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2025-08-11T06:05:30Z

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Die '''Fermi-Fläche''' (benannt nach dem italienischen Physiker [[Enrico Fermi]]) ist eine mathematische Konstruktion, die in der [[Festkörperphysik]] zur Beschreibung der [[Energiezustand|Energiezustände]] der [[Elektron]]en eines [[Metall]]s benutzt wird.

== Bedeutung ==
[[Datei:Einfache_kubische_fermi_flaeche.JPG|mini|Fläche konstanter Energie eines primitiven kubischen Gitters in der 1. [[Brillouin-Zone]]]]
Die Fermi-Fläche ist eine Fläche konstanter Energie, und zwar nicht im gewöhnlichen [[Ortsraum]], sondern im [[Reziproker Raum|reziproken Raum]]. Dies ist der [[Impulsraum]], den man rein mathematisch durch eine [[Fourier-Transformation]] aus dem Ortsraum erhält. Die Benutzung dieses abstrakten Raumbegriffs hat bei der Beschreibung [[kristallin]]er Systeme viele Vorteile, z. B. lassen sich die Reflexe bei der [[Röntgenstrukturanalyse]] direkt dem [[Reziprokes Gitter|reziproken Gitter]] zuordnen.

Insbesondere lässt sich im reziproken Raum die Energie direkt als Funktion des [[Impuls]]es der Elektronen darstellen. Bei Metallen sind die [[Energieniveau]]s des [[Bändermodell|Leitungsbandes]] im energieärmsten Zustand (am [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]]) nur bis zu einer bestimmten Energie, der [[Fermi-Energie]], besetzt. Die Menge der Punkte, auf die Impulsvektoren von Elektronen mit der Fermi-Energie zeigen, bilden eine geschlossene Fläche bzw. wenige geschlossene Flächen, die Fermi-Fläche(n) genannt wird bzw. werden. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele elektronische und magnetische Eigenschaften des Metalls beschreiben. Beispielsweise tragen nur die Elektronen mit Fermi-Energie und somit an der Fermi-Fläche zum [[elektrischer Strom|elektrischen Strom]] bei.

Die Fermi-Flächen der [[Alkalimetall]]e sowie der Metalle [[Kupfer|Cu]], [[Silber|Ag]] und [[Gold|Au]] sind relativ einfach, weil alle Leitungselektronen innerhalb der ersten [[Brillouin-Zone]] liegen. Die Fermi-Flächen sind daher nahezu Kugeln. Bei Cu, Ag und Au haben die Fermiflächen allerdings in den [[Millersche Indizes|<math>\langle</math>111<math>\rangle</math>-Richtungen]] jeweils einen „Hals“ zum Rand der Brillouin-Zone; auch bei [[Cäsium|Cs]] treten kleine „Hälse“ auf. Die Flächen und Hälse lassen sich z. B. unter Ausnutzung des [[De-Haas-van-Alphen-Effekt]]s experimentell vermessen.

[[Ferromagnet]]ische Metalle haben im einfachsten Fall zwei Fermi-Flächen wegen der zwei möglichen Orientierungen des [[Elektronenspin]]s.

[[Nichtleiter|Isolatoren]] und un[[Dotierung|dotierte]] [[Halbleiter]] haben keine Fermi-Fläche, weil bei ihnen die Fermi-Energie in die [[Bandlücke]] fällt und es somit keine Elektronenzustände gibt, deren Energie gleich der Fermi-Energie ist. Durch Einbringen zusätzlicher [[Ladungsträger (Physik)|Ladungsträger]] in einen Halbleiter ([[Halbleiter #Donatoren und Akzeptoren|Donator- oder Akzeptordotierung]]) kann allerdings das Fermi-Niveau verschoben und damit die Ausbildung einer Fermi-Fläche erzwungen werden.

Hieraus folgt auch die vermutlich genaueste Definition des Begriffs „Metall“ im Sinne einer Abgrenzung zu anderen (festen) Stoffen: Ein Metall ist ein Festkörper mit einer Fermi-Fläche. Nach dieser Definition wäre flüssiges [[Quecksilber]] (und [[Schmelze]]n anderer „Metalle“) kein Metall.

== Fermi-Kugel ==
In einem freien [[Elektronengas]] werden die Zustände im reziproken Raum energetisch sukzessive aufgefüllt, d. h. beginnend mit einem [[Wellenvektor]] <math>k = 0</math> bis zu einem Grenzwellenvektor <math>k = k_\mathrm{F}</math> werden die Zustände mit jeweils zwei Spin-Einstellungen besetzt, wobei <math>k_\mathrm{F}</math> als Fermi-Wellenvektor bezeichnet wird. Die Zustände liegen daher im reziproken Raum alle innerhalb einer Kugel, der ''Fermi-Kugel''. Die Elektronen auf der Oberfläche der Fermi-Kugel haben die Energie

:<math>E_\mathrm{F} = \frac{\hbar^2 k_\mathrm{F}^2}{2 m_e} = \frac1 2 \frac{p_\mathrm{F}^2}{m_e}</math>,

wobei <math>p_\mathrm{F} = \hbar k_\mathrm{F}</math> auch als [[Fermi-Impuls]] bezeichnet wird.

Das Volumen der Fermi-Kugel im reziproken (dreidimensionalen) Raum beträgt dann
: <math> V_\mathrm{F} = \frac{4 \pi}{3} k_\mathrm{F}^3 = \frac{4 \pi}{3} \left( \frac{2 m_e E_\mathrm{F}}{\hbar^2} \right)^{3/2} </math>.

Das Modell des freien Elektronengases trifft näherungsweise für Metalle zu, insbesondere für Alkali-Metalle wie Natrium oder Kalium, weil diese nur ein Elektron pro [[Elementarzelle]] als freien Ladungsträger haben. Durch die kugelförmige Gestalt lassen sich manche physikalischen Berechnungen vereinfachen, um zu einem qualitativen Verständnis zu gelangen.

==Weblinks==
* [http://www.phys.ufl.edu/fermisurface/ Grafische Darstellung der Fermi-Flächen]
* {{Webarchiv | url=http://www.ieap.uni-kiel.de/solid/ag-magnussen/download/Zus-FK2_2.pdf | wayback=20070929132828 | text=Zusammenfassung Fermi-Flächen}} (PDF; 295 kB)

== Literatur ==
*Charles Kittel: ''Introduction to Solid State Physics.'' 1. Ausgabe 1953 bis 14. Ausgabe 2005, ISBN 0-471-41526-X (dt. ''Einführung in die Festkörperphysik.'' Oldenbourg, ISBN 3-486-57723-9)

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{{SORTIERUNG:FermiFlache}}
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Enrico Fermi als Namensgeber]]

Fermi-Fläche - Versionsgeschichte

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