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2026-02-01T18:30:35Z

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[[Datei:Triangle-9-point-circle.svg|250px|mini|Feuerbachkreis (M=Mittelpunkt)]]
Der '''Feuerbachkreis''', auch '''Feuerbachscher Kreis''' oder '''Neun-Punkte-Kreis''', ist ein [[Kreise am Dreieck|besonderer Kreis]] im [[Dreieck]], der nach [[Karl Wilhelm Feuerbach]] benannt ist. Auf ihm liegen neun ausgezeichnete Punkte:
* die Mittelpunkte der Seiten (D, E, F);
* die [[Fußpunkt]]e der [[Höhe (Geometrie)|Höhen]] (G, H, I);
* die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (J, L, K) (das sind die Mittelpunkte der Strecken zwischen jeweils einer Dreiecksecke und dem [[Höhenschnittpunkt]] S des Dreiecks ABC).<ref>{{Literatur |Autor=Max Koecher, Aloys Krieg |Titel=Ebene Geometrie |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49327-3 |Seiten=166}}</ref>

== Sonderfälle ==
* Der Feuerbachkreis geht genau dann durch eine Ecke des Dreiecks (nämlich den Scheitel des [[Rechter Winkel|rechten Winkels]]), wenn das Dreieck [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklig]] ist (Bild „rechtwinklig“).
* Der Feuerbachkreis berührt genau dann eine Dreiecksseite (nämlich die [[Grundseite|Basis]]), wenn das Dreieck [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]] ist (Bild „gleichschenklig“).
* Der Feuerbachkreis stimmt genau dann mit dem [[Inkreis]] überein, wenn das Dreieck [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitig]] ist (Bild „gleichseitig“).
<gallery heights="250" widths="250" perrow="3" class="skin-invert-image" id="BilderSonder">
01-Dreieck, rechtwinklig, Feuerbachkreis-2.svg|Rechtwinkliges Dreieck mit Feuerbachkreis (rot), die neun Punkte verteilen sich hier auf fünf unterschiedliche Positionen
01-Dreieck, gleichschenklig Feuerbachkreis.svg|Gleichschenkliges Dreieck mit Feuerbachkreis (rot), die neun Punkte verteilen sich hier auf acht unterschiedliche Positionen
01-Dreieck, gleichseitig Feuerbachkreis.svg|Gleichseitiges Dreieck mit Feuerbachkreis (rot) und Inkreis (grün), die neun Punkte verteilen sich hier auf sechs unterschiedliche Positionen
</gallery>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Triangle-9-point-circle-escribed-circles.svg|hochkant=1|mini|Feuerbachkreis, Inkreis und Ankreise]]
* Der Feuerbachkreis berührt den [[Inkreis]] des Dreiecks einschließend und die drei [[Ankreis]]e des Dreiecks ausschließend, diese Eigenschaft wird auch als der '''Satz von Feuerbach''' bezeichnet. Der Punkt, in dem sich Feuerbachkreis und Inkreis berühren, wird '''Feuerbachpunkt''' des Dreiecks genannt. (''Vorsicht:'' Manche, meist deutsche, Autoren bezeichnen den Mittelpunkt des Feuerbachkreises als „Feuerbachpunkt“ und dementsprechend die Existenz des Feuerbachkreises mit den in der Einleitung beschriebenen Eigenschaften als ''Satz von Feuerbach'', siehe dazu z. B. Schupp)
* Der Mittelpunkt des Feuerbachkreises liegt genau in der Mitte zwischen Höhenschnittpunkt und [[Umkreis]]<nowiki />mittelpunkt, also auch auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]].<ref name="Koecher-Krieg-165">{{Literatur |Autor=Max Koecher, Aloys Krieg |Titel=Ebene Geometrie |Auflage=3. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49327-3 |Seiten=165}}</ref>
* Der Radius des Feuerbachkreises ist halb so groß wie der Umkreisradius des Dreieckes.<ref name="Koecher-Krieg-165" /> [[Datei:Triangle-9-point-circle-circumscribed-circle.svg|250px|mini|klasse=skin-invert-image|Feuerbachkreis und Umkreis]]
* Der Feuerbachkreis halbiert die Strecke zwischen dem Höhenschnittpunkt und einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis.
* Geht eine [[Hyperbel (Mathematik)|gleichseitige (rechtwinklige) Hyperbel]] durch die Ecken eines Dreiecks, dann liegt ihr Mittelpunkt auf dem Feuerbachkreis.
* Der Mittelpunkt der [[Kiepert-Hyperbel]] liegt auf dem Feuerbachkreis.<ref>{{Internetquelle |autor=Clark Kimberling |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X115 |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(115) |werk=evansville.edu |sprache=en |abruf=2025-01-25}}</ref>
* Der Umkreis eines Dreiecks ist der Feuerbachkreis des von den zugehörigen Ankreismittelpunkten induzierten Co-Dreiecks. (Die Winkelhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks sind die Höhen des Co-Dreiecks. Die Lote von den Ankreismittelpunkten auf die Seiten des ursprünglichen Dreiecks treffen sich in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt des Co-Dreiecks. In der Mitte zwischen Co-Dreieck-Höhenschnittpunkt [= Inkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks] und Co-Dreieck-Umkreismittelpunkt liegt der Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks.)
[[Datei:2025-02-05 Feuerbach.jpg|hochkant=1|mini|Feuerbachpunkt als Schnittpunkt bestimmter Kreise]]
* Die 4 Umkreise um Mittendreieck ([und Höhenfußpunktdreieck] Feuerbach-Kreis), Nagel-Dreieck (Kreis durch die Berührpunkte der Ankreise), Gergonne-Dreieck (Inkreis) und Winkelhalbierenden-Ceva-Dreieck haben einen Punkt gemeinsam, den Feuerbach-Punkt.

