcal{F}\rightarrow x</math>.

So ist zum Beispiel eine Abbildung <math>f\colon X\rightarrow Y</math> zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig in <math>x \in X</math>, wenn <math>f(\mathcal{F})\rightarrow f(x)</math> für jeden Filter <math>\mathcal{F}</math> auf <math>X</math> mit <math>\mathcal{F}\rightarrow x</math> gilt.

In einem nicht-[[Hausdorff-Raum|hausdorffschen]] [[Topologischer Raum|Raum]] kann ein Filter gegen ''mehrere'' Punkte konvergieren. [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]] lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.<ref>Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 44.</ref>

== Siehe auch ==
* [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)]]
* [[Anfangsstrecke]]
* [[Anfangsstück]]
* [[Cauchy-Filter]]

== Literatur ==
Zu den allgemeinen, ordnungs- und verbandstheoretischen Begriffsbildungen und ihren Anwendungen:
Zu den Anwendungen in der mengentheoretischen Topologie:
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
* Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: ''Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie'' (= ''Berliner Studienreihe zur Mathematik.'' Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
* {{Literatur
|Autor=Lutz Führer
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6}}

'''Originalarbeiten'''
* Henri Cartan: ''Théorie des filtres.'' In: ''Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences.'' Band 205, 1937, {{ISSN|0001-4036}}, S. 595–598, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f594.image Digitalisat].
* Henri Cartan: ''Filtres et ultrafiltres.'' In: ''Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences.'' Band 205, 1937, S. 777–779, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f776.image Digitalisat].

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references>
<ref name="Compt.Rend">
{{Literatur
|Autor=Cartan
|Titel=Comptes rendus
|Band=205
|Datum=
|Seiten=595–598, 777–779}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Filter (Mathematik) - Versionsgeschichte

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