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2025-09-26T22:28:25Z

Einleitung konkretisiert

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Der '''Satz von Feynman-Kac''' ist ein Ergebnis der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], das z. B. in der [[Finanzmathematik]] Anwendung findet. Er verbindet [[Stochastischer Prozess|stochastische Prozesse]] aus der Wahrscheinlichkeitstheorie mit der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen]] [[Differentialgleichung]]en. Der Name geht auf [[Richard Feynman]] und [[Mark Kac]] zurück.

== Aussage des Satzes ==
Sei zunächst <math>X_t </math> ein an die [[Filtrierung_(Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtration]] <math>(F_t)_t</math> [[Adaptierter stochastischer Prozess|adaptierter Prozess]] und Lösung der stochastischen Differentialgleichung

:<math>dX_t = \sigma(t,X_t) dW_t + \mu(t,X_t )dt </math>.

<math>(X_t)_t</math> ist daher ein [[Itō-Prozess]]. Sei ferner

:<math> h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>

eine beschränkte, [[Borel-Maß|Borel-messbare]] Funktion und <math>g(t,x) = \mathbb{E}(h(X_T)\mid X_t=x)</math> die an die Information in <math>t</math> bedingte Erwartung ihres Wertes in <math>X_T</math>. Dann erfüllt <math>g</math> die partielle (nicht-stochastische!) Differentialgleichung

:<math>g_t(t,x) + g_x(t,x)\mu(t,x) + \frac{1}{2}g_{xx}(t,x)\sigma(t,x)^2 = 0</math>

mit der [[Randbedingung]] <math>g(T,x) = h(x)</math>.

Der Beweis verwendet die [[Martingal]]eigenschaft der bedingten Erwartung und die Tatsache, dass ein Itō-Prozess (gegeben in <math>g</math>) genau dann Martingal ist, wenn sein Driftterm verschwindet.

== Beispiel ==

Zum Beispiel könnte <math>h</math> die Auszahlung eines Finanzinstruments (etwa eine [[Kaufoption]]) sein, basierend auf dem Wert von <math>X_t</math> (etwa eine Aktie). Dann beschreibt <math>g</math> den Preisprozess dieses Instruments. <math>g_x</math> ist die Ableitung des Preises vom Basiswert, im Fall einer Option ist daher <math>\frac{g_x}{g}</math> ihr [[Option (Wirtschaft)#Delta|Delta]]. <math>\frac{g_t}{g}</math> ist im Fall einer Kaufoption das Theta.

== Literatur ==

* Bernt Øksendal: ''Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications.'' 6. Auflage, Springer, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-04758-2.
* John Michael Steele: ''Stochastic Calculus and Financial Applications.'' Springer, New York 2001, ISBN 0-387-95016-8.

{{SORTIERUNG:Feynmankacformel}}
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Richard Feynman]]

Feynman-Kac-Formel - Versionsgeschichte

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