== Koordinaten ==
Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Feuerbach-Mittelpunkts (<math>X_5</math>) sind (gleichwertig)
: <math>bc \left[ a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 \right] : ca \left[ b^2 (c^2 + a^2) - (c^2 - a^2)^2 \right] : ab \left[ c^2 (a^2 + b^2) - (a^2 - b^2)^2 \right]</math> oder
: <math>\cos(\beta-\gamma) : \cos(\gamma-\alpha) : \cos(\alpha-\beta)</math>.<ref name="ETC-X5">{{Internetquelle |autor=Clark Kimberling |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X5 |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(5) |werk=evansville.edu |sprache=en |abruf=2025-01-25}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] von <math>X_5</math> sind (gleichwertig)
: <math>\left[ a^2 (b^2 + c^2) - (b^2 - c^2)^2 \right] : \left[ b^2 (c^2 + a^2) - (c^2 - a^2)^2 \right] : \left[ c^2 (a^2 + b^2) - (a^2 - b^2)^2 \right]</math> oder
: <math>(1 + \cot\beta \cot\gamma) : (1 + \cot\gamma \cot\alpha) : (1 + \cot\alpha \cot \beta)</math>.<ref name="ETC-X5" />

Die trilinearen Koordinaten des Feuerbach-Punkts (<math>X_{11}</math>) sind (gleichwertig)
: <math>bc (b + c - a) (b - c)^2 : ca (c + a - b) (c - a)^2 : ab (a + b - c) (a - b)^2</math> oder
: <math>\left[ 1 - \cos(\beta-\gamma) \right] : \left[ 1 - \cos(\gamma-\alpha) \right] : \left[ 1 - \cos(\alpha-\beta) \right]</math>.<ref name="ETC-X11">{{Internetquelle |autor=Clark Kimberling |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X11 |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(11) |werk=evansville.edu |sprache=en |abruf=2025-01-25}}</ref>
Die baryzentrischen Koordinaten von <math>X_{11}</math> sind
: <math>(b + c - a) (b - c)^2 : (c + a - b) (c - a)^2 : (a + b - c) (a - b)^2</math>.<ref name="ETC-X11" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Geschichte ==
[[Datei:2025-02-05 Feuerbach-animated.gif|hochkant=1.5|mini|Feuerbachkreis und Punkt animiert]]
In Deutschland hat sich statt des Namens Neunpunktekreis der Name '''Feuerbachkreis''' eingebürgert. Grund dafür ist der von Feuerbach stammende, relativ schwierige Beweis, dass dieser Kreis den Inkreis und die Ankreise berührt. In der übrigen Welt sagt man meistens '''Neunpunktekreis'''. Es ist auch die Bezeichnung '''Eulerkreis''' verbreitet, denn dass die sechs Punkte D bis I auf einem Kreis liegen, zeigte schon [[Leonhard Euler]] 1765 (siehe [[#BilderSonder|Bilder oben]]).<ref>Eric Weisstein: ''Nine point circle''. Mathworld.</ref> 1821 bewiesen [[Charles Julien Brianchon]] und [[Jean Victor Poncelet]], dass diese sechs Punkte und noch drei weitere Punkte auf dem Kreis liegen, die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte J, K, L. Feuerbach bewies 1822, dass der ursprünglich durch die Fußpunkte G, H, I gehende Kreis die In- und Ankreise berührte und außerdem durch die Seitenmitten E, F, D geht.<ref>Meyer, Berkhan: ''Neuere Dreiecksgeometrie''. In: ''[[Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften]]''. Band 3-1-2. 1914, S. 1258.