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2022-01-15T23:50:59Z

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[[Bild: Fernpunkt.png | thumb | 300 px | ,Veranschaulichung des Fernpunkts:<br/>Vergleichbar dem Fernpunkt treffen sich in der perspektivischen Darstellung Geraden, die in der Wirklichkeit parallel sind, in einem Punkt, dem ''Fluchtpunkt''. Im Gegensatz zum Fluchtpunkt ist der ''Fernpunkt'' allerdings kein Punkt der Zeichenebene (also nicht etwa – wie hier der Fluchtpunkt – identisch mit einem Punkt der gezeichneten Tür), sondern befindet sich außerhalb der Menge „realer“ Punkte.]]
Als '''Fernelemente''' bezeichnet man die Elemente (Punkte, Geraden und so weiter), die zu einem <math>n</math>-[[Dimension (Mathematik)|dimensionalen]] [[affine Geometrie |affinen Raum]] hinzugefügt werden, um diesen zu einem [[projektive Geometrie | projektiven Raum]], dem '''projektiven Abschluss''' des affinen Raumes zu erweitern, umgekehrt entsteht durch '''Schlitzen''' eines <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raumes stets ein <math>n</math>-dimensionaler affiner Raum.

Ein '''Fernpunkt''' (auch: ''unendlich ferner Punkt'' oder ''uneigentlicher Punkt'') wird eingeführt als der „Schnittpunkt“ einer Schar [[Parallel (Geometrie)|paralleler]] Geraden. Ein Fernpunkt ist also die mathematische Präzisierung der Sprechweise, dass „Parallelen sich im Unendlichen schneiden“. Das Bild eines Fernpunkts in einer [[Perspektive|perspektivischen]] Darstellung heißt [[Fluchtpunkt]].

Alle Fernpunkte einer Ebene bilden deren '''Ferngerade''' (''unendlich ferne Gerade'', ''uneigentliche Gerade'').

In der räumlichen (dreidimensionalen) Geometrie gibt es je eine Ferngerade zu jeder Schar paralleler Ebenen. Die Ferngeraden zusammen bilden die '''Fernebene''' (''unendlich ferne Ebene'', ''uneigentliche Ebene'').

Weitere Fernebenen und entsprechend höherdimensionale Fernelemente gibt es in Räumen höherer Dimension:

Beim projektiven Abschluss eines <math>n</math>-dimensionalen affinen Raumes wird dem Raum eine Fern[[hyperebene]], also ein <math>n-1</math>-dimensionaler Fernraum hinzugefügt. Umgekehrt wird beim „Schlitzen“ eines <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raumes ein <math>n-1</math>-dimensionaler Unterraum, also eine Hyperebene des projektiven Raumes zur Fernhyperebene. Alle Punkte dieser ausgewählten Hyperebene werden zu Fernpunkten, ihre Unterräume zu Ferngeraden usw., alle übrigen Punkte des projektiven Raumes, die eigentlichen Punkte, bilden dann den affinen Raum.

Das Schlitzen einer [[projektive Ebene|projektiven Ebene]] durch Auswahl einer projektiven Geraden als Ferngerade ist in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] eine Möglichkeit, in beliebigen, geometrisch charakterisierten Ebenen [[Projektives Koordinatensystem|projektive Koordinaten]] mithilfe [[Affine Koordinaten|affiner Koordinaten]] einzuführen. Diese Koordinaten bilden dann einen [[Ternärkörper]].

== Literatur ==
*[[Hanfried Lenz]]: ''Vorlesungen über projektive Geometrie'', Leipzig 1965
*[[Günter Pickert]]: ''Ebene Inzidenzgeometrie'', 2. Auflage, Frankfurt am Main 1968
*Hermann Schaal: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II'', Vieweg 1980, ISBN 3-528-13057-1

[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]
[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Fernelement - Versionsgeschichte

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