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2023-12-15T15:46:22Z

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In der [[statistische Physik|statistischen Physik]] wird das '''Fermi-Dirac-Integral''' (nach [[Enrico Fermi]] und [[Paul Dirac]]) mit Index <math>j</math> definiert als

:<math>F_j(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,\mathrm{d}t</math>

wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die [[Gammafunktion]] ist. Wird die untere Grenze des [[Integralrechnung|Integrals]] als Argument der Funktion angegeben

:<math>F_j(x, b) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_b^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,\mathrm{d}t</math>

dann spricht man vom ''unvollständigen Fermi-Dirac-Integral''.

== Anwendung für F<sub>1/2</sub> ==

Die Funktion tritt unter anderem auf in der [[Festkörperphysik]] im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von [[Elektron]]en im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral <math>F_{1/2}(x)</math> berechnet werden (siehe: [[Zustandsdichte]]). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen <math>t:=\tfrac{E-E_{c}}{kT}</math> sowie <math>x:=\tfrac{\mu-E_{c}}{kT}</math>, sodass <math>\mathrm{d}E=kT\,\mathrm{d}t</math>:

:<math>n=N\int_{E_{c}}^{\infty}\frac{\sqrt{E-E_{c}}}{\exp\left(\frac{E-\mu}{kT}\right)+1}\,\mathrm{d}E=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{t}}{\exp\left(t-x\right)+1}\,\mathrm{d}t=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}F_{1/2}(x)</math>

== Näherung für F<sub>1/2</sub> ==

Das Integral <math>F_{1/2}(x)</math> lässt sich für verschiedene Wertebereiche von <math>x</math> näherungsweise lösen:

:<math>\tilde{F}_{1/2}(x)=\begin{cases}
\frac{1}{e^{-x}+0{,}27} & \text{wenn }\ -\infty<x<1{,}3\\
\frac{4}{3\sqrt{\pi}}\left(x^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}\right)^{3/4} & \text{wenn }\ \,1{,}3\leq x<\infty\end{cases}</math>

Der relative Fehler dieser Näherungslösung <math>\left(\tilde{F}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)</math> beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei <math>x=0</math> und bei <math>x=1{,}3</math>). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich <math>F_{1/2}(x)</math> durch zwei Funktionen annähern:
:<math>F_{1/2}(x)\approx e^{x}</math>   für   <math>-x\gg 1</math>
:<math>F_{1/2}(x)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2}</math>   für   <math>x\gg 1</math>

== Darstellung mit Polylogarithmen ==
Mittels des [[Polylogarithmus]] kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als
:<math>\mathrm{F}_j(x)=-\mathrm{Li}_{j+1}(-e^x)</math>.
Wegen
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{Li}_n(x)=\frac1x \mathrm{Li}_{n-1}(x)</math>
folgt daraus
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{F}_j(x)=\mathrm{F}_{j-1}(x)</math>.

== Weblinks ==
* [http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#SEC117 GNU Scientific Library – Reference Manual]

== Literatur ==
* J. S. Blakemore: ''Approximations for Fermi-Dirac Integrals''. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.

{{SORTIERUNG:FermiDiracIntegral}}
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Enrico Fermi als Namensgeber]]
[[Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber]]

Fermi-Dirac-Integral - Versionsgeschichte

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