</ref> Die übrigen drei Punkte J, K, L des Feuerbachkreises erwähnt er nicht. Wegen der sechs Punkte D bis I heißt er manchmal auch Sechspunktekreis. Der Feuerbachkreis wird auch manchmal nach [[Olry Terquem (Mathematiker)|Olry Terquem]] benannt, der selbst dafür 1842 den Begriff Neunpunktekreis prägte und einen analytischen Beweis des Satzes von Feuerbach über die In- und Ankreise gab (und die zusätzlichen drei Punkte wieder entdeckte). Eine weitere Wiederentdeckung des Neunpunktekreises geschah durch [[Jakob Steiner]] 1828 und T. S. Davies 1827.<ref>[http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Folders.F97/Anderson/geometry/geometry1project/historyofninepointcircle/history.html Webseite zur Geschichte nach J. MacKay (Proc. Edinburgh Math. Society, 1892, Band 11, S. 19–57).] jwilson.coe.uga.edu</ref> J. S. MacKay fand 1892 in seinem Aufsatz zur Geschichte des Neunpunktekreises auch einige englische Autoren, die vor 1821 zur Geschichte des Feuerbachkreises beitrugen.

== Siehe auch ==
* [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 164–167 ({{Google Buch |BuchID=kG9wDjf5sbcC |Seite=165}})
* Charles S. Ogilvy: ''Unterhaltsame Geometrie''. 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1984, ISBN 3-528-28314-9 („Excursions in geometry“, 1969).
* [[Hans Schupp (Mathematiker)|Hans Schupp]]: ''Elementargeometrie''. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 133–135 (Uni-Taschenbücher, 669, Mathematik).
* John Sturgeon MacKay: ''History of the Nine Point Circle''. In: ''Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society'', 1892, Band 11, S. 19–61.<ref>Jim Wilson: [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMT668.Folders.F97/Anderson/geometry/geometry1project/historyofninepointcircle/history.html ''History of the nine point circle''.] jwilson.coe.uga.edu, University of Georgia. Er bezieht sich auf MacKay.</ref><ref>[https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/history-of-the-ninepoint-circle/F35C6273A2DC54CE806063838A3CB3A0 cambridge.org]</ref>
* [[Stefan Götz]], Franz Hofbauer: ''Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordinatenfreien Vektoren''. In: ''Mathematische Semesterberichte'' (Springer), 2018, Band 65, S. 107–119; [https://link.springer.com/article/10.1007/s00591-016-0174-z link.springer.com]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Nine-point circle}}
* [https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/beweis/feuerbach/feuerbachkreis.pdf/view Landesbildungsserver-BW] – Informationen zum Feuerbachkreis mit Beweisen, Folgerungen und Hinweisen
* [https://www.geogebra.org/m/ax6zhzp3 Feuerbachkreis] – interaktive Illustration in GeoGebra
* [https://thema-mathematik.at/tmwiki/doku.php?id=feuerbachkreis Feuerbachkreis] auf thema-mathematik.at (Wiki mit mehreren Grafiken und GeoGebra-Dateien)
* Darij Grinberg: [https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/Dreigeom/Feuerbach.pdf Feuerbachkreis mit sehr viel Information aus dem Umfeld] (PDF; 190 kB) – ein sehr ausführliches Papier zum Feuerbachkreis mit sehr vielen Sätzen aus dem Umfeld. Sehr viele Beweise, auch ein Beweis zum Satz von Feuerbach.
* {{MathWorld |id=Nine-PointCircle |title=Nine Point Circle}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Feuerbachkreis - Versionsgeschichte

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