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2023-02-07T06:22:19Z

Beispiel

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'''Feynman-Parameter''' sind ein Hilfsmittel zur Lösung von [[Integralrechnung|Integralen]], wie sie typischerweise in [[Quantenfeldtheorie]]n bei der Berechnung von [[Störungstheorie (Quantenfeldtheorie)|virtuellen Korrekturen]], sogenannten Loop- oder Schleifen-Diagrammen auftreten. Solche Integrale über den [[Viererimpuls]] enthalten ein Produkt aus verschiedenen quadratischen Funktionen im Nenner und haben in der Regel keine „einfache“ Lösung. Bei der nach [[Richard Feynman]] benannten Lösungsmethode wird der Integrand selbst als Integral über einen zusätzlich eingeführten unphysikalischen Parameter, den Feynman-Parameter, geschrieben.<ref name="f_trick">[https://www.youtube.com/watch?v=GW86SShcYbM Integral of ln(x) with Feynman's trick!] YouTube, Mu Prime Math</ref> Aufgrund des [[Satz von Fubini|Satzes von Fubini]] darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Indem nun zuerst die Integration über den Viererimpuls und danach die Integration über den Feynman-Parameter stattfindet, wird das Integral in eine leichter lösbare Form überführt.

== Grundlagen ==
Die Grundüberlegung bei der Verwendung des Feynman-Parameters speziell bei den in den Quantenfeldtheorien verwendeten Integralen ist die folgende mathematische Identität
:<math>\frac{1}{AB}= \frac{1}{A-B}\left(\frac{1}{B}-\frac{1}{A}\right) = \frac{1}{A-B}\int_B^A\frac{\mathrm dz}{z^2} = \int^1_0 \frac{\mathrm{d}u}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}</math>.
Aufgrund des Satzes von Fubini gilt nun
:<math>\begin{align}
\int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{AB} &= \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \int_0^1 \mathrm du \frac{1}{\left[uA +(1-u)B\right]^2} \\
&= \int_0^1 \mathrm du \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{\left[uA +(1-u)B\right]^2}.
\end{align}</math>
Dadurch tritt nicht mehr das Produkt von <math>A</math> und <math>B</math> sondern eine Summe in dem Integral auf. Sind beides quadratische Funktionen von <math>k</math>, lässt sich das Integral durch eine lineare Substitution weiter vereinfachen und in vierdimensionalen [[Polarkoordinaten]] lösen.

== Allgemeiner Fall ==
Für eine beliebige Anzahl Faktoren gilt mit der [[Delta-Distribution]] <math>\delta</math><ref name="kannike">Kristjan Kannike, [https://kodu.ut.ee/~kkannike/english/science/physics/notes/feynman_param.html Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function]</ref>
:<math>\frac{1}{A_1 A_2 \ldots A_n}=\frac{1}{\prod A_i}=(n-1)!\int^1_0 \mathrm{d}u_1 \cdots \int^1_0 \mathrm{d}u_n \frac{\delta(1-\sum u_i)}{\left[\sum u_i A_i\right]^n}.</math>

Eine weitere Verallgemeinerung ist
:<math>\frac{1}{\prod A_i^{\alpha_i}}=\frac{\Gamma(\sum \alpha_i)}{\prod \Gamma(\alpha_i)}\int^1_0 \mathrm{d}u_1 \cdots \int^1_0 \mathrm{d}u_n \frac{\delta(1 - \sum u_i)\prod u_i^{\alpha_i-1}}{\left[\sum u_i A_i\right]^{\sum \alpha_i}},</math>
wobei die Exponenten <math>\alpha_i</math> [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]] (mit positivem Realteil) sein können.

== Beispiel ==
Im Folgenden soll das Integral
:<math>I = \int\frac{\mathrm d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k-p)^2 (k^2-m^2)}</math>
berechnet werden. Mithilfe der Feynman-Parameter kann dieses Integral zu
:<math>I = \int_0^1 \mathrm du \int_0^1\mathrm dv \int \frac{\mathrm d^4k}{(2\pi)^4} \frac{\delta(u+v-1)}{[k^2 - 2u k\cdot p - vm^2]^2}</math>
umgeformt werden (der Einfachheit halber sei <math>p^2 = 0</math>). Eine Variablentransformation <math>l = k - up</math> mit <math>\mathrm dk = \mathrm dl</math> entfernt den in <math>k</math> linearen Term im Nenner. Nach Übergang mittels einer [[Wick-Rotation]] und der anschließenden Verwendung vierdimensionaler [[Kugelkoordinaten]] ergibt sich
:<math>I = \frac{2\mathrm i \pi^2}{(2\pi)^4} \int_0^1 \mathrm du \int_0^1 \mathrm dv \delta(u+v-1) \int_0^\infty \mathrm dr \frac{r^3}{(r^2 + vm^2)^2},</math>
wobei die verbleibenden Integrale elementar auswertbar sind. Für das Integral über <math>r</math> muss zur Berechnung noch ein [[Renormierung#Regularisierung|Regularisierungsschema]] gewählt werden, da es sonst divergiert.

== Literatur ==
* Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2, S. 189–195.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Feynmanparameter}}
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Richard Feynman]]

Feynman-Parameter - Versionsgeschichte

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